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二次函数周测小卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线，的共同性质是( )
A. 开口向上 B. 都有最大值 C. 对称轴都是轴 D. 顶点都是原点
2.将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到新的物解析式为( )
A. B. C. D.
3.已知是二次函数的图象上的三点，则的大小关系是( )
A. B. C. D.
4.函数与的图象可能是( )
A. B.
C. D.
5.已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：；若点，，均在该二次函数图象上，则；若为任意实数，则；若且，则；方程的两实数根为，，且，则，其中正确的结论个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
7.若是关于的二次函数，则的值是 ．
8.已知，是抛物线上的两点，则 ．
9.如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于点，与轴交于点、，则以下结论：；二次函数的最大值为；；；；为实数；其中正确的有 填序号
10.已知函数是常数，，是常数，，在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围是 ．
三、解答题：本题共3小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11.本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线
求抛物线的顶点的坐标；要有过程
若直线与抛物线的一个交点的横坐标为，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．
当时，求的长．
当点在点的下方，且线段的长随的长的增大而减小时，求的取值范围．
12.本小题分
某商店销售一种进价为元件的商品，经调查发现，该商品每天的销售量件与销售单价元件之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
求与之间的函数关系式．
当销售单价定为多少元时，该商店每天销售这种商品可获得最大利润？最大利润是多少？
13.本小题分
【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活．
【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的处有一古棵树与墙，的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙两边足够长，用长的篱笆围成一个矩形花园篱笆只围，两边，设．
【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古棵树围在花园内含边界，不考虑树的粗细．
【解决问题】思路：把矩形的面积与边长即的长的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可．
请用含有的代数式表示的长；
花园的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由；
求面积与的函数解析式，写出的取值范围；并求当为何值时，花园面积最大？
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二次函数周测小卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线，的共同性质是( )
A. 开口向上 B. 都有最大值 C. 对称轴都是轴 D. 顶点都是原点
【答案】D
【解析】解：抛物线，开口向上，有最小值，对称轴是轴，顶点在原点；
开口向下，有最大值，对称轴是轴，顶点在原点；
两个函数的共同性质是顶点在原点，对称轴是轴．
故选：．
根据抛物线的性质解答即可．
本题考查了抛物线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
2.将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到新的物解析式为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线图象的平移规则：左加右减，上加下减，即可得到答案．
【详解】解：将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到新的物解析式为
故选：．
3.已知是二次函数的图象上的三点，则的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据函数解析式可知函数的对称轴为，再根据抛物线的开口方向向上即可求得时，随增大而减小即可得答案．
【详解】解：，
抛物线的开口方向向上，
二次函数的对称轴为，
当时，随增大而减小，
，
，
故答案为：
4.函数与的图象可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了一次函数图象和二次函数图象的识别．首先分两种情况进行分析，当时，可以确定一次函数与二次函数的大致走向；同理当时也可以，再结合两函数图象交于点即可得出答案．
【详解】解：当时，直线过一、三象限，抛物线开口向上；
当时，直线过二、四象限，抛物线开口向下，
可得选项B、、不符合题意，选项A符合题意，
故选：．
5.已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：；若点，，均在该二次函数图象上，则；若为任意实数，则；若且，则；方程的两实数根为，，且，则，其中正确的结论个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】C
【解析】解：如图，
二次函数的图象与轴的一个交点坐标为
当时，可有，故结论正确；
，
该二次函数的图象开口向下，
函数图象上的点距离对称轴越远，函数值越小，
对称轴为，
，，，
又，
，故结论错误；
该函数图象的对称轴，
，
，即，
，
该二次函数的图象开口向下，
当时，该函数取最大值，
为任意实数，可有，
即，故结论正确；
若且，
即有，
函数图象的对称轴为，
，即，故结论错误；
方程的两实数根为，，
抛物线与直线的交点的横坐标为，，
由抛物线的对称性可知该抛物线与轴的另一交点为，
即该抛物线与轴的交点为，，
该抛物线开口向下，，
，，故结论正确．
综上所述，结论正确的有，共计个．
故选：．
由该抛物线经过点即可判断结论；由各点到抛物线对称轴的距离大小即可判断结论；由当时函数值取最大值，即可判断结论；由对称轴为直线，即可判断结论；由抛物线的对称轴可得该抛物线与轴的交点坐标，即可判断结论．
本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程和不等式的关系、利用不等式求自变量或函数值的范围等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．
6.在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
根据各选项图象判断的取值范围求解．
本题考查二次函数与一次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．
【解答】
解：选项A：直线经过第二，四象限，则；抛物线开口向上，则，不符合题意．
选项B：直线经过第二，四象限，则；抛物线开口向下，则，抛物线与轴交点在轴下方，则，即，不符合题意．
选项C：直线经过第一，三象限，则；抛物线开口向上，则，抛物线与轴交点在轴下方，则，即，符合题意．
选项D：直线经过第一，三象限，则；抛物线开口向下，则，不符合题意．
故选：．
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
7.若是关于的二次函数，则的值是 ．
【答案】
【解析】解：由题意得，且，
解得，
故答案为：．
根据二次函数的定义得到且，然后进行求解即可．
本题主要考查了二次函数的定义，熟知对于任意实数，二次函数可以表示为为常数，且；其中，为自变量，，，分别是二次项系数、一次项系数和常数项，准确分析计算是解题的关键．
8.已知，是抛物线上的两点，则 ．
【答案】
【解析】解：，是抛物线上的两点，
，，
，
故答案为：．
将，分别代入，计算出，，即可比较大小．
本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，已知自变量求函数值，计算出，是解决本题的关键．
9.如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于点，与轴交于点、，则以下结论：；二次函数的最大值为；；；；为实数；其中正确的有 填序号
【答案】
【解析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点以及过特殊点时，相应的系数、、满足的关系进行综合判断即可．
【详解】解：二次函数开口向下，
，
抛物线的对称轴为，
，即，
，
二次函数与轴交于正半轴，
，
，
错误；
抛物线的对称轴为，过，
抛物线与轴的另一个交点为，
当时，，即为最高点，
二次函数的最大值为；
正确；
当时，，
不正确；
抛物线与轴有两个不同交点，因此，
不正确；
抛物线的对称轴为，
，即，，
正确；
当时，，即为最高点，二次函数的最大值为，
，
，即，
正确；
综上所述，正确的有：．
故答案为：．
10.已知函数是常数，，是常数，，在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围是 ．
【答案】或
【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，分类讨论、数形结合是解题的关键．
求得函数是常数，的图象过定点，函数是常数，与轴的交点为，然后分两种情况讨论即可求得的取值．
【详解】解：，
函数是常数，的图象过定点
，
函数是常数，与轴的交点为，
当时，无论为何值，函数和的图象总有公共点，
满足题意；
当时，
无论为何值，函数和的图象总有公共点，
时，，即，
解得，
满足题意；
无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围是或．
故答案为：或．
三、解答题：本题共3小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11.本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线
求抛物线的顶点的坐标；要有过程
若直线与抛物线的一个交点的横坐标为，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．
当时，求的长．
当点在点的下方，且线段的长随的长的增大而减小时，求的取值范围．
【答案】(1)解：
；
∴顶点的坐标为；

(2)解：①当时，，
∴，
把代入，得，解得，
∴，
由题意，，，
当时，，，
∴；
②由①知：，，抛物线的解析式为，
当时，解得或，
∵点在点的下方，
∴，
∴，，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∵线段的长随的长的增大而减小，即线段的长随的增大而减小，，
∴．

【解析】
一般式化成顶点式，根据顶点式，直接写出顶点坐标即可；

求出点坐标，进而求出抛物线的解析式，求出的坐标，进而求出的长即可；根据点在点的下方，求出，根据，结合二次函数的增减性，进行求解即可．
12.本小题分
某商店销售一种进价为元件的商品，经调查发现，该商品每天的销售量件与销售单价元件之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
求与之间的函数关系式．
当销售单价定为多少元时，该商店每天销售这种商品可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】 当销售单价定为元时，该商店每天销售这种商品可获得最大利润，最大利润是元
【解析】解：设与之间的函数关系式为．
把，代入得：
，
解得，，
与之间的函数关系式为；
设利润为元．
．
，
当时，有最大值，最大值为．
答：当销售单价定为元时，该商店每天销售这种商品可获得最大利润，最大利润是元．
设与之间的函数关系式为把，代入，得出和的值，得到与之间的函数关系式；
设利润为元，，求出最大值即可．
本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，掌握函数性质是解题的关键．
13.本小题分
【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活．
【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的处有一古棵树与墙，的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙两边足够长，用长的篱笆围成一个矩形花园篱笆只围，两边，设．
【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古棵树围在花园内含边界，不考虑树的粗细．
【解决问题】思路：把矩形的面积与边长即的长的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可．
请用含有的代数式表示的长；
花园的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由；
求面积与的函数解析式，写出的取值范围；并求当为何值时，花园面积最大？
【答案】(1)解：，
∴

(2)在点P与，的距离分别是和，
，，
，
解得：，（不合题意，舍去），
所以花园的面积可等于，此时x的值为12；

(3)解：在点P与，的距离分别是和，
，
面积S与x的函数解析式为：
，抛物线的开口向下，对称轴为
当时，S随x的增大而增大
当时，S取到最大值为：，
即当时，花园面积S最大，最大值为195平方米．

【解析】
本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，准确理解题意，利用矩形的面积公式列方程或者写出函数关系式是解题的关键．
根据篱笆的长度，求解即可；

先根据花园的面积写出函数关系式，再利用二次函数求最值的方法求解，注意取值范围即可．

先根据花园的面积写出函数关系式，再利用二次函数求最值的方法求解即可．
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