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第1章 集合（举一反三讲义·基础篇）
1．（2026高一上·河北廊坊·开学考试）下列各组对象能构成集合的是（ ）
A．参加“两会”的代表
B．北京冬奥会上受欢迎的运动项目
C．的近似值
D．我校跑步速度快的学生
2．（2026高一上·广东清远·阶段练习）给出下列说法：
①所有接近于的数构成一个集合；
②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合；
③高科技产品构成一个集合；
④所有不大于的自然数构成一个集合；
⑤，，，组成的集合含有个元素．
其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④
3．（2026高一上·上海·随堂练习）下列各组对象能组成一个有限集的有 .（填序号）
（1）小于100的自然数；
（2）等腰直角三角形的全体；
（3）平面内到坐标原点距离为1的所有点；
（4）方程的实数根；
（5）高一（1）班喜欢数学的全体同学．
4．（2026高一上·上海·课后作业）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；若不能组成集合，请说明理由．
(1)所有大于0且小于25的偶数；
(2)不等式的解集；
(3)两条平行直线的交点；
(4)古今中外的所有伟大的人．
5．（2026高一上·上海·课堂例题）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；如果不能组成集合，请说明理由．
(1)我国现在的直辖市；
(2)比较小的自然数的全体；
(3)数轴上到坐标原点距离是2的点的全体；
(4)比2小的质数．
1．（2026高一上·福建泉州·期末）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．5
2．（2026高一上·四川自贡·开学考试）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2026高一上·河北沧州·阶段练习）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为 .
4．（2026高一上·全国·课后作业）设集合中的所有元素均为整数．
(1)若，求集合A；
(2)试判断4是不是集合A中的元素，并证明结论．
5．（2026高一上·上海嘉定·阶段练习）已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则.
(1)判断是否正确，并说明理由；
(2)证明：若，，则；
(3)证明：若，则.
1．（2026高一上·全国·随堂练习）集合用列举法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026高一上·全国·随堂练习）对集合用描述法来表示，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2026高一上·上海·阶段练习）能被整除余的自然数组成的集合可以用描述法表示为 ．
4．（2026高一上·上海·随堂练习）用适当的方法表示下列集合：
(1)大于0且不超过6的全体偶数组成的集合；
(2)被3除余1的所有自然数组成的集合；
(3)平面直角坐标系上第二象限的点组成的集合；
(4)不等式的解集组成的集合．
5．（2026高一上·全国·课后作业）选择适当方法表示下列集合：
(1)方程的解构成的集合；
(2)在自然数集内，小于的奇数构成的集合；
(3)不等式的解构成的集合；
(4)大于且不大于的自然数的全体构成的集合；
(5)方程组的解构成的集合．
1．（2026高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2026高一上·贵州贵阳·期中）已知集合，，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．（2026高一上·上海宝山·阶段练习）已知集合，，且，则集合 .
4．（2026高一·全国·课后作业）已知集合，，判断这两个集合之间的关系.
5．（2026高一上·上海嘉定·阶段练习）已知，.
(1)求实数的取值范围；
(2)当时，求实数的值.
1．（2026高一上·全国·课后作业）已知集合，那么集合与Q的关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026高一上·吉林·阶段练习）已知集合，，，则M，N，P的关系（ ）
A． B．
C． D．
3．（2026高一上·上海·课后作业）设集合，，则、之间的关系为 ．
4．（2026高一下·全国·课后作业）指出下列各对集合之间的关系：
(1)，；
(2)，；
(3)是等腰三角形}，是等边三角形}.
5．（2026高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系：
(1)，；
(2)，；
(3)为正整数}，，为正整数}．
1．（2026高一上·云南·阶段练习）若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026高一上·北京·阶段练习）已知集合，，则集合（ ）
A． B．或 C．或 D．或
3．（2026高一上·天津北辰·阶段练习）已知集合，，若，则 .
4．（2026高一上·浙江杭州·期中）已知集合.
(1)若，求，；
(2)若，求的取值范围.
5．（2026高一上·湖南邵阳·阶段练习）设全集.
(1)求；
(2)求.
1．（2026高一上·云南昆明·期末）如图，已知全集，集合 ，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026高二上·湖南·阶段练习）图中的U是全集，A，B是U的两个子集，则表示）的阴影部分是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2026高一上·上海·阶段练习）如图，已知是全集，是的三个子集用交、并、补关系将图中的阴影部分可表示为 .

4．（2026高一上·贵州·阶段练习）已知全集为实数集，集合.
(1)若，求图中阴影部分表示的集合C；
(2)若，求实数的取值范围.
5．（2026高一上·云南昆明·阶段练习）已知全集为实数集，集合，.
(1)若，求图中阴影部分的集合；
(2)若，求实数的取值范围.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第1章 集合（举一反三讲义·基础篇）
1．（2026高一上·河北廊坊·开学考试）下列各组对象能构成集合的是（ ）
A．参加“两会”的代表
B．北京冬奥会上受欢迎的运动项目
C．的近似值
D．我校跑步速度快的学生
【答案】A
【解题思路】根据集合的定义依次判断各个选项即可.
【解答过程】对于A：参加“两会”的代表具有确定性，能构成集合，故A正确；
对于B：北京冬奥会上受欢迎的运动项目，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故B错误；
对于C：的近似值，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故C错误；
对于D：我校跑步速度快的学生，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故D错误；
故选：A.
2．（2026高一上·广东清远·阶段练习）给出下列说法：
①所有接近于的数构成一个集合；
②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合；
③高科技产品构成一个集合；
④所有不大于的自然数构成一个集合；
⑤，，，组成的集合含有个元素．
其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④
【答案】D
【解题思路】根据集合的性质逐项分析判断即可.
【解答过程】对于①：接近于的数不能确定，所以不能构成集合，故①错误；
对于②：年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题是确定的，且互不相同，可以构成集合，故②正确；
对于③：高科技产品不能确定，所以不能构成一个集合，故③错误；
对于④：不大于的自然数为0，1，2，3，能构成集合，故④正确；
对于⑤：因为，不能构成一个集合，故⑤错误；
故选：D.
3．（2026高一上·上海·随堂练习）下列各组对象能组成一个有限集的有 .（填序号）
（1）小于100的自然数；
（2）等腰直角三角形的全体；
（3）平面内到坐标原点距离为1的所有点；
（4）方程的实数根；
（5）高一（1）班喜欢数学的全体同学．
【答案】（1）（4）
【解题思路】根据有限集的定义逐一可以判断
【解答过程】对于（1），小于100的自然数，可以一一列举，0，1，2，3，...，99，故（1）为有限集；
对于（2），等腰直角三角形有无限多个，故（2）不是有限集；
对于（3），在平面直角坐标系内，单位圆上的所有点到原点的距离都为1，所以到坐标原点距离为1的点有无穷多个，故（3）不是有限集；
对于（4），的实数根为或，共两个，故（4）为有限集；
对于（5），到底有多喜欢算喜欢，无法定论，故元素不确定，故（5）不是集合；
故答案为：（1）（4）.
4．（2026高一上·上海·课后作业）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；若不能组成集合，请说明理由．
(1)所有大于0且小于25的偶数；
(2)不等式的解集；
(3)两条平行直线的交点；
(4)古今中外的所有伟大的人．
【答案】(1)能组成集合，为有限集；
(2)能组成集合，为无限集；
(3)能组成集合，为；
(4)不能组成集合，理由见解析.
【解题思路】根据对象是否确定判断能否构成集合，由元素的个数判断集合类型.
【解答过程】（1）所给对象确定，能组成集合，为有限集.
（2）所给对象确定，能组成集合，为无限集.
（3）所给对象确定，能组成集合，为空集.
（4）所给对象不确定，不能组成集合.
5．（2026高一上·上海·课堂例题）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；如果不能组成集合，请说明理由．
(1)我国现在的直辖市；
(2)比较小的自然数的全体；
(3)数轴上到坐标原点距离是2的点的全体；
(4)比2小的质数．
【答案】(1)能组成集合，为有限集
(2)不能组成集合，因为标准不明确
(3)能组成集合，为有限集，其中有2个元素
(4)能组成集合，为空集
【解题思路】（1）根据集合的定义判断；
（2）根据集合的定义判断；
（3）根据集合的定义判断；
（4）根据集合的定义判断．
【解答过程】（1）我国现在的直辖市只有4个，能组成集合，是有限集；
（2）“比较小的自然数”这个标准不明确，不能组成集合；
（3）数轴上到坐标原点距离是2的点只有2和两个，能组成集合，是有限集；
（4）没有比2小的质数，因此能组成集合，是空集．
1．（2026高一上·福建泉州·期末）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．5
【答案】A
【解题思路】根据，，，，，这几个常用数集的含义判断即可．
【解答过程】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确；
对于②，因为是无理数，所以，所以②错误；
对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确；
对于④，因为，所以④正确；
对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确；
对于⑥，因为，所以⑥错误．
故选：A．
2．（2026高一上·四川自贡·开学考试）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】利用元素与集合的关系判断得解.
【解答过程】集合，则，ACD错误，B正确.
故选：B.
3．（2026高一上·河北沧州·阶段练习）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为 .
【答案】2
【解题思路】根据给定条件，结合常用数集的意义判断元素与集合的关系即可.
【解答过程】依题意，，，，，，，
因此①④正确，②③⑤⑥错误，
所以正确命题的个数是2.
故答案为：2.
4．（2026高一上·全国·课后作业）设集合中的所有元素均为整数．
(1)若，求集合A；
(2)试判断4是不是集合A中的元素，并证明结论．
【答案】(1)；
(2)不是，证明见解析.
【解题思路】（1）根据题意代入即可得结果；
（2）假设成立，分或，代入检验即可得出矛盾，进而分析说明.
【解答过程】（1）若，则，所以集合．
（2）4不是集合A中的元素，理由如下：
若，则有或；
当时，，不满足题意；
当时，解得，不满足题意；
综上所述，4不是集合中的元素．
5．（2026高一上·上海嘉定·阶段练习）已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则.
(1)判断是否正确，并说明理由；
(2)证明：若，，则；
(3)证明：若，则.
【答案】(1)正确，理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解题思路】（1）根据集合的条件，先根据①②得，，进而有③可得；
（2）先由①②得，进而可得；
（3）先证，可得，，进而得，再结合可证.
【解答过程】（1）正确，理由如下：
由①知，，由②可得，，
由③可得.
（2）证明：由①知，由题意，
所以由②可知，又，所以即证.
（3）证明： ，由②可知，由③可知，，
所以，即，所以，
由（2）结论可知，即，即证.
1．（2026高一上·全国·随堂练习）集合用列举法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】根据题意整理可得集合，结合常用数集分析判断即可.
【解答过程】由题意可得：集合.
故选：B．
2．（2026高一上·全国·随堂练习）对集合用描述法来表示，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】根据给定的集合的公共属性及各选项中集合表示的数的特征判断即得.
【解答过程】集合是不超过5的正整数的倒数形成的集合，
对于AB，集合AB中的有负数，AB不是；
对于C，集合中没有，C不是；
对于D，满足对集合的描述，D是.
故选：D.
3．（2026高一上·上海·阶段练习）能被整除余的自然数组成的集合可以用描述法表示为 ．
【答案】
【解题思路】根据被整除余的自然数为，结合集合的表示方法，即可求解.
【解答过程】由题意，设被除的商为，余数为，
可表示为，
所以被除余的自然数组成的集合为.
故答案为：.
4．（2026高一上·上海·随堂练习）用适当的方法表示下列集合：
(1)大于0且不超过6的全体偶数组成的集合；
(2)被3除余1的所有自然数组成的集合；
(3)平面直角坐标系上第二象限的点组成的集合；
(4)不等式的解集组成的集合．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【解题思路】（1）利用列举法表示集合A.
（2）（3）（4）利用描述法表示给定的集合.
【解答过程】（1）用列举法：.
（2）用描述法：.
（3）用描述法：且.
（4）用描述法：.
5．（2026高一上·全国·课后作业）选择适当方法表示下列集合：
(1)方程的解构成的集合；
(2)在自然数集内，小于的奇数构成的集合；
(3)不等式的解构成的集合；
(4)大于且不大于的自然数的全体构成的集合；
(5)方程组的解构成的集合．
【答案】(1)
(2)且
(3)
(4)
(5)或
【解题思路】（1）（4）（5）用列举法表示即可；（2）（3）用描述法表示即可.
【解答过程】（1）由，解得或，
所以方程的解构成的集合可表示为；
（2）在自然数集内，小于的奇数构成的集合可表示为且；
（3）由，解得，
则不等式的解构成的集合可表示为；
（4）大于且不大于的自然数有，，，，，，
所以大于且不大于的自然数的全体构成的集合可表示为；
（5）由，解得，
所以方程组的解构成的集合可表示为或.
1．（2026高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解题思路】根据集合相等的概念判断四个选项即可.
【解答过程】对于A，，，故，所以A错误；
对于B，为点集，为数集，故，所以B错误；
对于C，，，故，所以C错误；
对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确，
故选：D.
2．（2026高一上·贵州贵阳·期中）已知集合，，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解题思路】由集合相等可得元素完全相等，得到或，又由元素的互异性即可求得结果.
【解答过程】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，
又根据集合互异性，可知，解得舍去，
所以解得，所以，
故选：A.
3．（2026高一上·上海宝山·阶段练习）已知集合，，且，则集合 .
【答案】
【解题思路】利用集合相等与集合中元素的互异性求解即可.
【解答过程】因为，
当时，解得，此时不满足集合元素的互异性；
当时，解得或（舍去），即满足结合元素的互异性，
所以，
故答案为：.
4．（2026高一·全国·课后作业）已知集合，，判断这两个集合之间的关系.
【答案】
【解题思路】由，，得到，然后由，，得到，从而可判断这两个集合之间的关系．
【解答过程】因为，，所以.
因为，，所以.
故，，
所以.
5．（2026高一上·上海嘉定·阶段练习）已知，.
(1)求实数的取值范围；
(2)当时，求实数的值.
【答案】(1)且
(2)
【解题思路】（1）利用集合中元素的互异性解方程即可得出结果；
（2）由集合相等构造方程组即可求得.
【解答过程】（1）由并根据集合中元素的互异性可知，
即，解得且；
所以实数的取值范围为且；
（2）当时，可得或；
当时，解得，当时，无解；
所以.
1．（2026高一上·全国·课后作业）已知集合，那么集合与Q的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】先得出集合，再根据集合的基本关系得出.
【解答过程】由题意可得，故集合是集合的真子集．
故选：B.
2．（2026高一上·吉林·阶段练习）已知集合，，，则M，N，P的关系（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】将集合化为与相同的形式，即可判断集合间的关系.
【解答过程】由，
又，，
而为偶数，和为整数，所以.
故选：B.
3．（2026高一上·上海·课后作业）设集合，，则、之间的关系为 ．
【答案】
【解题思路】表示的奇数倍，而表示的整数倍，故得解.
【解答过程】因为，
所以集合中的元素是的奇数倍，
又因为集合中的元素是的整数倍，
所以N.
故答案为：.
4．（2026高一下·全国·课后作业）指出下列各对集合之间的关系：
(1)，；
(2)，；
(3)是等腰三角形}，是等边三角形}.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解题思路】根据子集和真子集的定义，结合已知中给定集合，逐一分析，可得结论．
【解答过程】（1）中唯一元素，
又，
所以；
（2），
的元素都是的元素，而的元素不是的元素，
所以；
（3）是等腰三角形}，是等边三角形}，
又∵为等边三角形也是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形；
所以.
5．（2026高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系：
(1)，；
(2)，；
(3)为正整数}，，为正整数}．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解题思路】（1）根据已知条件，结合子集的定义，举例即可求解；
（2）根据已知条件，结合子集的定义，理解的倍数一定是的倍数，的倍数不一定是的倍数，即可求解；
（3）根据已知条件，结合子集的定义，注意奇数1即可求解．
【解答过程】（1）解：的唯一元素，
又，
；
（2）解：，，
，，
的倍数一定是的倍数，
的倍数不一定是的倍数，
例如：，
；
（3）解：为正整数}正奇数，
，为正整数}不小于3的正奇数，
．
1．（2026高一上·云南·阶段练习）若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】先求集合，由集合的交集运算即可求解.
【解答过程】由，所以，
所以，
故选：C.
2．（2026高一上·北京·阶段练习）已知集合，，则集合（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】D
【解题思路】先求出集合，再根据并集的定义求解即可.
【解答过程】由，或，
则或.
故选：D.
3．（2026高一上·天津北辰·阶段练习）已知集合，，若，则 .
【答案】
【解题思路】根据交集的定义求得，然后利用并集的定义求出答案．
【解答过程】集合，，
若，则，解得，所以，
∴，，
∴ ．
故答案为：．
4．（2026高一上·浙江杭州·期中）已知集合.
(1)若，求，；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)，或
(2)
【解题思路】（1）根据集合并集以及补集的定义求解即可；
（2）分和求解即可.
【解答过程】（1）若，则，
所以，或；
（2）若，①当时，，解得；
②当时，，解得，
综上，，
所以的取值范围为.
5．（2026高一上·湖南邵阳·阶段练习）设全集.
(1)求；
(2)求.
【答案】(1)答案见解析
(2)；
【解题思路】（1）根据集合的交并补运算定义计算即得；
（1）根据集合的补集定义计算即得.
【解答过程】（1）由题意，；
；
；；
（2）；.
1．（2026高一上·云南昆明·期末）如图，已知全集，集合 ，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】根据韦恩图得出阴影部分表示的集合是，利用集合的交并补运算即得.
【解答过程】由图知阴影部分表示的集合是,
因， ，
则，故.
故选：D.
2．（2026高二上·湖南·阶段练习）图中的U是全集，A，B是U的两个子集，则表示）的阴影部分是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】根据集合运算的定义，结合韦恩图分析即可得解.
【解答过程】对于A，图中阴影部分表示，故A错误；
对于B，图中阴影部分表示，故B错误；
对于C，图中阴影部分表示，故C正确；
对于D，图中阴影部分表示，故D错误.
故选：C.
3．（2026高一上·上海·阶段练习）如图，已知是全集，是的三个子集用交、并、补关系将图中的阴影部分可表示为 .

【答案】
【解题思路】由韦恩图可知阴影部分表示集合与集合的公共部分但不在集合的部分，用集合的交、并、补关系表示出来即可.
【解答过程】由韦恩图可知阴影部分表示集合与集合的公共部分但不在集合的部分，
所以可以表示为.
故答案为：.
4．（2026高一上·贵州·阶段练习）已知全集为实数集，集合.
(1)若，求图中阴影部分表示的集合C；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【解题思路】（1）根据维恩图可知阴影部分为集合，根据补集、交集运算求解；
（2）转化为，分类讨论，列出不等式，求解即可.
【解答过程】（1）图中阴影部分表示集合为，
当时，，又或，
所以；
（2）因为，所以，
当时，，解得.
当时，若，则有，
解得，
综上所述，实数的取值范围是或.
5．（2026高一上·云南昆明·阶段练习）已知全集为实数集，集合，.
(1)若，求图中阴影部分的集合；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）由图可知阴影部分表示的是，从而可求得结果，
（2）分和两种情况求解即可
【解答过程】（1）当时，，
因为全集为实数集，集合，
所以或，
由图可知阴影部分表示的是，
所以，
（2）当时，成立，此时，解得，
当时，因为，
所以，解得，
综上，，即实数的取值范围为.
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