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专题08.动态几何模型与绝对值中的最值模型
本专题包含数轴中的动态模型、线段中的动态模型、角度中的动态模型、绝对值中的最值模型、计数模型等。
1．（2026七年级上·重庆·期末）已知点C在线段上，，点D，E在线段上，点D在点E的左侧．若，线段在线段上移动，且满足关系式，则的值为（ ）

A．5 B． C．或 D．
【答案】B
【详解】设，则，∴．
∵，∴．设，
当点E在线段之间时，如图，

∴，∴．
∵，∴，∴，
∴，∴；
当点E在线段之间时，如图，

∴，∴．
∵，∴，解得：，不符合题意，舍；综上可得．故选B．
2．（2026七年级上·陕西西安·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（ ）
①运动后，；②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化；
③当时，运动时间为．
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【答案】D
【详解】解：运动后，，
∵为的中点，为的中点，∴，
∴，故①正确；设运动秒，则，
∵为的中点，为的中点，，
∴，
，∴的值不变，故②错误；
，，解得：，故③正确；故选：D．
3．（2026七年级下·河南安阳·阶段练习）如图所示，两条直线相交所组成的角中，对顶角有2对，三条直线相交，交点最多时所组成的角中，对顶角有6对……那么条直线相交，交点最多时，所组成的角中对顶角有（　　）

A．对 B．2对 C．对 D．对
【答案】C
【详解】解：两条直线相交只有1个交点，对顶角有对，
三条直线相交有3个交点，对顶角有对，四条直线相交有6个交点，对顶角有对，
则n条直线相交，交点最多时，所组成的角中，对顶角有对，故选：C．
4．（2026七年级上·河南洛阳·期末）数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如：代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与3所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．请结合数轴探究，当表示数x的点在数轴上移动时，代数式的最小值为 ．
【答案】7
【详解】解：的几何意义数轴上x所对应的点到的距离与x所对应的点到5的距离之和，
当在数与5之间时，的和为7，
当在的左侧或5的右侧时，，的最小值为7，故答案为：7．
5．（2026七年级上·四川成都·期末）将一副三角板与如图放置，、、三点共线，，，现将三角板绕点沿顺时针方向旋转一定角度如图，若平分，平分，则的度数是 ．
【答案】
【详解】解：平分，平分，
，，
，
，，，．
故答案为：．
6．（2026七年级上·重庆·期末）如图，直线上有一点，过点在直线的上方作射线，，现将射线绕点以每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，射线始终平分，射线始终是的三等分线，且．设旋转时间为秒，若，的值为 ．
【答案】或
【详解】解：设旋转时间为秒，
当时，则，∴，
∵射线始终是的三等分线，且，
∴，
∵射线始终平分，∴，
∴，解得：；
当时，则，∴，
∵射线始终是的三等分线，且，
∴，
∵射线始终平分，∴，
∴，解得：；
当时，则，
∴，
∵射线始终是的三等分线，且，
∴，
∵射线始终平分，∴，
∴，解得：（舍去）．
综上可得，的值为或．故答案为：或．
7．（2026七年级上·广东深圳·期末）已知直线l上线段，线段（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），若线段的端点C从点B开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时点M从点A开始以2个单位/秒的速度向右运动，点N是线段的中点，则线段运动 秒时，．
【答案】2或18/18或2
设点A表示的数为0，则点B表示的数为6，当运动时间为t秒时，由，，结合，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设点A表示的数为0，则点B表示的数为6，当运动时间为t秒时，点C表示的数为，点D表示的数为，点M表示的数为，
∵点N是线段的中点，∴点N表示的数为，
∴．
根据题意得：，即或，解得：或，
∴线段运动2或18秒时，．故答案为：2或18．
8．（2026六年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为 ．
【答案】或
【详解】解：当点N与点M在点O左边相遇时，则点N的速度为，
当点N与点M在点O右边相遇时，则点N的速度为；
综上所述，点N的速度为或，
故答案为：或．
9．（2026七年级上·四川眉山·期末）如图，B是线段上一动点，沿以每秒的速度往返运动1次，C是线段的中点，，设点B的运动时间为t秒．
(1)当时，______cm，______cm；(2)用含有t的代数式表示运动过程中的长；(3)在运动过程中，若的中点为E，则的长度是否发生变化？若不变，求出的长：若变化，请说明理由．
【答案】(1)6；2(2)；；(3)不变；．
【详解】（1）解：当时，，此时，，
∵C是线段的中点，则；故答案为：6；2；
（2）解：①∵B是线段上一动点，沿A→D→A以每秒的速度往返运动，
∴当时，，∴；
②当时，，∴；
（3）解：不变；
因为的中点为E，C是的中点，所以，，所以，．
10．（2026七年级上·广东·专题练习）如图，已知直线上有两条可以左右移动的线段：，，且m，n满足，点M，N分别为，中点．
(1)求线段，的长；(2)线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，，求移动前线段的长．
【答案】(1)，(2)或8
【详解】（1）解：因为，
所以，，所以，，所以，；
（2）若6秒后，在点左边时，由，即，解得，
若6秒后，在点右边时，则，即，解得．
综上，或8．
11．（2026七年级上·湖南湘潭·期末）如图1，点C在线段上，图中共有3条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段的“巧点”．
(1)一条线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是“或“不是”）
(2)如图2，数轴上A、B两点分别对应数a、b，且a、b满足关系式．
①若C是线段的“巧点”，则C点表示的数是多少？
②动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点B匀速移动．点Q从点B出发，以每秒的速度沿向终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时两动点同时运动停止，若设移动的时间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段的“巧点”．
【答案】(1)是(2)①或或②或或
【详解】（1）解：如图，若点是中点，则有成立，满足“巧点”定义，
一条线段的中点是这条线段的“巧点”，故答案为：是；
（2）解：①，，，解得：，，
若C是线段的“巧点”，则分三种情况讨论：
）当时，此时，点表示的数是：；
）当时，此时，点表示的数是：；
）当时，此时，点表示的数是：；
综上，点表示的数是或或，答：点表示的数是或或；
②如图，当移动的时间为t秒时，点表示的数为，点表示的数为，
当点Q恰好是线段的“巧点”时，分三种情况讨论：
）当时，，解得：；
）当时，，解得：；
）当时，，解得：；
综上，当或或时，点Q恰好是线段的“巧点”．
12．（2026七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，是线段上一点，，点从点出发，沿以的速度匀速向点运动，点从点出发，沿以的速度匀速向点运动，两点同时出发，结果点比点先到，设点出发时间为．(1)求线段的长．(2)t为何值时，点恰好是线段的中点？(3)求点与点重合时（未到达点），的值．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：设，根据题意可得：，解得：，
答：的长为；
（2）解：设时，点是的中点，由题意得，，
∵恰好是线段的中点，∴，即，∴，解得，
∴存在，点恰好是线段的中点；
（3）解：由题意可得：，解得：，故点与点重合时（未到达点），的值为．
13．（2026七年级上·河南漯河·期末）如图，点C在线段上，，．
(1)求的长．(2)若，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧．①当D为的中点时，求的长．②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，且，，求出的长．
【答案】(1)(2)①；②12或14
【详解】（1）解：∵，∴，
∵，∴．
（2）①∵D为的中点，∴，∴．
∵，，∴，∴．
②分两种情况讨论：（ⅰ）如图1，当点F在点C的左侧时．
∵，，∴.
∵，，∴，∴；
（ⅱ）如图2，当点F在点C的右侧时．
∵，，∴．
∵，，∴，∴．
综上所述，的长为12或14．
14．（2026七年级下·重庆·开学考试）已知点C在线段上，，线段在线段上移动，点D在点E的左侧．若．

(1)如图1，当E为中点时，求的长；
(2)点H（异于A，B，C点）在线段上，点E在线段上，，求的长．
【答案】(1)5(2)或
【详解】（1）解：设，则，，
∵，∴；解得；故；
∵E为中点，∴，
∵，∴，∴．
（2）解：当点H在点C的右侧时，∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴；
当点H在点C的左侧时，∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴；故的长或．
15．（2026七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．

(1)若，当点C、D运动了，求的值；
(2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______；
(3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值．
【答案】(1)(2)(3)或1
【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，，
，．
（2）解：设运动时间为t，则，，
，，又，，即，
，，；
（3）解：当点N在线段上时，如图
，又，，，即．
当点N在线段的延长线上时，如图：
，又，，即．综上所述的值为或．
16．（2026七年级上·河北唐山·期末）问题情境：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），点和点分别是的中点．
猜想：（1）若，则______．
计算说明：（2）线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度；如果变化，请说明理由．
问题解决：（3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和．①若，，求______．
②请你直接写出和三个角之间的数量关系．
【答案】（1）16（2）不变，（3）①90②
【详解】解：（1），，，，
点和点分别是，的中点，，，
；故答案为：16；
（2）线段运动时，线段的长度不发生变化，始终为，理由如下：
，，，
点和点分别是，的中点，，
，；
（3）①，，，
射线和射线分别平分和，，，
，，故答案为：90；
②，和之间的关系是：，理由如下：
射线和射线分别平分和，设，，
，，，
又，，
，，即．
17．（2026七年级上·广东广州·期末）（1）如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以的速度沿线段向左运动，到点A停止．若P，Q两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（）s．
（ⅰ）________cm．（ⅱ）是否存在某一时刻，使得C，P，Q这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．
（2）一副三角板按左图中的方式拼接在一起，其中边、与直线上，，．
（ⅰ）________度．
（ⅱ）如图，三角板固定不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转角（即），在转动过程中两个三角板一直处于直线的上方．
①当平分，，其中的两边组成的角时，________．②在旋转过程中，是否存在某一时刻满足？若存在，求此时的角；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（ⅰ）10（ⅱ）；（2）（ⅰ）75（ⅱ）①的值为，，②当或时，存在
【详解】解：（1）（ⅰ）∵C为的中点∴．故答案为：10；
（ⅱ）存在，①∵P的速度2，Q的速度是1，∴，
又，∴∴不是线段的中点；
②为线段的中点，得，解得；
③为线段的中点，得，解得综上所述：或．
（2）（ⅰ），，，故答案为：75；
（ⅱ）①当平分时，，，，
，，
当平分时，，，；
当平分时，，，，
综上所述，旋转角度的值为，，；
②当在的左侧时，则，，
，，；
当在的右侧时，则，，
，，，
综上所述，当或时，存在．
18．（2026七年级上·山东临沂·期末）如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，平分；将一直角三角板的直角顶点放在点处，设直角三角板两直角边分别为、（，），边在射线上．
(1)在图1中，_____；(2)如图2，将直角三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当时，则旋转时间的值为多少秒？(3)将直角三角板绕点顺时针旋转，当在内部运动时，请写出此时与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)(2)旋转时间的值为秒或秒(3)，理由见解析
【详解】（1）解：，，，
又平分，；
（2）当旋转时间为秒时，，根据题意得：或，
解得：或，旋转时间的值为秒或秒；
（3），理由如下：
当在内部运动时，，
又，，．
19．（2026七年级上·广东佛山·阶段练习）旋转与角度：
（1）已知点A、O、B在同一直线上，是直角，平分，求的度数．
（2）填空：时钟在5点_____________分，时针和分针夹角是．（3）如图，，射线OM从OA出发绕点O顺时针旋转，每秒转，同时，射线ON从OB出发绕点O逆时针旋转，每秒转转到出发位置时均停止转动．①几秒后OM平分？②几秒后ON平分？
【答案】（1）（2）或（3）①5秒②11秒．
【详解】（1）∵，是直角；
∴，；∴；
∵平分；∴；∴．
（2）时针分针以5点整为起点，设时间为；
①当分针未追及时针时，由题意可得；；解得；
②当分针超过时针时，由题意可得；；解得；故答案为或．
（3）设时间为，由题意可得；，；
①∵平分；∴；
又∵；∴；解得；
②∵平分；∴，；
又∵；∴；解得．
20．（2026七年级上·广东汕头·期末）如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺（其中）的顶点放在夹角为的两条直线、的交点处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点顺时针旋转（即）．
(1)如图2，若，则______，_____；
(2)若射线是的角平分线，且．
①当旋转到图3的位置，若，求的度数；
②在旋转过程中，若，且，则此时的值．
【答案】(1)；(2)①；②的值为或
【详解】（1）解：由题意得，
∵，∴；
∵，∴，
故答案为：；；
（2）解：①∵，，∴，
∵射线是的角平分线，∴，即，
又∵，∴，∴；
②当位于内部时，∵平分，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴；
当位于内部时，如图，
∵，，∴，
∵平分，∴，，
∴，，
∵，∴，解得，
综上所述，若，β的值为或．
21．（2026七年级上·广东茂名·阶段练习）如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为A、B两点，两脚脚跟位置分别为C、D两点，定义A、B、C、D平面内O为定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转．

(1)如图2，A、O、B三点共线，点C、D重合，，则________；
(2)如图3，A、O、B三点共线，且，平分，求大小；
(3)第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然A、O、B三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请写出这个定值为________；
(4)第四节体侧运动中，如图5，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前A、O、B三点在同一水平线上，绕点O顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线）．请帮助乐乐求出运动过程中与的数量关系．
【答案】(1)90(2)(3)(4)当时，；当时，
【详解】（1）解：∵A，O，B三点共线，∴，
∵，∴，故答案为：90；
（2）解：∵，设，，
∵平分，∴，
∵A，O，B三点共线，∴，∴，解得：，
∴
（3）解：这个定值是，理由：∵，设，则，
∴，，
∴，
∴小田的发现是正确的，这个定值是；故答案为： ；
（4）解：∵，平分，∴，，
设运动时间为，则，∴，
当点，，A三点共线时，；
∴当时，，，∴；
当时，，，∴，
综上，当时，；当时，．
22．（2026七年级上·上海黄浦·期末）如图1，点A为直线上一点，为射线，，将一个三角板的直角顶点放在点A处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．

(1)将三角板绕点A逆时针旋转，若恰好平分（如图2），则 °；
(2)将三角板绕点A在直线上方逆时针旋转，当落在内部，且时，则 °；(3)将图1中的三角板和射线同时绕点A，分别以每秒和每秒的速度顺时针分别旋转一周后停止，求第几秒时，射线恰好与射线成角？
【答案】(1)22.5(2)144(3)第5秒或25秒或142.5秒或172.5秒
【详解】（1）解：∵，∴，
∵平分，∴，
∵，∴；故答案为：22.5；
（2）解：如图3，设，则，

由（1）知：，∴，∴，
∴，故答案为：144；
（3）解：三角板运动时间为：，射线运动时间为：，
设运动时间为t秒，当射线与重合时，如图4，
有，∴；
当射线恰好与射线成角时，存在以下三种情况：
①当时，如图5，有，∴；

②当时，如图6，有，∴；
③后，射线停止，三角板继续旋转，
有（如图7）或（如图8），∴和；
综上，第5秒或25秒或142.5秒或172.5秒时，射线恰好与射线成角．
23．（2026七年级上·江苏扬州·期末）【材料阅读】如图1，数轴上有三个点，表示的数分别是，，1．（1）若要使两点的距离与两点距离相等，则可将点向左移动______个单位长度．
（2）若动点分别从点、点出发，以每秒5个单位长度和每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点，同时出发，设运动时间为秒．
①秒后，点表示的数分别为______，______，______（用含的代数式表示）；
②记点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，则的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由．
【方法迁移】（3）如图2，，平分．现有射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．问经过几秒后，射线、的夹角为？
【生活运用】（4）周末的下午，小明看到钟面显示3点整，此时分针与时针的夹角恰好为，经过______分钟后，分针与时针的夹角首次变成
【答案】（1）2；（2）①，，；②不变化，；（3）11秒或19秒；（4）分钟
【详解】解：（1），．故可将点B向左移动2个单位长度．故答案为：2；
（2）①t秒后，点P，Q，R表示的数分别为，，．故答案为：，，；
②点P与点Q之间的距离，
点Q与点R之间的距离，
∴∴不变化，；
（3）∵，平分，
∴．（秒）．
设经过x秒后，射线、的夹角为，
当追上前，则解得：．
当追上后，则，解得：．
∴经过11秒或19秒后，射线的夹角为．
（4）设经过y分钟后，分针与时针的夹角首次变成，
∵分针每分钟旋转，时针每分钟旋转，
∴，解得：，
∴经过分钟后，分针与时针的夹角首次变成．
25．（2026七年级上·福建福州·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角．
(1)如图①所示，已知，，是的内半角，则_________．
(2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？
(3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，记为初始位置，将三角板绕顶点O以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线，，，能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．
【答案】(1)(2)当旋转的角度为时，是的内半角，理由见解析
(3)能，秒；30秒；90秒
【详解】（1）解∶∵，是的内半角，∴，
∵，∴，；故答案∶；
（2）解：当旋转的角度为时，是的内半角；理由如下：
由旋转得：，∴ ，
∵∴，，
∵是的内半角，∴，∴，解得：﹔
（3）在旋转一周的过程中，射线，，，能构成内半角，理由如下；
设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为t，
如图1：∵是的内半角，，
∴，∴，解得：，
如图2，∵是的内半角，，
∴，∴，解得：，，
如图3，是的内半角，，
∴，∴，解得：，，
26．（2026七年级上·贵州贵阳·期末）将三角板的直角顶点O放置在直线上．
(1)若按图1的方式摆放，且，射线平分，则________．
(2)如图2，，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转一个角度（即，）．
①当平分由，，其中两条射线组成的角时，求满足要求的所有的值．
②在旋转过程中是否存在？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)①或；②存在，的值为或
【详解】（1）解：∵，∴，
∵射线平分，∴，故答案为：．
（2）解：①（Ⅰ）如图，当平分由，两条射线组成的角时，∴，
∵，∴，∴；
（Ⅱ）如图，当平分由，两条射线组成的角时，∴；
（Ⅲ）如图，当平分由，两条射线组成的角时，∴，
∴此时旋转角大于，不符合题意，舍去；综上，满足要求的所有的值为或．
②（Ⅰ）如图，当时，∵，，，
∴，，
∵，∴，解得，符合题设；
（Ⅱ）如图，当时，∵，，，
∴，，
∵，∴，解得，符合题设；
（Ⅲ）如图，当时，∵，，，
∴，，
∵，∴，解得，不符合题设，舍去；
综上，在旋转过程中存在，此时的值为或．
27．（2026七年级上·四川成都·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：
“当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”．
小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”．
小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．”
请你根据他们的解题解决下面的问题：
(1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______．
(2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程．
(3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值．
【答案】(1)，(2)当最大值为；当最小值为(3)，最小值为
【详解】（1）解：当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
∴式子取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是．
故答案为；．
（2）解：当时，；
当时，此时；
当时，；
∴当最大值为；当最小值为；
（3）解：，
表示在数轴上的对应点与、、、……、所对应点的距离之和，
当时，有最小值，最小值为
．
28．（2026七年级上·江苏盐城·阶段练习）同学们都知道：表示与-之差的绝对值，实际上也可理解为与-两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：

(1)数轴上表示与-的两点之间的距离可以表示为 ．
(2)同样的道理，表示数轴上有理数所对应的点到-和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ．
(3)根据数轴，若的最小值是，请直接写出的值．
(4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并求出所有符合条件的整数的和；如果没有，说明理由．
【答案】(1)(2)，，，(3)或(4)有，最小值为，和为
【详解】（1）数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为，故答案为；
（2）表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，，
为到之间的整数，这样的整数有、、、，故答案为、、、；
（3）∵的最小值是，即表示到的和为
由于与之间的距离为，小于最小值，则或；
①当时，即，则在到之间时，最小值为
∴∴
②当时，即，∴
综上所述，或
（4）有最小值，理由是|理解为：在数轴上表示到、、和的距离之和，∴当在和之间时，取得最小值，
∴最小值为∴符合条件的整数为
∴所有符合条件的整数的和为
29．（2026七年级上·广西玉林·期中）阅读下列材料并解决问题：
数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数抽上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则A，B两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离．
根据上述材料，回答下列问题：(1)与3的距离是______；(2)式子的最小值是______；
(3)应用：如图，某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A，B，C，D，它们依次有快递车15辆，9辆，5辆，11辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数．
【答案】(1)(2)(3)有5种方案调运车辆数最小，都为10辆．
【详解】（1）解：与3的距离是；
（2）解：∵表示在数轴上数对应的点与数，对应的点的距离之和，
∴当数在与之间时，即时，最小，
∴当时，式子有最小值，最小值是，
（3）解：根据题意，（辆），（辆），即共有40辆车，每个公司10辆，
∴调运方案如下：
∴有5种方案调运车辆数最小，都为10辆．
30．（2026七年级上·广东东莞·期末）【试验观察】
（1）如图①，已知两点确定一条直线，则：
图②中不在同一直线上的3个点最多可以确定______条直线；
图③中不在同一直线上的4个点最多可以确定______条直线；
图④中不在同一直线上的5个点最多可以确定______条直线．
【探索归纳】（2）如果平面内有个点，且任意3个点均不在同一直线上，那么最多可以确定__________条直线．（用含n的代数式表示）
【解决问题】（3）某次班级聚会中，45名同学每两人之间都要握1次手问好，那么他们共握了多少次手？
【答案】（1）3，6，10；（2）；（3）他们共握了次手
【详解】解：（1）根据图形得：
如果经过两点画直线，那么图②中最多可以画3条直线；图③中最多可以画6条直线；图④中最多可以画10条直线；故答案为：3，6，10；
（2）如果平面上有个点，且任意3个点均不在同一条直线上，
∴（条）那么经过两点最多可以画条直线；故答案为：；
（3）某班级聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握次，
把代入，得（次）．答：他们共握了次手．
31．（2026·湖北恩施·七年级校考阶段练习）（1）【观察思考】如图，线段上有两个点、，分别以点、、、为端点的线段共有________条．
（2）【模型构建】若线段上有个点（包括端点），则该线段上共有___________条线段．
（3）【拓展应用】若有10支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？
【答案】（1）6；（2）；（3）45场
【详解】（1）解：∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，
以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，
以点D为左端点的线段有线段DB，∴共有3＋2＋1＝6（条）．故答案为：6；
（2）设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，
则x＝（m 1）＋（m 2）＋（m 3）＋…＋3＋2＋1，
∴倒序排列有x＝1＋2＋3＋…＋（m 3）＋（m 2）＋（m 1），
∴2x＝m＋m＋m＋…＋m＝m（m 1），∴x＝m（m 1）．故答案为：；
（3）把10支球队看作直线上的10个点，每两支球队之间的一场比赛看作一条线段，
由题知，当m＝10时，．
答：一共要进行45场比赛．
32．（2026七年级上·山东青岛·阶段练习）可理解为数轴上表示a所对应的点与b所对应的点之间的距离；如可理解为数轴上表示6所对应的点与2所对应的点之间的距离；
可以看作，可理解为数轴上表示6所对应的点与所对应的点之间的距离；
【探索】回答下列问题：(1)可理解为数轴上表示x所对应的点与______所对应的点之间的距离．
(2)若，则数______．
(3)式子有最小值吗？若有，直接写出最小值及符合条件的整数x；如果没有，说明理由．
(4)当______时，式子有最小值，最小值为______．
【答案】(1)(2)或(3)，；(4)，
【详解】（1）解：根据题意，可理解为数轴上表示x所对应的点与所对应的点之间的距离．
故答案为：；
（2）解：根据绝对值的几何意义，表示到2的距离与到的距离之和等于，
当在左侧时，，，解得：，
当在2右侧时，，，解得：，故答案为：或；
（3）解：根据绝对值的几何意义，的最小值表示到的距离与到的距离之和最小，
在和之间的线段上，∴的最小值是，符合条件的整数x为；
（4）表示数轴上有理数x所对应的点到6、和所对应的点的距离之和，
当时，有最小值为．故答案为：，
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题08.动态几何模型与绝对值中的最值模型
本专题包含数轴中的动态模型、线段中的动态模型、角度中的动态模型、绝对值中的最值模型、计数模型等。
1．（2026七年级上·重庆·期末）已知点C在线段上，，点D，E在线段上，点D在点E的左侧．若，线段在线段上移动，且满足关系式，则的值为（ ）

A．5 B． C．或 D．
2．（2026七年级上·陕西西安·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（ ）
①运动后，；②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化；
③当时，运动时间为．
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
3．（2026七年级下·河南安阳·阶段练习）如图所示，两条直线相交所组成的角中，对顶角有2对，三条直线相交，交点最多时所组成的角中，对顶角有6对……那么条直线相交，交点最多时，所组成的角中对顶角有（　　）

A．对 B．2对 C．对 D．对
4．（2026七年级上·河南洛阳·期末）数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如：代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与3所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．请结合数轴探究，当表示数x的点在数轴上移动时，代数式的最小值为 ．
5．（2026七年级上·四川成都·期末）将一副三角板与如图放置，、、三点共线，，，现将三角板绕点沿顺时针方向旋转一定角度如图，若平分，平分，则的度数是 ．
6．（2026七年级上·重庆·期末）如图，直线上有一点，过点在直线的上方作射线，，现将射线绕点以每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，射线始终平分，射线始终是的三等分线，且．设旋转时间为秒，若，的值为 ．
7．（2026七年级上·广东深圳·期末）已知直线l上线段，线段（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），若线段的端点C从点B开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时点M从点A开始以2个单位/秒的速度向右运动，点N是线段的中点，则线段运动 秒时，．
8．（2026六年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为 ．
9．（2026七年级上·四川眉山·期末）如图，B是线段上一动点，沿以每秒的速度往返运动1次，C是线段的中点，，设点B的运动时间为t秒．
(1)当时，______cm，______cm；(2)用含有t的代数式表示运动过程中的长；(3)在运动过程中，若的中点为E，则的长度是否发生变化？若不变，求出的长：若变化，请说明理由．
10．（2026七年级上·广东·专题练习）如图，已知直线上有两条可以左右移动的线段：，，且m，n满足，点M，N分别为，中点．
(1)求线段，的长；(2)线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，，求移动前线段的长．
11．（2026七年级上·湖南湘潭·期末）如图1，点C在线段上，图中共有3条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段的“巧点”．
(1)一条线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是“或“不是”）
(2)如图2，数轴上A、B两点分别对应数a、b，且a、b满足关系式．
①若C是线段的“巧点”，则C点表示的数是多少？
②动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点B匀速移动．点Q从点B出发，以每秒的速度沿向终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时两动点同时运动停止，若设移动的时间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段的“巧点”．
12．（2026七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，是线段上一点，，点从点出发，沿以的速度匀速向点运动，点从点出发，沿以的速度匀速向点运动，两点同时出发，结果点比点先到，设点出发时间为．(1)求线段的长．(2)t为何值时，点恰好是线段的中点？(3)求点与点重合时（未到达点），的值．
13．（2026七年级上·河南漯河·期末）如图，点C在线段上，，．
(1)求的长．(2)若，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧．①当D为的中点时，求的长．②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，且，，求出的长．
14．（2026七年级下·重庆·开学考试）已知点C在线段上，，线段在线段上移动，点D在点E的左侧．若．

(1)如图1，当E为中点时，求的长；
(2)点H（异于A，B，C点）在线段上，点E在线段上，，求的长．
15．（2026七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．

(1)若，当点C、D运动了，求的值；
(2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______；
(3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值．
16．（2026七年级上·河北唐山·期末）问题情境：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），点和点分别是的中点．
猜想：（1）若，则______．
计算说明：（2）线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度；如果变化，请说明理由．
问题解决：（3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和．①若，，求______．
②请你直接写出和三个角之间的数量关系．
17．（2026七年级上·广东广州·期末）（1）如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以的速度沿线段向左运动，到点A停止．若P，Q两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（）s．
（ⅰ）________cm．（ⅱ）是否存在某一时刻，使得C，P，Q这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．
（2）一副三角板按左图中的方式拼接在一起，其中边、与直线上，，．
（ⅰ）________度．（ⅱ）如图，三角板固定不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转角（即），在转动过程中两个三角板一直处于直线的上方．
①当平分，，其中的两边组成的角时，________．②在旋转过程中，是否存在某一时刻满足？若存在，求此时的角；若不存在，请说明理由．
18．（2026七年级上·山东临沂·期末）如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，平分；将一直角三角板的直角顶点放在点处，设直角三角板两直角边分别为、（，），边在射线上．
(1)在图1中，_____；(2)如图2，将直角三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当时，则旋转时间的值为多少秒？(3)将直角三角板绕点顺时针旋转，当在内部运动时，请写出此时与的数量关系，并说明理由．
19．（2026七年级上·广东佛山·阶段练习）旋转与角度：
（1）已知点A、O、B在同一直线上，是直角，平分，求的度数．
（2）填空：时钟在5点_____________分，时针和分针夹角是．（3）如图，，射线OM从OA出发绕点O顺时针旋转，每秒转，同时，射线ON从OB出发绕点O逆时针旋转，每秒转转到出发位置时均停止转动．①几秒后OM平分？②几秒后ON平分？
20．（2026七年级上·广东汕头·期末）如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺（其中）的顶点放在夹角为的两条直线、的交点处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点顺时针旋转（即）．
(1)如图2，若，则______，_____；
(2)若射线是的角平分线，且．①当旋转到图3的位置，若，求的度数；②在旋转过程中，若，且，则此时的值．
21．（2026七年级上·广东茂名·阶段练习）如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为A、B两点，两脚脚跟位置分别为C、D两点，定义A、B、C、D平面内O为定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转．

(1)如图2，A、O、B三点共线，点C、D重合，，则________；
(2)如图3，A、O、B三点共线，且，平分，求大小；
(3)第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然A、O、B三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请写出这个定值为________；
(4)第四节体侧运动中，如图5，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前A、O、B三点在同一水平线上，绕点O顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线）．请帮助乐乐求出运动过程中与的数量关系．
22．（2026七年级上·上海黄浦·期末）如图1，点A为直线上一点，为射线，，将一个三角板的直角顶点放在点A处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．

(1)将三角板绕点A逆时针旋转，若恰好平分（如图2），则 °；
(2)将三角板绕点A在直线上方逆时针旋转，当落在内部，且时，则 °；(3)将图1中的三角板和射线同时绕点A，分别以每秒和每秒的速度顺时针分别旋转一周后停止，求第几秒时，射线恰好与射线成角？
23．（2026七年级上·江苏扬州·期末）【材料阅读】如图1，数轴上有三个点，表示的数分别是，，1．（1）若要使两点的距离与两点距离相等，则可将点向左移动______个单位长度．
（2）若动点分别从点、点出发，以每秒5个单位长度和每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点，同时出发，设运动时间为秒．
①秒后，点表示的数分别为______，______，______（用含的代数式表示）；
②记点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，则的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由．
【方法迁移】（3）如图2，，平分．现有射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．问经过几秒后，射线、的夹角为？
【生活运用】（4）周末的下午，小明看到钟面显示3点整，此时分针与时针的夹角恰好为，经过______分钟后，分针与时针的夹角首次变成
25．（2026七年级上·福建福州·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角．
(1)如图①所示，已知，，是的内半角，则_________．
(2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？
(3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，记为初始位置，将三角板绕顶点O以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线，，，能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．
26．（2026七年级上·贵州贵阳·期末）将三角板的直角顶点O放置在直线上．
(1)若按图1的方式摆放，且，射线平分，则________．
(2)如图2，，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转一个角度（即，）．
①当平分由，，其中两条射线组成的角时，求满足要求的所有的值．
②在旋转过程中是否存在？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．
27．（2026七年级上·四川成都·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：
“当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”．
小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”．
小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．”
请你根据他们的解题解决下面的问题：
(1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______．
(2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程．
(3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值．
28．（2026七年级上·江苏盐城·阶段练习）同学们都知道：表示与-之差的绝对值，实际上也可理解为与-两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：

(1)数轴上表示与-的两点之间的距离可以表示为 ．
(2)同样的道理，表示数轴上有理数所对应的点到-和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ．
(3)根据数轴，若的最小值是，请直接写出的值．
(4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并求出所有符合条件的整数的和；如果没有，说明理由．
29．（2026七年级上·广西玉林·期中）阅读下列材料并解决问题：
数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数抽上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则A，B两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离．
根据上述材料，回答下列问题：(1)与3的距离是______；(2)式子的最小值是______；
(3)应用：如图，某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A，B，C，D，它们依次有快递车15辆，9辆，5辆，11辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数．
30．（2026七年级上·广东东莞·期末）【试验观察】
（1）如图①，已知两点确定一条直线，则：
图②中不在同一直线上的3个点最多可以确定______条直线；
图③中不在同一直线上的4个点最多可以确定______条直线；
图④中不在同一直线上的5个点最多可以确定______条直线．
【探索归纳】（2）如果平面内有个点，且任意3个点均不在同一直线上，那么最多可以确定__________条直线．（用含n的代数式表示）
【解决问题】（3）某次班级聚会中，45名同学每两人之间都要握1次手问好，那么他们共握了多少次手？
31．（2026·湖北恩施·七年级校考阶段练习）（1）【观察思考】如图，线段上有两个点、，分别以点、、、为端点的线段共有________条．
（2）【模型构建】若线段上有个点（包括端点），则该线段上共有___________条线段．
（3）【拓展应用】若有10支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？
32．（2026七年级上·山东青岛·阶段练习）可理解为数轴上表示a所对应的点与b所对应的点之间的距离；如可理解为数轴上表示6所对应的点与2所对应的点之间的距离；
可以看作，可理解为数轴上表示6所对应的点与所对应的点之间的距离；
【探索】回答下列问题：(1)可理解为数轴上表示x所对应的点与______所对应的点之间的距离．
(2)若，则数______．
(3)式子有最小值吗？若有，直接写出最小值及符合条件的整数x；如果没有，说明理由．
(4)当______时，式子有最小值，最小值为______．
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