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第五章 直角三角形
课题8 角平分线性质定理及逆定理的综合应用
情景导入
在公路与铁路所成角的平分线上有一点P，要从点P建两条路，一条到公路上，一条到铁路上，怎样修建路最短？这两条路有什么关系？
如图，在△ABC中，D，E，F 分别是 BC，AB，AC 边上的点，若 BE = CF，S△BDE = S△CDF，则点 D 在∠BAC的平分线上吗？
由于S△BDE = S△CDF，BE = CF，
说一说
所以点 D 到 BE，CF 的距离相等，
因而点 D 在 ∠BAC 的平分线上.
自学互研
知识模块一　角平分线性质与判定的应用
如图，已知 EF⊥CD 于点 E ，EF⊥AB 于点 F ，MN ⊥ AC 于点 N ，M 是 EF 的中点.需要添加一个什么条件，就可使 CM ，AM 分别为∠ACD 和 ∠CAB 的平分线呢
添加条件 MN ＝ ME 即可.
反思 添加条件 MN＝MF 可以吗
因为 ME⊥CD，MN⊥AC，MN = ME，
所以点 M 在∠ACD 的平分线上，
即 CM 是∠ACD 的平分线.
又 M 是 EF 的中点，则 MF = ME = MN.
同理可证 AM 是∠CAB 的平分线.
归 纳
找角平分线只需要找角的内部一点到角两边的距离相等即可．
例1 如图，在∠ABC 的外角∠CAD 的平分线上任取一点 P，作 PE⊥DB，PF ⊥ AC，垂足分别为点 E，F .试探索 BE+PF 与 PB 的大小关系.
解 ：因为 AP 是∠CAD 的平分线，
例题与练习
又 PE⊥DB，PF⊥AC,
所以 PE = PF .
在 △EBP 中, BE+PE > PB，
因此 BE+PF >PB.
练 习
1．如图，△ABC中，试证明：
(1)若AD为∠BAC的平分线，则S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC；
(2)设D为BC上的一点，连接AD.若S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC，则AD为∠BAC的平分线．
B
D
C
A
证明：过点D作DE垂直AB于点E，DF⊥AC于点F.
(1)∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴S△ABD∶S△ACD＝(AB·DE)∶(AC·DF)＝AB∶AC；
B
D
C
A
E
F
(2)∵S△ABD∶S△ACD＝(AB·DE)∶(AC·DF)＝AB∶AC，
∴DE＝DF.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD为∠BAC的平分线．
B
D
C
A
E
F
知识模块二　三角形三个内角的平分线交于一点
任意作一个△ABC，在△ABC 内部找一点 P ，使其到三边的距离相等.
做一做
思考 如何才能在△内部作出到三角形三边的距离都相等的点呢？
可以先作出到两条边距离相等的点，再证明这个点到第三条边的距离相等.
A
B
C
A
B
C
作 图
① 在△ABC 中分别作∠BAC与∠ABC 的平分线，它们交于点 P .
D
E
F
P
② 过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为点 D，E，F.
③ 因为 AP 是∠BAC 的平分线，PD⊥AB，PE⊥AC，所以 PD = PE.因为 BP 是∠ABC的平分线，PD⊥AB，PF ⊥BC，所以 PD = PF. 故 PD = PE = PF.
A
B
C
D
E
F
P
在△ABC 中分别作∠BAC 与∠ABC 的平分线，它们交于点P，如图. 过点P 作PD ⊥ AB，PE ⊥ AC，PF ⊥ BC，垂足分别为点D，E，F.
思考：点 P 在∠ACB 的角平分线上吗？
因为PD = PE = PF ，PE⊥AC，PF⊥BC，
A
B
C
D
E
F
P
所以CP 是∠ACB 的平分线，
故三角形三个角的角平分线经过一点，点P .
归 纳
到三角形三条边距离相等的点是三角形的三个内角平分线的交点．
1．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到AB，AC，BC的距离相等，凉亭的位置应选在( )
A.△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三条角平分线的交点
练 习
D
2．如图，△ABC的外角∠CBF的平分线BD与外角∠HCB的平分线CE相交于点P.点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等吗？为什么？
解：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等．
理由如下：过点P分别作PM⊥AF，PN⊥BC，PQ⊥AH，垂足分别为
M，N，Q.
Q
N
M
A
C
B
H
F
D
E
P
∵BD是△ABC的外角∠CBF的平分线，PM⊥AF，PN⊥BC，
∴PM＝PN.
∵CE是△ABC的外角∠HCB的平分线，PN⊥BC，PQ⊥AH，
∴PN＝PQ，
∴PM＝PN＝PQ.
∴点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等．
Q
N
M
A
C
B
H
F
D
E
P
课堂小结
角平分线的判定定理
内容
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
作用
判断一个点是否在角的平分线上
结论
三角形的内角平分线相交于内部一点
随堂检测
如图，O 是△ABC 内一点，且点 O 到三边
AB，AC，BC 的距离相等，即 OF = OE = OD，若∠BAC = 100°，则∠BOC 的度数是（ ）
A
140°
B. 130°
C. 120°
D. 110°
B
A
C
O
D
F
E
2. 如图，△ABC 的三边 AB，AC，BC 的长分别是 5，7，9，其三条角平分线将△ABC 分成三个三角形，则 S△OAB : S△OAC : S△OBC =__________.
5∶7∶9
B
A
C
O
3. 如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA 于点C，ED⊥OB 于点D，
求证: （1）∠ECD =∠EDC； （2） OC = OD.
证明：（1）∵OE 是∠AOB 的平分线，
EC⊥OA，ED⊥OB，
∴EC = ED.
∴∠ECD =∠EDC.
（2）在Rt△ECO 和Rt△EDO 中，
∵EC = ED，OE 为公共边，
∴Rt△ECO ≌ Rt△EDO (HL).
∴OC = OD.
4.如图，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE，点C 在线段DE上.求证：AB = AD + BE.
证明：如图，过点C 作CF⊥AB 于点 F.
F
∵AC 是∠BAD 的平分线，CD⊥AD，CF⊥AB，
∴CF = CD.
在Rt△CFA 和Rt△CDA 中，
∵CF = CD， AC 为公共边，
∴Rt△CFA ≌ Rt△CDA (HL).
∴AF = AD.
同理可得FB = BE.∴AB = AF + FB = AD + BE.
F
完成对应课时练习
作业布置

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