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(共15张PPT)
11.3.1 两数和乘以这两数的差
1. 理解两数和与这两数差的乘法公式的几何意义.
2. 理解并掌握两数和与这两数差的乘法公式结构，并能正确运算.
（x ＋ 3)( x＋5）
=x2＋5x＋3x＋15
=x2＋8x＋15.
计算：
用多项式的乘法法则计算:(a+b)(a－b).
(a+b)(a－b)=__________________.
平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
(a + b) (a－b)=a2 －b2
利用这个公式，可以直接计算两数和乘以这两数的差.
a2-ab+ab-b2=a2-b2
你能发现什么规律？
平方差公式
(a+b)(a-b) = a2 - b2
相同为a
相反为b
适当交换
合理加括号
①这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个多项式等．
②公式变形：(b + a )( -b + a ) = a2 - b2
1.下列各式能否用平方差公式进行计算 为什么
(1)(a- b)(a+b); (2)(- b+a)(a- b);
(3)(- a+b)(- a- b); (4)(- a- b)(- b+a).
这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数,右边为这两个数的平方差,即完全相同的项的平方减去符号相反的项的平方.
解：(1)(3)(4)能运用平方差公式，(2)不能应用公式.
_____________ ＝ ________ － ________
几 何 解 释
观察图形，再用等式表示图中图形面积的运算：
(a+b)(a-b)
=
－
(a + b)(a - b)
a2
b2
b
a
a
b
b
b2
a2
用图形面积解释公式，
这就是数形结合的思想.
例1 计算:
(1)(a+3)(a-3); (2)(2a+3b)(2a-3b); (3)(1+2c)(1-2c); (4)(-2x-y)(2x-y).
解: (1) (a+3)(a-3)=a2-32=a2-9.
(2)(2a+3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2.
(3) (1+2c)(1-2c)=12-(2c)2=1-4c2.
(4)(-2x-y)(2x-y)=(-y+2x)(-y-2x)=(-y)2-(2x)2=y2-4x2.
关键是识别完全相同项和互为相反项
例2 计算：1 998 ×2 002.
解：1 998×2 002
=(2 000-2)×(2 000 + 2)
=2 0002-22
=4 000 000 -4
=3 999 996.
本题运用转化思想，关键是找到两个数的平均数，再将原两个数与这个平均数进行比较，变形成两数和与这两数差的积的形式，再利用平方差公式求解．
例3 街心花园有一块边长为a m的正方形草坪（a＞2），经统一规划后，南北向增加2 m，东西向减少2 m.改造后得到一块长方形草坪.求这块长方形草坪的面积.
解:
答：这块长方形草坪的面积为(a2-4)m .
2.计算：
（1）(2x+ )(2x- )；
（2）(-x+2)(-x-2)；
解:（1）原式= 4x2-
（2）原式=(-x)2-22=x2-4
（3）(y-x)(-x-y).
（3）原式=(-x)2-(y)2=x2-y2
找清哪个是相同的，即公式中的a；哪个是互为相反数，即公式中的b.
3.计算：
498×502；
解：原式=(500-2)×(500+2)
=250000-4
=249996
平方差公式
内容
注意
两个数的和与这两数差的积，等于这两数的平方差
(a+b)(a－b)=a2－b2
紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用
符号表示
1.下列计算能运用平方差公式的是(　　)
A．(m＋n)(－m－n) B．(2x＋3)(3x－2)
C．(5a2－b2c)(bc2＋5a2) D.
D
2.下列运算正确的是(　　)
A．(a＋b)(b－a)＝a2－b2 B．(2m＋n)(2m－n)＝2m2－n2
C．(xm＋3)(xm－3)＝x2m－9 D．(x－1)(x＋1)＝(x－1)2
C
3.利用平方差公式计算：
(1)(a+3b)(a- 3b)；(2)(－2x2－y)(－2x2+y)；(3)2024×2026-20252；
解：(1)原式=a2－(3b)2=a2－9b2；
(2)原式=(-2x2 )2－y2 =4x4－y2；
(3)原式=(2025-1)×(2025+1)-20252
=20252-12-20252
=-1
4.已知2a2＋3a－6＝0，求式子3a(2a＋1)－(2a＋1)(2a－1)的值．
解：原式＝6a2＋3a－4a2＋1＝2a2＋3a＋1，
因为2a2＋3a－6＝0，
所以2a2＋3a＝6.
所以2a2＋3a＋1＝7.

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