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什么叫因式分解？已学过哪一种因式分解的方法？
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.
提公因式法
11.5 课时2 公式法
1.能运用平方差公式、完全平方公式进行因式分解，体会转化思想．
2.能综合运用提公因式法和平方差公式和完全平方公式对多项式进行因式分解．
平方差公式：
(a+b)(a-b)=a2-b2
a2-b2 = (a+b)(a-b)
整式乘法
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
特点：两数是平方，减号在中央．
a2-b2 = (a+b)(a-b)
平方差公式的特点：
1.必须是二项式（或可以看成二项的）；
2.是两个数或式的平方差的形式；
观察:多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
平方差公式：
√
√
×
×
1.下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
√
√
两数是平方，
减号在中央．
（1）x2+y2；
（2）x2-y2；
（3）-x2-y2；
-(x2+y2)
（4）-x2+y2；
（5）x2-25y2；
（6）m2-1.
符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成： ( )2-( )2的形式.
例1 分解因式：
解：(1)原式=
(2)原式
公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式分解因式.
(a±b)2=a2±2ab+b2
a2±2ab+b2=(a±b)2
两数和（差）的
平方公式：
整式乘法
因式分解
特点：
首平方，尾平方，
首尾两倍在中央.
a2
2
a
b
b2
±
.
+
.
=
(a ± b)
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．
两数和（差）的平方公式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间是两底数之积的±2倍.
(3)a +4ab+4b =( ) +2· ( ) ·( )+( ) =( )
(2)m -6m+9=( ) - 2· ( ) ·( )+( ) =( )
(1)x +4x+4= ( ) +2·( )·( )+( ) =( )
x
2
x + 2
a
a 2b
a + 2b
2b
2.对照公式a ±2ab+b =(a±b) 进行因式分解.
m
m - 3
3
x
2
m
3
例2 分解因式：
(1)16x2+24x+9； (2)-x2+4xy-4y2.
解： (1)16x2+ 24x +9
= (4x + 3)2.
= (4x)2 + 2·4x·3 + 32
(2)-x2+ 4xy-4y2
=-(x2-4xy+4y2)
=-(x-2y)2.
=-[x2-2·x·2y+(2y)2]
例3 分解因式：
(1)a3b-ab (2)3ax2+6axy+3ay2 ；
(2)原式=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2.
解：(1)原式＝ab(a2-1)
＝ab(a+1)(a-1).
分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法，最后进行检查.
因式分解的一般步骤:
一提：先考虑用提公因式法(公因式可以是单项式或多项式)；
二套：然后考虑用公式法(平方差公式或两数和（差）的平方公式)，能连续用公式分解的要继续分解；
三查：检查每个因式是否被分解彻底．
3.判断下列因式分解是否正确，并说明理由.如果不正确，请写出正确答案.
（1）4a2-4a+1=4a(a-1)+1；
（2）x2-4y2=(x+4y)(x-4y).
×
4a2-4a+1=(2a)2-2·2a·1+12=(2a-1)2
×
x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
4.把下列多项式分解因式：
（1）4ab-2a2b；
（2）9m2-n2；
=2ab(2-a)
=(3m)2-n2
=(3m+n)(3m-n)
（3）2am2-8a；
（4）2a2+4ab+2b2.
=2a(m2-4)
=2a(m+2)(m-2)
=2(a2+2ab+b2)
=2(a+b)2
公式法因式分解
公式
平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
两数和（差）的平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2
1.下列各个多项式中，不能运用平方差公式分解因式的是(　　)
A．8x2－2 B．－x2－y2
C．a2b2－4 D．－x3＋x
B
2.下列各式中能用两数和(差)的平方公式进行因式分解的是(　　)
A．x2＋x＋1 B. x2＋2x－1
C．x2－1 D. x2－8x＋16
D
3.分解因式：(1)9a2－4b2；(2)x2y－4y； (3)－2x3y＋4x2y－2xy；
(4)(a＋1)2－1； (5)x4－1.
解： (1)原式＝(3a)2－(2b)2＝(3a＋2b)(3a－2b)；
(2)原式＝y(x2－4)＝y(x＋2)(x－2)；
(3)原式＝－2xy(x2－2x＋1)＝－2xy(x－1)2；
(4)原式＝(a＋1＋1)(a＋1－1)＝a(a＋2)；
(5)原式＝(x2＋1)(x2－1)＝(x2＋1)(x＋1)(x－1).
4.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．
原式= -40×5=-200．
解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)
=(4m+n)(-2m + 3n)
=-(4m+n)(2m-3n).
当4m+n=40，2m-3n=5时，

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