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11.5 课时1 提公因式法
2.能够确认多项式的公因式，会运用提公因式法分解因式.
1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系;
（1）m=
（2） =
（3） =
整式的乘法运算
a +2ab+b
ma+mb+mc
a -b
运用前面所学的知识填空，
观察等式的左边和右边是什么形式？
整式乘积
多项式
多项式化为几个整式的积的形式
（1）ma+mb+mc=
（2）a -b =
（3）a +2ab+b =

m
观察上面三个等式，填空：
整式乘积
多项式
（1）m=
（2） =
（3） =
整式的乘法运算
a +2ab+b
ma+mb+mc
a -b
m
因式分解
整式乘法
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.
因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．
ma+mb+mc
1.下列等式变形是不是因式分解
不是
是
不是
不是
左边是多项式，右边是几个整式的乘积
(1)(x+2)(x-2)=x2-4
(2)6x4y3=2x3y 3xy2
(3)a2-b2=(a+b)(a-b)
(4)x2-x-7=(x-3)(x+2)-1
m是ma+mb+mc的各项的公共因式，把m叫做ma+mb+mc的公因式.
ma + mb + mc
ma
mb
mc
观察多项式 ma+mb+mc，每一项有什么特点？
如何确定一个多项式的最大公因式？
找 2x 2 – 4 xy 的公因式.
系数：最大公约数
2
字母：相同的字母
x
所以公因式是2x
指数：相同字母的最低次数
1
找多项式的最大公因式的步骤：
3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母：字母取多项式各项中都有的相同的字母.
2.请找出下列多项式中各项的公因式:
(1); 　　 (2);
(3);　 (4).
3
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法.
( a+b+c )
pa+ pb +pc
p
=
提公因式法基本步骤（分两步）：
第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.
注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
例1 把下列多项式分解因式:
(1)-5a2 +25a； (2)3a2 -9ab.
解： (1) -5a2+25a=-5a(a-5)；
(2)3a2-9ab=3a(a-3b).
当多项式的第一项系数是负数时，一般地，先提出负号，再进行因式分解．但应注意，这时留在括号内的每一项的符号都要改变.
提公因式后，另一个因式：
①项数应与原多项式的项数一样；②不再含有公因式．
例2 分解因式：
(1)5x(x－2y)3－20y(2y－x)3； (2)(x-y)2+y(y-x).
(1)5x(x－2y)3－20y(2y－x)3
＝5x(x－2y)3＋20y(x－2y)3
＝5(x－2y)3(x＋4y)．
整体思想
(2)解法1：(x-y)2+y(y-x)
=（x-y）2-y(x-y)
=(x-y)(x-y-y)
=(x-y)(x-2y).
解法2：(x-y)2+y(y-x)
=（y-x)2+y(y-x)
=(y-x)(y-x+y)
=(y-x)(2y-x).
例2 分解因式：
(1)5x(x－2y)3－20y(2y－x)3； (2)(x-y)2+y(y-x).
提公因式法分解因式，要注意分解彻底；
当某项恰好是公因式时，提取公因式后要用“1”把守；
出现形如(b－a)3，(b－a)2等形式的问题，可化成－(a－b)3，
(a－b)2的形式，即指数是奇数时要改变符号，指数是偶数时不改变符号，简言之：奇变偶不变．
1.把下列多项式分解因式：
（1）3a+3b=_________________；
（2）5x-5y+5=_______________；
3(a+b)
5(x-y+1)
（3）9x-6y+12z=_______________ ；
（4）a2+a=_______________；
（5）3x2－6xy=_______________；
3(3x-2y+4z)
a(a+1)
3x(x-2y)
2.用提公因式法分解因式：
(1)(a－b)3－(a－b)2； (2)3m(x－y)－n(y－x)；
＝(a－b)2(a－b－1)．
＝3m(x－y)＋n(x－y)
＝(x－y)(3m＋n)．
定义
因式
分解
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.
提公因式法
方法
注意
1.分解因式是一种恒等变形；
2.公因式：要提尽；
3.不要漏项；
4.提负号，要注意变号
确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数
分两步：
第一步找公因式；
第二步提公因式
C
1.下列各式从左到右的变形不是因式分解的是( )
A. B. x2-1=(x+1)(x-1)
C.2x+8x-1=2x(x+4)-1 D.a2-2ab+b2=(a-b)2
2.多项式8x2y2－14x2y＋4xy3各项的公因式是( 　)
A．8xy B．2xy C．4xy D．2y
B
3.把多项式 (x+2)(x-2)+(x-2) 提取公因式 (x-2) 后，余下的部分是（　　）
A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3
D
4.已知 x+y=2，xy=-3，求 x2y+xy2 的值.
解：∵x+y=2，xy=-3
∴ x2y+xy2
= xy(x+y)
= (-3)×2
= -6
5.△ABC的三边长分别为a、b、c,且a＋2ab＝c＋2bc,请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并说明理由．
解：△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵a＋2ab＝c＋2bc，
∴(a－c)＋2b(a－c)＝0.
∴(a－c)(1＋2b)＝0.
故a＝c或1＋2b＝0.
显然b≠－，∴a＝c.∴△ABC为等腰三角形．

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