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小结与评价
三角形
第4章
（湘教版）八年级
上
知识图谱
思考回顾
1. 三角形的三边之间有怎样的关系？什么是三角形的内角和定理？
三角形的三边关系：
三角形的任意两边之和大于第三边.
三角形的任意两边之差小于第三边.
BA > BC-AC
AC+CB > AB
BA+AC > BC
CB+BA > CA
AC > AB-CB
CB > CA-BA
A
C
B
思考回顾
1. 三角形的三边之间有怎样的关系？什么是三角形的内角和定理？
三角形内角和定理：
三角形的内角和等于180°.
如图，∠A +∠B+∠C=180°.
C
B
A
思考回顾
2. 什么是命题？如何判断一个命题是真命题还是假命题？
叙述一件事情的句子（陈述句）要么是真的，要么是假的，两者必居其一，我们称这个陈述句是一个命题.
如果一个命题叙述的事情是真的，就说它是真命题；
如果一个命题叙述的事情是假的，就说它是假命题.
例 命题：对顶角相等
真命题：直角三角形有一个角等于90°
假命题：同位角相等
思考回顾
3. 什么是互逆命题？原命题是真命题，它的逆命题一定是真命题吗？反证法的基本思路是怎样的？
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作它的逆命题.
例 互逆命题：
两直线平行，同位角相等。
同位角相等，两直线平行。
思考回顾
3. 什么是互逆命题？原命题是真命题，它的逆命题一定是真命题吗？反证法的基本思路是怎样的？
原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.
例 若两数相等，则它们的绝对值也相等；（原命题是真命题）
绝对值相等的两个数相等。（逆命题是假命题）
思考回顾
3. 什么是互逆命题？原命题是真命题，它的逆命题一定是真命题吗？反证法的基本思路是怎样的？
反证法的基本思路：
（1） 假设命题不成立；
（2） 导出矛盾；
（3） 肯定结论.
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4. 如何判定两个三角形全等？全等三角形有哪些性质？
判定两个三角形全等
1.如果两个三角形的三条边和三个角分别对应相等，那么这两个三角形全等.
2.全等三角形的判定定理（边角边）:
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
3.全等三角形的判定定理（角边角）：
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
思考回顾
4. 如何判定两个三角形全等？全等三角形有哪些性质？
判定两个三角形全等
4.全等三角形的判定定理（角角边）：
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
5.全等三角形的判定定理（边边边）：
三边分别相等的两个三角形全等.
思考回顾
4. 如何判定两个三角形全等？全等三角形有哪些性质？
全等三角形的性质:
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
思考回顾
5. 什么是等腰三角形的性质定理？什么是等腰三角形的判定定理？等边三角形呢？
等腰三角形的性质定理：
等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”)，底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”).
应用格式：
,
三线合一
思考回顾
5. 什么是等腰三角形的性质定理？什么是等腰三角形的判定定理？等边三角形呢？
等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “ 等角对等边”）
B
C
A
(
(
应用格式：在中，
（已知）
（等角对等边）
即为等腰三角形.
思考回顾
5. 什么是等腰三角形的性质定理？什么是等腰三角形的判定定理？等边三角形呢？
等边三角形的性质定理:
等边三角形的各角都等于60°.
几何语言：
在△ABC中
∵AB＝AC＝BC
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°
A
B
C
思考回顾
5. 什么是等腰三角形的性质定理？什么是等腰三角形的判定定理？等边三角形呢？
等边三角形的判定定理1:
三个角都相等的三角形是等边三角形.
A
B
C
几何语言：
在△ABC中
∵∠A=∠B=∠C
∴AB＝BC＝AC
思考回顾
5. 什么是等腰三角形的性质定理？什么是等腰三角形的判定定理？等边三角形呢？
等边三角形的判定定理2:
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
A
B
C
几何语言：
在△ABC中
∵AB＝AC，∠A＝60°
∴AB＝BC＝AC
思考回顾
6. 什么是线段的垂直平分线？线段的垂直平分线的性质定理和它的逆定理分别是什么？
线段的垂直平分线：
垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线
（或中垂线）. 图中，直线 l 就是线段 PP'的垂直平分线.
思考回顾
6. 什么是线段的垂直平分线？线段的垂直平分线的性质定理和它的逆定理分别是什么？
线段的垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
用几何语言表示为：
∵ CA =CB，l⊥AB，
（点P在线段AB的垂直平分线上）
∴ PA =PB．
P
A
B
l
C
思考回顾
6. 什么是线段的垂直平分线？线段的垂直平分线的性质定理和它的逆定理分别是什么？
线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
应用格式：
∵PA =PB，
∴点P 在AB 的垂直平分线上．
P
A
B
思考回顾
7. 举例说明本章学习的几种尺规作图.
(1)已知三边作三角形.
如图，已知线段a，b，c.
求作△ABC，使BC = a，AC = b，AB = c.
思考回顾
7. 举例说明本章学习的几种尺规作图.
(2)作一个角等于已知角.
如图，已知∠AOB.
求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′= ∠AOB.
思考回顾
7. 举例说明本章学习的几种尺规作图.
(3)已知两边及其夹角作三角形.
如图，已知∠α和线段a，c.
求作△ABC，使 ∠B = ∠α，BC =a，AB = c.
思考回顾
7. 举例说明本章学习的几种尺规作图.
(4)已知两角及其夹边作三角形.
如图，已知∠α，∠β和线段a.
求作 △ ABC， 使 ∠ABC = ∠α， ∠ACB =∠β，BC = a.
思考回顾
7. 举例说明本章学习的几种尺规作图.
(5)过直线外一点作这条直线的平行线.
如图，已知直线AB，点P不在AB上.
求作过点P且与直线AB平行的直线.
注意事项
1. 一个命题要么是真的，要么是假的，二者必居其一.
2. 判断一个命题是真的，需要进行证明. 难以直接证明时，常用反
证法.
3. 判断一个命题是假的，只需要举出一个反例，使之符合命题的条
件，但是不满足命题的结论.
4. 一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.
5. 由于全等三角形的对应边相等、对应角相等，因而证明线段相等
或角相等时，常常先证明有关的两个三角形全等.
典例精讲
题型一：三角形的概念及边和角的性质
例1
一个三角形的两边长分别为3和4,且第三边长为整数,这样的三角形的周长最大值是( ).
A.11 B.12
C.13 D.14
C
典例精讲
题型一：三角形的概念及边和角的性质
例2
如图，在△ABC中,∠A =46° ,∠C= 74° , BD平分∠ABC,交AC于点D,则∠BDC的度数是（ ）
A.76° B.81°
C.92° D.104°
A
典例精讲
题型一：三角形的概念及边和角的性质
例3
如图，已知△ ABC 三边的中线 AD ， BE ， CF 交于点 G . 若 S△ ABC ＝12，则图中阴影部分的面积是 .
6
典例精讲
题型二：命题与证明
例4
下列命题的逆命题是真命题的是( )
A.对顶角相等
B.全等三角形的面积相等
C.如果a>0，b>0，那么ab>0
D.两直线平行，内错角相等
D
典例精讲
题型二：命题与证明
例5
对假命题“任何-一个角的补角都不小于这个角”举反例,正确的反例是( )
A.∠α=60°,∠α的补角∠β=120°,∠β>∠α
B.∠α=90°,∠α的补角∠β=90°,∠β=∠α
C.∠α= 100°,∠α的补角∠β=80°,∠β<∠α
D.两个角互为邻补角
C
典例精讲
题型三：全等三角形的性质与判定
例6
如图，在四边形 ABCD 中，∠ A ＝90°， AD ＝3， BC ＝5， BD 平分∠ ABC ，则△ BCD 的面积为（　B　）
A.8 B.7.5
C.15 D.无法确定
B
典例精讲
题型三：全等三角形的性质与判定
例7
如图， AB ＝ AC ， CE 与 BD 交于点 M ， BM ＝ CM ，点D ， E 分别在 AC ， AB 上.下列结论中：①∠ B ＝∠ C ；② AD ＝ AE ；③ BE ＝ CD . 正确的有 .（填序号）
①②③　
典例精讲
题型三：全等三角形的性质与判定
例8
如图，在Rt△ ABC 中， AB ＝ CB ，∠ ABC ＝90°， D 为
AB 延长线上一点，点 E 在 BC 边上，且 BE ＝ BD ，连接 AE ， DE ， DC .
（1）求证：△ ABE ≌△ CBD ；
（2）若∠ CAE ＝30°，求∠ EDC 的度数.
典例精讲
题型三：全等三角形的性质与判定
例8
（1）证明：∵∠ABC ＝90°，
∴∠CBD ＝180°－90°＝90°.
在△ABE 和△CBD 中，
∴△ABE ≌△CBD （SAS）.
典例精讲
题型三：全等三角形的性质与判定
例8
（2）解：∵△ABE ≌△CBD ，∴∠BCD ＝∠BAE .
∵ AB＝CB ，∠ABC ＝90°， BE＝BD ，
∴∠BAC＝∠BED ＝45°.
∵∠CAE＝30°，
∴∠BAE＝45°－30°＝15°.
∴∠EDC＝∠BED －∠BCD ＝45°－15°＝30°.
典例精讲
题型四：等腰（边）三角形
例9
直线上依次有A,B,C,D四个点,AD =7,AB =2,若AB,BC,CD可构成以BC为腰的等腰三角形,则BC的长为 .
2或2.5
典例精讲
题型四：等腰（边）三角形
例10
如图，等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三
等分点.分别过点E,F沿着平行于BA,CA方向各剪一刀，则
剪下的△DEF的周长是 .
6
典例精讲
题型四：等腰（边）三角形
例11
如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，点 D ， E ， F 分别在 AB ， BC ， AC 边上，且 BE ＝ CF ， AD ＋ EC ＝ AB .
（1）求证：△ DEF 是等腰三角形；
（2）当∠ A ＝40°时，求∠ DEF 的度数.
典例精讲
题型四：等腰（边）三角形
例11
（1）证明：∵ AB ＝ AC ，
∴∠B ＝∠C .
∵ AB ＝ AD ＋ BD ，AB ＝ AD ＋ EC ，
∴ DB ＝ EC .
在△DBE 和△ECF 中，
∴△DBE ≌△ECF （SAS）.∴ DE ＝ EF .
∴△ DEF 是等腰三角形.
典例精讲
题型四：等腰（边）三角形
例11
（2）解：∵∠A ＝40°，
∴∠B ＝∠C ＝ ×（180°－40°）＝70°.
∴∠BDE ＋∠DEB ＝110°.
又∵△ DBE ≌△ ECF ，
∴∠BDE ＝∠FEC .
∴∠FEC ＋∠DEB ＝110°，
∴∠DEF ＝70°.
典例精讲
题型五：线段的垂直平分线
例12
如图,AD⊥BC,BD=CD,点C在AE的垂直平分线上，若AB=5,BD=3,则BE的长为 .
11
典例精讲
题型五：线段的垂直平分线
例13
如图,在等腰三角形ABC中,AB =AC, DE垂直平分AB,分别交AB,AC于点E,D.
(1)若∠ADE =40° ,求∠DBC的度数;
(2)若△ABC与△DBC的周长分别是40 cm,24 cm,
求AB的长.
典例精讲
题型五：线段的垂直平分线
例13
解:(1)∵DE垂直平分AB,
∴∠AED=∠BED=90°,DA=DB，
∴∠ADE =40°，
∴∠A=∠ABD =50°，
又∵AB=AC,
∴∠ABC= ( 180°-50°) ÷2 = 65°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD =65°-50°=15°.
典例精讲
题型五：线段的垂直平分线
例13
(2)∵△ABC的周长表示为AB+BC+CA，
△DBC的周长表示为BD+ BC + CD,
∴(AB+BC+CA)-(BD+BC+CD)
=AB+BC+CA-BD-BC-CD
=AB+CA-BD-CD
=AB +CA -DA -CD =AB，
∵△ABC与△DBC的周长分别为40 cm ,24 cm,
∴AB =16 cm.
典例精讲
题型六：尺规作图
例14
过直线 l 外一点 P 作直线 l 的平行线，下列尺规作图中错误的是（　D　）
D
典例精讲
题型六：尺规作图
例15
如图，在△ ABC 中，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 AB 的长为半径作圆弧，两弧相交于点 M 和点 N ，作直线 MN 交 CB 于点 D ，连接 AD ，若 AC ＝8， BC ＝15，则△ ACD 的周长为 .
23
典例精讲
拓展提升
例16
如图，在等边△ ABC 中， M 为 AB 边上任意一点，延长 BC 至点 N ，使 CN ＝ AM ，连接 MN 交 AC 于点 P ， MH ⊥ AC 于点 H .
（1）求证： MP ＝ NP ；
（2）若 AB ＝ a ，求线段 PH 的长（结果用含 a 的
代数式表示）.
典例精讲
拓展提升
例16
（1）证明：过点 M 作 MQ ∥ BC ，交 AC 于点 Q .
在等边△ ABC 中，∠A ＝∠B ＝∠ACB ＝60°，
∵ MQ ∥ BC ，
∴∠AMQ ＝∠B ＝60°，∠AQM ＝∠ACB ＝60°，
∠QMP ＝∠N ，
∴△AMQ 是等边三角形，∴ AM ＝ QM .
∵ AM ＝ CN ，∴ QM ＝ CN .
典例精讲
拓展提升
例16
在△QMP 和△CNP 中，
∴△QMP ≌△CNP （AAS），
∴ MP ＝ NP .
典例精讲
拓展提升
例16
（2）解：∵△AMQ 是等边三角形，且 MH ⊥ AC ，
∴ AH ＝ HQ .
∵△QMP ≌△CNP ，∴ QP ＝ CP ，
∴ PH ＝ HQ ＋ QP ＝ AH ＋ PC ＝ AC .
∵ AB ＝ a ， AB ＝ AC ，
∴ PH ＝ a .
作业布置
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