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第1章 直线与方程（举一反三单元测试·拔尖卷）
参考答案与试题解析
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（2026高二上·四川南充·期末）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】应用斜率与倾斜角的关系即可判断．
【解答过程】由，结合的函数图象，
直线对应的倾斜角为钝角，则，
直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角，
则，故．
故选：B.
2．（5分）（2026高三·全国·专题练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解题思路】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解.
【解答过程】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意，
又因为直线过点，所以直线的斜率为，
所以直线方程为，即，
当直线不过原点时，设直线方程为，
因为点在直线上，
所以，解得，
所以直线方程为，
故所求直线方程为或.故D项正确.
故选：D.
3．（5分）（2026高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】先求两直线的交点，再在直线取点，求点关于直线的对称点，依据两点，，可得所求直线的方程.
【解答过程】联立，解得.则交点坐标为.
取直线上一点，设点关于直线：的对称点为，
则由，且线段的中点在直线上，
得，解得.
故所求直线过点，.
所以所求直线方程为：，即.
故选：B.
4．（5分）（2026高二上·河南开封·期末）中，，，C点在y轴上，若AB边上的中线CD也是AB边上的高，则直线CD的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】利用中点坐标公式得，根据两直线垂直斜率之积等于可得，然后利用点斜式即可得
【解答过程】由题意，得D是AB的中点，则，且，
又，则，
则直线CD的方程为，即
故选：B.
5．（5分）（2026高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果.
【解答过程】由直线的斜率公式可得：
；.
结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或.
故选：C.
6．（5分）（2026高二上·山东济南·期中）若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解题思路】分析可知直线与直线或直线平行，或直线过点，进而列式求解即可.
【解答过程】联立方程，解得，
可知：直线的斜率为，的斜率为，且直线、的交点为，
若三条直线不能围成三角形，则直线与直线或直线平行，或直线过点，
可知直线的斜率存在，且为，
可得或或，解得或或，
所以实数的取值最多有3个.
故选：B.
7．（5分）（2026高二上·上海虹口·期末）已知直线过点，且与坐标轴分别相交于点A B，若的面积为24，其中O为坐标原点，则这样的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【解题思路】根据题意直线的斜率存在，且不过原点，进而设方程为，，再根据题意得，解方程即可得答案.
【解答过程】解：由题知直线的斜率存在，且不过原点，
所以设直线方程为，，
所以直线与轴交点坐标为，直线与轴交点坐标为
所以面积为，即，
所以或,
解方程，即，解得，
解方程，即，解得
所以这样的直线有3条.
故选：C.
8．（5分）（2026高二上·甘肃甘南·期末）在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解题思路】过点作点关于直线的对称点，则的最小值即为到轴的距离，故可求得最小值.
【解答过程】如图，过点作点关于直线的对称点，则.
设，则有，解得，所以.
设第一象限内的点，则，所以，
而，，所以点到轴的距离为，
所以可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和.
过作轴，显然有，
当且仅当三点共线时，和有最小值.
过点作轴，则即为的最小值，此时与重合.
又，所以的最小值为.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（2026高二上·新疆乌鲁木齐·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若直线经过第一 二 四象限，则点在第三象限
B．直线过定点
C．斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为
D．过点且斜率为的直线的点斜式方程为
【答案】BD
【解题思路】根据直线的点斜式方程、斜截式方程逐一判断即可.
【解答过程】因为直线经过第一 二 四象限，
所以有，因此点在第二象限，所以选项A不正确；
由，所以直线过定点，
因此选项B正确；
斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为，
所以选项C不正确；
过点且斜率为的直线的点斜式方程为，
所以选项D正确，
故选：BD.
10．（6分）（2026高二上·江苏扬州·期末）已知直线，，下列选项正确的有（ ）
A．若，则斜率不存在 B．若不经过第三象限，则
C．若，则或 D．若，则
【答案】BC
【解题思路】综合运用直线的点斜式，两直线平行、垂直的充要条件进行判断即可.
【解答过程】对于A，当时，则，则，所以的斜率为0，故A错误；
对于B，由，可得，
若不经过第三象限，则，故B正确；
对于C，若，则，解得或，故C正确；
对于D，若，则直线，，两直线与重合，故D错误．
故选：BC.
11．（6分）（2026高二上·四川眉山·阶段练习）已知直线，点，，，，下列说法正确的是（ ）
A．点P到直线的距离为
B．若P与Q点位于直线的两侧则
C．点P与点Q之间距离的最小值为
D．的最小值为2
【答案】ABD
【解题思路】由点到线的距离即可求得A选项结果；将两个点坐标代入直线方程得到的值符号不同则这两个点在直线的两侧即可求得参数的范围判断B选项；由点到点的距离公式写出距离表达式，由配方法求得最小值判断C选项；找到动点所在直线，由“将军饮马”模型求得线段和最小值判断D选项.
【解答过程】点P到直线的距离，A选项正确；
∵将点代入直线方程得，要想P与Q点位于直线的两侧，则将代入直线方程得，即，B选项正确；
，C选项错误；
∵，∴点在直线上，斜率，过点作直线于点，
则，联立方程组解得，即，
∴点关于直线的对称点，连接与的交点为，
此时最小，的最小值：，D选项正确.
故选：ABD.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（2026高二上·青海海南·期中）过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为 ．
【答案】
【解题思路】根据斜率公式列式求解即可.
【解答过程】根据题意可得，解得或，
当时，点A，B重合，不符合题意，舍去；
当时，经验证，符合题意；
综上所述：.
故答案为：.
13．（5分）（2026高二上·山西大同·阶段练习）将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点重合，则 ．
【答案】1
【解题思路】根据直线对称的性质，结合直线斜率公式、中点坐标公式、互相垂直的直线斜率之间的关系进行求解即可.
【解答过程】设点为点，点为点，所以线段的中点为.
设点为点，设点为点，所以线段的中点为，
由题意可知，
于是有： ，
故答案为：1.
14．（5分）（2026高二上·江西南昌·阶段练习）已知两点，，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于 .
【答案】
【解题思路】作出点关于直线的对称点，作出点关于直线的对称点，则，，三点共线，，，三点共线，即，，，四点共线，得，运用两点间的距离公式计算即可.
【解答过程】解：作出点关于直线的对称点，作出点关于直线的对称点，
则，，三点共线，，，三点共线，即，，，四点共线，
得，易得，，
直线的方程是，
设，则得，即，
.
故答案为：.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（2026高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点.
(1)求直线l的斜率k的取值范围.
(2)求直线l的倾斜角的取值范围.
【答案】(1)或斜率不存在
(2)
【解题思路】（1）结合题意由斜率的定义直接求解即可；
（2）由斜率与倾斜角的关系求解即可；
【解答过程】（1）如图，由题意可知
，
要使直线l与线段有公共点，
则直线l的斜率k的取值范围是或斜率不存在.
（2）由题意可知，l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间.
又的倾斜角是，的倾斜角是，
所以直线l的倾斜角的取值范围是.
16．（15分）（2026高二上·辽宁·期中）已知直线：，直线：
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值．
【答案】(1)；
(2)或.
【解题思路】（1）（2）利用直线平行、垂直的判定列方程求参数值，对于平行情况需要验证所得参数是否符合要求.
【解答过程】（1）由，则，即，
所以或，
当，，，两线重合，不合题设；
当，，，符合题设；
综上，
（2）由，则，即，
所以，即或.
17．（15分）（2026高二上·四川绵阳·期中）已知两直线.
(1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程；
(2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程；
（2）求出点的对称点，利用两点之间直线最短可求答案.
【解答过程】（1）联立方程，解得；
因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为，
故所求直线方程为，即；
（2）设点关于直线对称的点为，
则，解得，即；
则,
故的最小值为.

18．（17分）（2026高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知直线与直线的交点为.
(1)求点的坐标；
(2)求经过点且与直线平行的直线的方程；
(3)求经过点且与直线垂直的直线的方程.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解题思路】（1）联立方程求交点坐标即可；
（2）根据平行关系可得直线的斜率，即可得直线方程；
（3）根据垂直关系可得直线的斜率，即可得直线方程.
【解答过程】（1）联立方程，解得，
可得交点.
（2）因为直线的斜率，
由已知直线与直线平行，则直线的斜率，
所以直线，即；
（3）因为直线的斜率，
由已知直线与直线垂直，则直线的斜率，
所以直线，即.
19．（17分）（2026高二上·广东广州·阶段练习）已知直线.
(1)证明：直线过定点；
(2)若，求直线关于直线对称的直线方程.
(3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)；
【解题思路】（1）利用直线方程直接求解恒过的定点即可；
（2）在直线上取一点，求出其关于的对称点，再结合联立直线和求出的点，即可利用点斜式方程求出所求直线方程；
（3）根据已知条件得到的范围，表示出的面积，利用基本不等式即可求出最小值，以及此时直线的方程.
【解答过程】（1）因为直线，
即，
所以直线恒过定点.
（2）由题知，直线方程为，
设直线关于直线对称的直线为，如图，
联立，解得，
即直线过，
在直线上取，设其关于的对称点为，
则，解得，
即直线过，
所以直线方程为，
即直线方程为.
（3）由题知，，
则，
且，解得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
此时直线的方程为，
即，
综上，的最小值为，
且此时直线的方程为.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第1章 直线与方程（举一反三单元测试·拔尖卷）
考试时间：120分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性
较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（2026高二上·四川南充·期末）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（5分）（2026高三·全国·专题练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
3．（5分）（2026高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（5分）（2026高二上·河南开封·期末）中，，，C点在y轴上，若AB边上的中线CD也是AB边上的高，则直线CD的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（5分）（2026高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）（2026高二上·山东济南·期中）若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．（5分）（2026高二上·上海虹口·期末）已知直线过点，且与坐标轴分别相交于点A B，若的面积为24，其中O为坐标原点，则这样的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
8．（5分）（2026高二上·甘肃甘南·期末）在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（2026高二上·新疆乌鲁木齐·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若直线经过第一 二 四象限，则点在第三象限
B．直线过定点
C．斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为
D．过点且斜率为的直线的点斜式方程为
10．（6分）（2026高二上·江苏扬州·期末）已知直线，，下列选项正确的有（ ）
A．若，则斜率不存在 B．若不经过第三象限，则
C．若，则或 D．若，则
11．（6分）（2026高二上·四川眉山·阶段练习）已知直线，点，，，，下列说法正确的是（ ）
A．点P到直线的距离为
B．若P与Q点位于直线的两侧则
C．点P与点Q之间距离的最小值为
D．的最小值为2
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（2026高二上·青海海南·期中）过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为 ．
13．（5分）（2026高二上·山西大同·阶段练习）将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点重合，则 ．
14．（5分）（2026高二上·江西南昌·阶段练习）已知两点，，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（2026高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点.
(1)求直线l的斜率k的取值范围.
(2)求直线l的倾斜角的取值范围.
16．（15分）（2026高二上·辽宁·期中）已知直线：，直线：
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值．
17．（15分）（2026高二上·四川绵阳·期中）已知两直线.
(1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程；
(2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值.
18．（17分）（2026高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知直线与直线的交点为.
(1)求点的坐标；
(2)求经过点且与直线平行的直线的方程；
(3)求经过点且与直线垂直的直线的方程.
19．（17分）（2026高二上·广东广州·阶段练习）已知直线.
(1)证明：直线过定点；
(2)若，求直线关于直线对称的直线方程.
(3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程.
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