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专题05 线段与角的等量代换模型与计数模型
等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。线段的条数、角的个数、直线的交点数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆，主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。
1
模型来源 1
真题现模型 2
提炼模型 4
模型拓展 6
模型运用 7
模型1.线段与角度的等量代换模型 7
模型2.线段与角度的计数模型 9
模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 12
模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 15
17
线段与角度的等量代换模型源于等式的基本性质，最终拓展到线段和角度的代换，其核心思想是通过长度或角度的相等关系进行转换，简化复杂几何问题的求解过程，线段与角度的等量代换模型是初中几何中的基本内容。线段与角度的计数模型源于计数原理中的组合学，该规律与“握手问题”“碰面问题”等实际场景完全一致，为复杂图形中的线段统计提供了一种简便的方法。
（2025·河北唐山·模拟预测）如图，则与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【详解】解：∵，，∴，即：；故选：C．
（2026湖南长沙·七年级统考期末）已知且，则，依据是（ ）
A．等角的补角相等 B．同角的补角相等 C．等量代换 D．补角的定义
【答案】C
【详解】解：∵，∴（等量代换）故选C
（2026七年级上·重庆·期末）一条直线上若有4个点，则它有____________条线段；若有5个点，则它有____________条线段；若有个点，则它有____________条线段．
（1）拓展一：乘火车从杭州站到上海站共有8个站（包括杭州站和上海站）．如果要你设计这条线路的单向单程车票，你准备设计多少种？
（2）拓展二：如图①，工作流水线上放置着5个机器人，还放置着1只工具箱，5个机器人取工具的次数相同．如果，将工具箱放在何处，才能使机器人取工具所花时间最少？若有个机器人，则工具箱应放在何处？
（3）拓展三：图②中共有多少个比平角小的角？（4）拓展四：图③中共有多少个长方形（包括正方形）？
【答案】6；10；；（1）28种；（2）当工作流水线上有5个机器人时，工具箱应放在第3个机器人的位置上．若为偶数，工具箱放在第个与第个机器人之间的任何地方；若为奇数，工具箱放在第个机器人的位置上；（3）6个；（4）150个
【详解】解：直线上有4个点时，依次以每一个点为线段的一个端点，其余三个点为线段的另一个端点，则可得线段条数为（条）；直线上有5个点时，同理得线段条数为（条）；同理有个点时，得线段条数为条；故答案为：6；10；；
（1）8个站看成直线上的8个点，线段的条数相当于单向单程车票种数，则单向单程车票种数为（条）；
（2）工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花的时间最短；
由，则机器人从一个位置到与其相邻位置的时间均为t，
当工具箱放在A或E处时，所花时间为；
当工具箱放在B或D处时，所花时间为；
当工具箱放在C处时，所花时间为；
即工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花的时间最短；
若有个机器人，当n是偶数时，工具箱放在第个与第个机器人之间的任何地方；
当n是奇数时；工具箱放在第个机器人的位置上；
（3）对比一条直线4个点的线段条数方法，可得小于平角的角的个数为（个）；
（4）横向每行对比一条直线上6个点的线段条数方法，有（个）长方形，纵向列对比一条直线上5个点的线段条数，共有（个）长方形，则共有（个）长方形．
（湖北孝感·一模）小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，（1）5条直线两两相交最多有 个交点；
（2）n条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母n的式子表示，）
【答案】 10
【详解】解：（1）∵两条直线最多有1个交点，
∴有n条直线，每一条直线与其他条直线都最多有1个交点，且两条直线的交点只算作一个，
∴有n条直线，两两相交最多有个交点，
∴5条直线两两相交最多有个交点，故答案为：10；
（2）由（1）得n条直线两两相交最多有个交点，故答案为：．
（2025·湖北武汉·模拟预测）我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面形多分成部分……，n条直线将平面最多分成部分，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵1条直线将平面分成部分，
2条直线将平面最多分成部分，
3条直线将平面最多分成部分，
4条直线将平面形多分成部分……，
∴n条直线将平面最多分成部分，∴，
∴．故选B．
1）线段的等量代换
图1 图2
条件：如图，已知：EG=HF； 结论：EH=GF.
证明:如图1，∵EG=HF，∴EG-HG=HF-HG，∴EH=GF. 如图2，∵EG=HF，∴EG+HG=HF+HG，∴EH=GF.
2）角度的等量代换
（图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4）
条件1：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°.
条件2：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°.
证明：如图1，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB-∠BOD=∠DOC-∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2.
∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°，
∴∠BOD+∠AOD+∠DOC=180°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°.
如图2，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB+∠BOD=∠DOC+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2.
∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°，
∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC=360°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°.
3）线段的计数模型
如果线段上有n个点（包括线段的两个端点），那么该线段上共有多少条线段？
我们先取n=5进行研究，如下图：
结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）；
证明：①以A为端点的线段有：AB、AC、AD、AE，有4条；
②以B为端点的线段有：BC、BD、BE，有3条；③以C为端点的线段有：CD、CE，有2条；
④以D为端点的线段有：DE，有1条；故图中线段总数量：4+3+2+1=10（条）
注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素；
结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条）
4）角度的计数模型
若过点O作了有n条射线，那么该图形中共有多少个角？
我们先取n=5进行研究，如下图：
结论：角的数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）；
证明：①以OA为角的一边有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE，有4个；
②以OB为角的一边有：∠BOC、∠BOD、∠BOE，有3个；
③以OC为角的一边有：∠COD、∠COE，有2个；
④以OD为角的一边有：∠DOE，有1个；故图中角总数量：4+3+2+1=10（个）
注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素；
结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）。
1）直线交点计数模型与平面分割的计数模型
n条直线，最多有多少个交点呢？最多能将平面分成多少部分呢？
直线的条数 最多交点个数 平面最多分成部分数
1 0 1+1=2
2 1 1+1+2=4
3 1+2=3 1+1+2+3=7
4 1+2+3=6 1+1+2+3+4=11
... ... ...
n
2）多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型
从n边形一个顶点出发可引出对角线，这些对角线能把多边形分割成多少个三角形呢？n边形共有多少条对角线呢？
结论：从n边形一个顶点出发可引出 （n-3） 条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形；
n边形共有对角线。
证明：由连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线，
可知，从n边形的每个顶点出发有条对角线，这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形
∵n边形有个顶点，∴共有n条对角线
又∵能形成对角线的两个点之间只算1条对角线（即上面的计算相当于每条对角线重wzZ复计算了一次），
∴n边形有条对角线．
模型1.线段与角度的等量代换模型
例1（2026七年级上·福建漳州·阶段练习）如图，若，则与的大小关系为 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴，即；故答案为：．
例2（2026七年级上·江西九江·阶段练习）如图：四点在同一直线上．
(1)若．①比较线段的大小： ______（填“”、“”或“”）；
②若且，则的长为______；(2)若线段被点分成了三部分，且的中点P和的中点Q之间的距离是，求的长．
【答案】(1)①；②(2)
【详解】（1）①∵，，即：，
②，且，∴，
（2）如图所示，
设每份为x,则，
是的中点，点Q是的中点，，
又，，解得，，．
例3（2026重庆七年级课时练习）如图所示，点A、O、E在一条直线上，，那么下列各式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵
∴即，所以A正确；
∵∴，所以D正确；
∴即，所以B正确．故选C．
例4（2026七年级上·四川广元·期末）如图所示，已知点，，在一条直线上，，如果，那么的度数是 ．
【答案】
【详解】解：因为，，所以，
因为，所以．故答案为：
例5（2026七年级上·成都·期中）如图，直线AB，CD相交于点O，．
(1)若，判断ON与CD的位置关系．请将下面的解题过程补充完整，在括号内填写理由．
解：ON______CD．理由如下：
因为，所以______°．所以______．
又因为，所以______（等量代换），
即．所以__________（__________）．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)⊥，90，，，，垂直的定义(2)
【详解】（1）⊥ 90 垂直的定义
（2）因为，所以．
因为，所以．所以．
所以．
所以．
所以．
模型2.线段与角度的计数模型
例1（2026七年级上·山东菏泽·期末）由曹县站始发，终点到达济南站的某一班次列车，运行途中停靠的车站依次是：菏泽——嘉祥——济宁——兖州——泰山．那么要为这一班次列车制作的单程车票为（ ）
A．6种 B．15种 C．21种 D．28种
【答案】C
【详解】解：设曹县—菏泽—嘉祥—济宁—兖州—泰山—济南七站分别用A、B、C、D、E、F、G表示，
则共有线段：、共21条，∴要为这次列车制作的单程火车票21种．故选：C．
例2（2026七年级上·山东东营·期中）高铁京沪二线途径东营市，预计2026年能通车，届时将大大方便人们的出行．列车往返于北京，上海两个城市，中途经过13个站点（共15个站点），不同的车站来往需要不同的车票，则这条路线共有 种不同的车票．
【答案】
【详解】解：n个车站每两站之间车票有两种，则n个车站的票的种类数种，
当时，（种）．故答案为：．
例3（2026七年级上·江苏盐城·期末）如图，在∠AOB的内部以O为端点引出1条射线，那么图中共有3个角；如果引出2条射线，共有6个角；如果引出n条射线，共有 个角．
【答案】
【详解】在∠AOB的内部以O端点引1条射线，有1+2=3（个）角，引2条线段，有1+2+3=6（个）角，···
引n条线段，有（个）角，
故答案为：．
例4（2026七年级上·湖北孝感·期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角）
(1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角；
②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角；
③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）；
(2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？
【答案】(1)①3；②6；③(2)
【详解】（1）①由题意可得，从点分别引三条射线，图中的角有，
，∴图中得到3个角；
②由题意可得，从点分别引四条射线，图中的角有，
，∴图中得到6个角；
③由①②可得，当从点分别引条射线，，∴得到个角；
（2）根据题意可得，当时，．∴全部赛完共需120场比赛．
例5（2026七年级上·山东青岛·阶段练习）问题提出：
某学校举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？
构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型：
（1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排10场比赛．
（2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排______场比赛；
（3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要定排______场比赛．
实际应用：（4）9月2日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上46位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手______次．
拓展提高：（5）往返于济南和青岛的同一辆高速列车，中途经济南东站、章丘、淄博、青州、潍坊、青岛6个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种．
【答案】（2）15（3）（4）1035（5）30
【详解】（2）6支足球队，任何一支球队都要分别与其他5支球队比赛一场，共比赛场；
故答案为：15；
（3）n支足球队，任何一支球队都要分别与其他支球队比赛一场，共比赛场；
故答案为：；
（4）46位新同学，任何一位同学都要分别与其他45位同学相互握一次手，
全班同学总共握手次；故答案为：1035；
（5）6个车站，任何一个车站都要分别与其他5个车站准备车票，且往返车票种类不同，要准备车票的种数共种．故答案为：30．
模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型
例1（2026七年级上·山东聊城·期中）在同一平面内，我们把n条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点…按照此规律，12条直线两两相交，最多交点个数是（ ）
A．66 B．78 C．156 D．143
【答案】A
【详解】解：两条直线相交，最多有个交点，
三条直线两两相交，最多有个交点，
四条直线两两相交，最多有个交点．．．
按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是，
∴12条直线两两相交，最多交点个数是，故选：A．
例2（2026七年级上·广西贺州·期末）如图①，两条直线相交有一个交点．如图②，三条直线相交最多有3个交点．如图③，四条直线相交最多有6个交点．如图④，五条直线相交最多有10个交点．则n条直线相交最多交点个数为 （用含n的代数式表示）．
【答案】
【详解】解：三条直线交点最多为个，四条直线交点最多为个，
五条直线交点最多为个，六条直线交点最多为个；……
n条直线交点最多为．故答案为：
例3（2026七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）若平面内互不重合的条直线只有个交点，则平面被分成了（ ）个部分．
A．或 B． C．或 D．
【答案】C
【详解】如图，

所以，平面内互不重合的条直线只有个交点，则平面被分成了或个部分，故选：．
例4（2026七年级上·江苏·专题练习）观察下列图形，阅读下面相关文字并填空：
（1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有 个交点，4条直线相交最多有 个交点，……，像这样，8条直线相交最多有 个交点，n条直线相交最多有 个交点；
（2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成 部分，4条直线最多把平面分成 部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成 部分，n条直线最多把平面分成 部分．
【答案】 3 6 28 7 11 37
【详解】解：（1）2条直线相交有1个交点；
3条直线相交最多有个交点；
4条直线相交最多有个交点；
5条直线相交最多有个交点；
6条直线相交最多有个交点；
7条直线相交，最多有个交点，
8条直线相交，最多有个交点，…
n条直线相交最多有个交点；故答案为：，，，
（2）1条直线最多把平面分成部分；
2条直线最多把平面分成部分；
3条直线最多把平面分成部分；
4条直线最多把平面分成部分；
5条直线最多把平面分成部分；
6条直线最多把平面分成部分；
7条直线最多把平面分成部分；
8条直线最多把平面分成部分；…
n条直线最多把平面分成；故答案为：，，，；
例5（2026七年级上·江西赣州·期末）【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有______个交点；n条直线相交，最多有______个交点（用含n的代数式表示）；
【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有16个班，则这一轮共要进行多少场比赛？
【答案】[观察发现]6，；[实践应用]120场
【详解】[观察发现]解：①两条直线相交最多有1个交点：1=；
②三条直线相交最多有3个交点：3=；③四条直线相交最多有6个交点：6=；…
n条直线相交最多有个交点．故答案为：6，．
[实践应用]该类问题符合上述规律，所以可将n＝16代入．∴这一轮共要进行120场比赛．
模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型
例1（2026七年级上·陕西西安·期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，这个多边形是 边形．
【答案】七
【详解】解：这个多边形是边形，∴，解得，故答案为：七．
例2（2026八年级上·广东广州·期中）从多边形的一个顶点出发的对角线一共有条，则这个多边形是（ ）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
【答案】D
【详解】解：设这个多边形的边数是，由题意得，，
解得：，即这个多边形为九边形，故选：．
例3（2026·河南新乡·七年级统考阶段练习）若经过边形的一个顶点的所有对角线可以将该n边形分成个三角形，则边形的对角线条数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：依题意有，解得．对角线条数是，故选：A．
例4（2026·山东聊城·七年级校联考期末）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果：
多边形的边数
从多边形的一个顶点出发 ______ ______
多边形对角线的总条数 ______ ______ ______
应用得到的结果解决以下问题：
①求十二边形有多少条对角线？
②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由．
【答案】填表： ；①54；②可以为，这个多边形的边数1014
【详解】解：填表如下：
多边形的边数
从多边形的一个顶点出发 3
多边形对角线的总条数 5 9
故答案为：3，，， ；
把代入得，．十二边形有条对角线．
能．由题意得，23，解得=1014．
多边形的边数n是正整数，过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可以为，这个多边形的边数1014
1．（2026七年级上·湖北武汉·期末）两条直线相交，把一个平面分成4部分，三条直线相交，最多可以将平面分成7部分，那么10条直线相交，最多可以将平面分成（ ）部分
A．53 B．54 C．55 D．56
【答案】D
【详解】解：1条直线，将平面分为2个部分；
2条直线，较之前增加1条直线，平面最多增加了2个部分；
3条直线，与之前两条直线均相交，平面最多增加了3个部分；
4条直线，与之前三条直线均相交，平面最多增加了4个部分；…
以此类推，n条直线，与之前条直线均相交，平面最多增加n个部分，
所以n条直线相交，最多可以将平面分成的总数为
，
把代入，则，即10条直线相交，最多可以将平面分成56个部分．故选：D．
2．（2026·山东·七年级月考）如图，点在线段上，且，则与的大小关系是（ ）
与的大小关系是
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【详解】解：∵，，∴，即：；故选C．
3．（2026·重庆·七年级统考期末）如图，B、C是线段上两点，且，若，，那么大小为（ ）
A．3 B．7 C．10 D．13
【答案】B
【详解】解：∵，∴AB+BC＝CD+BC，∴AC＝BD
∵，，∴BD＝7，∴AC＝7，故选：B．
4．（八年级下·浙江·专题练习）我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，…，请你计算凸十边形对角线的总条数（　　）

A．54 B．44 C．35 D．27
【答案】C
【详解】解：一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线……
一个十边形共有条对角线，故C正确．故选：C．
5．（2026七年级上·安徽宿州·期末）如图，已知，在内逐一画射线，下面三个图中分别有3个、6个、10个角（不大于平角的角）当内有n条射线时，角的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据题意，当射线条数为1时，有个，
当射线条数为2时，有个，
当射线条数为3时，有个，
当射线条数为n时，有个，故选：D．
6．（2026七年级下·天津南开·开学考试）如图所示，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，，
，故选：D．
7．（2026浙江·七年级专题练习）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程：
①因为（已知）；②因为，（已知）；
③所以，（等式的性质）；④所以（等量代换）；
⑤所以（等量代换）．正确的顺序是( )
A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④
C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④
【答案】C
【详解】证明：因为，（已知），
所以，（等式的性质）；
因为（已知），所以（等量代换）．
所以（等量代换）．∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④．故选C．
8．（2026成都双流七年级期中）如图，两个直角和有公共顶点O，下列结论：①；②；③；④若平分，则平分；⑤的平分线与的平分线是同一条射线．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，即，故①正确，符合题意；
当时，，故②不正确，不符合题意；
∵，∴，
∴，故③正确，符合题意；
∵平分，∴，
∵，∴，∴平分，故④正确，符合题意；
设的平分线为，∵平分，∴，
∵，∴，
∴，即平分，故⑤正确，符合题意；
综上：正确的有①③④⑤，共4个．故选：C．
9．（2026八年级上·湖北咸宁·期末）如图，一个四边形有2条对角线，一个五边形有5条对角线，一个六边形有9条对角线，则一个凸边形有 条对角线．
【答案】
【详解】解：一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线，
则一个n边形共有（，且n为整数）条对角线．故答案为：．
10．（广东广州·七年级校考期末）如图，
（1）若，则 ；
（2）若，则 ．
【答案】 / / /
【详解】解：（1）∵，∴，即，
故答案为：；
（2）∵，∴，即，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
11．（2026七年级上·湖南长沙·期末）湖南湘江新区大王山欢乐云巴对外运营．一张云巴票就能领略沿途余个景点，感受大王山人文风情，如图，乘云巴从山塘站出发，沿途经过个车站方可到达观音港站，那么运营公司在山塘站，观音港站两站之间往返需要安排不同的车票 种．
山塘站 欢乐雪域站 欢乐城站 华谊电影小镇站 大王山站 桐溪公园站 植物公园站 学士站 观音港站
【答案】
【详解】解：设首尾两站为点，点是线段上的七个点，
则图中共有线段条，
∵到与到车票不同，∴从到的车票共有种，故答案为：．
12．（2026七年级上·山东淄博·期末）如图，从临沂站始发至终点淄博的某一趟高铁列车，运行途中停靠的车站依次是临沂、曲阜、泰安、济南、淄博，那么要为这次列车制作的单程火车票有 种．
【答案】10
【详解】解：设临沂、曲阜、泰安、济南、淄博五站分别用、、、、表示，
则图中有线段条，
因为是单程票，所以这次列车制作的单程火车票有10种，故答案为：10．
13．（2026七年级上·河南许昌·期末）观察表格：
1条直线 0个交点 平面分成（1+1）块 2条直线 1个交点 平面分成（1+1+2）块 3条直线 （1+2）个交点 平面分成（1+1+2+3）块 4条直线 （1+2+3）个交点 平面分成（1+1+2+3+4）块
根据表格中的规律解答问题：
（1）5条直线两两相交，有　 　个交点，平面被分成　 　块；
（2）n条直线两两相交，有　 　个交点，平面被分成　 　块；
（3）应用发现的规律解决问题：一张圆饼切10刀（不许重叠），最多可得到　 　块饼．
【答案】（1）10，16；（2）n(n﹣1)；1+n(n+1)；（3）56
【详解】解：（1）5条直线两两相交，有10个交点，平面被分成16块；故答案为：10，16；
（2）2条直线相交有1个交点；
3条直线相交有1+2＝3个交点；
4条直线相交有1+2+3＝6个交点；
5条直线相交有1+2+3+4＝10个交点；
6条直线相交有1+2+3+4+5＝15个交点；…
n条直线相交有1+2+3+4+…+(n﹣1)＝n(n﹣1)；
平面被分成1+1+2+3+4+…+(n+1)＝1+n(n+1)；
故答案为：n(n﹣1)；1+n(n+1)；
（3）当n＝10时，（块），故答案为：56
14．（2026七年级上·广东东莞·期末）（1）【观察思考】如图，线段上有两个点，，以点，，，为端点的线段共有 条；
（2）【模型构建】若线段上有个点（包括端点），则该线段上共有 条线段；
（3）【拓展应用】若有支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？
（4）【变式运用】，两地之间建有铁路运送旅客，共有个站，一共需准备 种不同火车票．
【答案】（1）6；（2）；（3）一共要进行场比赛；（4）380
【详解】（1）解：∵以点A为左端点向右的线段有：线段，
以点C为左端点向右的线段有线段，
以点D为左端点的线段有线段，∴共有（条）．故答案为：6；
（2）解：设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，
则，
∴倒序排列有，
∴，∴，故答案为：；
（3）解：把10支球队看作直线上的10个点，每两支球队之间的一场比赛看作一条线段，
由题知，当时，．答：一共要进行45场比赛．
（4）解：∵火车票的种类与出发站和到达站的顺序有关，而线段与顺序无关，
∴根据上述问题可得，，故答案为：．
15．（2026七年级上·江苏·课后作业）探究角的个数：
(1)①如图①，在内部画1条射线OC，则图①中有________个不同的角；
②如图②，在内部画2条射线OC，OD，则图②中有________个不同的角；
③如图③，在内部画3条射线OC，OD，OE，则图③中有________个不同的角．
(2)在内部画n条射线OC，OD，OE，……，则有多少个不同的角？
【答案】(1)①3；②6；③10； (2)
【详解】（1）解：①，共3个；
②，共6个；
③，共10个；
故答案为：①3 ②6 ③10．
（2）解：在内部画条射线，根据角的规律可得：
有（个）不同的角．
16．（2026七年级上·河南信阳·期末）如图，，，，四点在同一条直线上．
(1)若，①比较线段的大小：______；（填“>”“=”或“<”）
②若，且，则的长为______cm；(2)若线段被点，分成了三部分，且的中点和的中点之间的距离是20cm，求的长．
【答案】(1)①=；②30 (2)30cm
【详解】（1）①∵AB= CD，∴AB+ BC= CD+ BC，即，AC= BD，故答案为： =；
②∵BC=AC，且AC = 24cm，∴BC=×24= 18(cm)，
∴AB=CD=AC-BC=24-18=6 (cm)∴AD= AC+CD= 24+6= 30 (cm)故答案为：30；
（2）解：如图1所示，
∵线段被点B，分成了三部分，设，则，，
因为是的中点，是的中点，所以，，
所以； 得；所以．
17．（2026河北七年级期末）已知，平分，平分．

(1)如图1，当，重合时，求的度数；
(2)如图2，当在内部时，若，求的度数；
(3)当和的位置如图3时，求的度数．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：∵，，重合，平分，平分．
∴，，
∴；
（2）∵在内部，，，
∴，，
∵平分，平分．∴，，
∴．
（3）设，，∴，
∵平分，平分．，
∴，，
∴．
18．（2026七年级上·吉林·期末）一个圆形蛋糕放在桌子上用刀切下去，一刀可以切成两块，两刀最多可以切成块，三刀最多可以切成块，刀最多可以切成块（如图）．
将上述问题转化为数学模型，实际上就是n条直线最多把平面分成几块问题，请先观察下列表格中实验数据，然后解答问题．
直线条数n 1 2 3 4 …
分成的最多平面块数 2 4 7 11 …
(1)求当时，分成最多的平面块数的值．(2)设条直线把平面最多分成的块数是，请直接写出关于的表达式（是正整数）．(3)根据（2）中关于的表达式，求当时，的值．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：条直线可以最多将平面分成块，
条直线可以最多将平面分成块，
条直线可以最多将平面分成块，
条直线可以最多将平面分成块，
条直线可以最多将平面分成块，
∴当时，．
（2）解：由（）得，，，
，…，∴
（3）解：当时，．
19．（2026七年级下·北京·期中）探究平面内条直线相交的交点个数问题．
(1)研究：平面内条直线相交，当这条直线无任何三条交于一点，且在某一方向上无任何直线相互平行时，交点个数是最多的．也就是说，当这条直线两两相交时交点个数最多．所以容易得出以下结论：平面内有3条直线，则最多有 个交点；平面内有4条直线，则最多有 个交点；若平面内有条直线，则最多有 个交点．
(2)拓展：若平面内的条直线（无任何三条交于一点）在某一方向上有平行直线，则交点的总个数与上题相比便会减少，比如：若平面内有5条直线，当在某一方向上有3条是互相平行时，其交点的个数最多为，其中表示5条直线两两相交时的最多交点个数，表示3条直线相互平行时减少的交点个数．问：若平面内有10条直线（无任何三条交于一点），且在某一方向上有5条是互相平行的，则这10条直线交点的个数最多为 ．
(3)应用：地面上有9条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现在有26位交警刚好满足每个岔口有且只有一位交警，则在某一方向上必须有 条公路互相平行．
【答案】(1)，，(2)(3)
【详解】（1）解：平面内有3条直线，则最多有个交点，即；
平面内有4条直线，则最多有个交点，即；；
若平面内有条直线，则最多有个交点，即；
（2）解：平面内有10条直线，且在某一方向上有5条是互相平行时，
其交点的个数最多为（个），
其中表示10条直线两两相交时的最多交点个数，表示5条直线相互平行时减少的交点个数；
（3）解：把9条公路看作是9条直线，则9条公路两两相交时交点的个数为：，，
则可以看作，在某一方向上有5条直线两两互相平行，其余4条直线不平行，如图：
20．（2026七年级上·山西临汾·期末）主题式学习：数形规律探究学习
(1)发现规律，猜想说理．
．．．．．．．．．．．．
以此类推，我们发现的和与第一个数、最后一个数及数的个数有关．
如果，我们设
则
我们可以看出此等式的右边是若干个的和，∴_________．则_______．
(2)运用规律，计算表达．①求_____________．
②若，则__________．
③某校为庆祝2023年元旦，活跃学生文化生活，举行歌咏比赛．七年级（9）班获得第一名，该班学生列队以“单击掌”形式（每两个学生击掌一次）祝贺获奖；活动结束后该班同学又互赠“元旦祝福语”．如果该班有名同学，则共击掌_____________次，共赠送祝福语___________条．
(3)迁移规律，解决问题．①如图，“北京——广州”航线上有A、B、C、D、E、F、G、H8个城市，如果每两个城市都要互通航班，那么这条航线上一共需要开通_____架航班．
②如图，在的方格中，横线和竖线上的线段共有___________条．
③2022年足球世界杯在卡塔尔举行（如图是足球世界杯奖杯“大力神杯”和卡塔尔世界杯会徽、吉祥物），共有32支国家足球队参赛．比赛分小组赛、1/8决赛、1/4决赛、半决赛、三四名决赛、决赛六个阶段进行．32支球队平均分成8个进行小组循环赛（小组内每两支球队举行一场比赛）；每小组前两名球队进入1/8决赛，然后实行淘汰赛，胜者进入1/4决赛．．．．．．请你计算2022年足球世界杯共进行多少场比赛？
【答案】(1)，(2)①5047；②100；③，(3)①90；②135；③
【详解】（1）解：．则．故答案为：，；
（2）解：①．
②∵，∴，解得或（舍去），则．
③如果该班有名同学，则共击掌次，共赠送祝福语条．
故答案为：①5047；②100；③，；
（3）解：①如图，“北京——广州”航线上有A、B、C、D、E、F、G、H8个城市，如果每两个城市都要互通航班，10个城市一共需要开通架航班；
②横线上的线段有条，竖线上的线段有条，
则横线和竖线上的线段共有条；
③32支比赛分为8个小组，每个小组4支球队，共有场比赛，
16强分成8组对阵，共有8场比赛，8强分成4组对阵，共有4场比赛，
4强分成2组对阵，共有2场比赛，决赛有2场比赛，故共有场比赛．
故答案为：①90；②135；③64．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题05 线段与角的等量代换模型与计数模型
等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。线段的条数、角的个数、直线的交点数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆，主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。
1
模型来源 1
真题现模型 2
提炼模型 4
模型拓展 6
模型运用 7
模型1.线段与角度的等量代换模型 7
模型2.线段与角度的计数模型 9
模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 12
模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 15
17
线段与角度的等量代换模型源于等式的基本性质，最终拓展到线段和角度的代换，其核心思想是通过长度或角度的相等关系进行转换，简化复杂几何问题的求解过程，线段与角度的等量代换模型是初中几何中的基本内容。线段与角度的计数模型源于计数原理中的组合学，该规律与“握手问题”“碰面问题”等实际场景完全一致，为复杂图形中的线段统计提供了一种简便的方法。
（2025·河北唐山·模拟预测）如图，则与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．无法确定
（2026湖南长沙·七年级统考期末）已知且，则，依据是（ ）
A．等角的补角相等 B．同角的补角相等 C．等量代换 D．补角的定义
（2026七年级上·重庆·期末）一条直线上若有4个点，则它有____________条线段；若有5个点，则它有____________条线段；若有个点，则它有____________条线段．
（1）拓展一：乘火车从杭州站到上海站共有8个站（包括杭州站和上海站）．如果要你设计这条线路的单向单程车票，你准备设计多少种？
（2）拓展二：如图①，工作流水线上放置着5个机器人，还放置着1只工具箱，5个机器人取工具的次数相同．如果，将工具箱放在何处，才能使机器人取工具所花时间最少？若有个机器人，则工具箱应放在何处？
（3）拓展三：图②中共有多少个比平角小的角？（4）拓展四：图③中共有多少个长方形（包括正方形）？
（湖北孝感·一模）小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，（1）5条直线两两相交最多有 个交点；
（2）n条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母n的式子表示，）
（2025·湖北武汉·模拟预测）我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面形多分成部分……，n条直线将平面最多分成部分，则（ ）
A． B． C． D．
1）线段的等量代换
图1 图2
条件：如图，已知：EG=HF； 结论：EH=GF.
证明:如图1，∵EG=HF，∴EG-HG=HF-HG，∴EH=GF. 如图2，∵EG=HF，∴EG+HG=HF+HG，∴EH=GF.
2）角度的等量代换
（图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4）
条件1：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°.
条件2：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°.
证明：如图1，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB-∠BOD=∠DOC-∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2.
∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°，
∴∠BOD+∠AOD+∠DOC=180°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°.
如图2，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB+∠BOD=∠DOC+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2.
∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°，
∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC=360°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°.
3）线段的计数模型
如果线段上有n个点（包括线段的两个端点），那么该线段上共有多少条线段？
我们先取n=5进行研究，如下图：
结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）；
证明：①以A为端点的线段有：AB、AC、AD、AE，有4条；
②以B为端点的线段有：BC、BD、BE，有3条；③以C为端点的线段有：CD、CE，有2条；
④以D为端点的线段有：DE，有1条；故图中线段总数量：4+3+2+1=10（条）
注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素；
结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条）
4）角度的计数模型
若过点O作了有n条射线，那么该图形中共有多少个角？
我们先取n=5进行研究，如下图：
结论：角的数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）；
证明：①以OA为角的一边有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE，有4个；
②以OB为角的一边有：∠BOC、∠BOD、∠BOE，有3个；
③以OC为角的一边有：∠COD、∠COE，有2个；
④以OD为角的一边有：∠DOE，有1个；故图中角总数量：4+3+2+1=10（个）
注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素；
结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）。
1）直线交点计数模型与平面分割的计数模型
n条直线，最多有多少个交点呢？最多能将平面分成多少部分呢？
直线的条数 最多交点个数 平面最多分成部分数
1 0 1+1=2
2 1 1+1+2=4
3 1+2=3 1+1+2+3=7
4 1+2+3=6 1+1+2+3+4=11
... ... ...
n
2）多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型
从n边形一个顶点出发可引出对角线，这些对角线能把多边形分割成多少个三角形呢？n边形共有多少条对角线呢？
结论：从n边形一个顶点出发可引出 （n-3） 条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形；
n边形共有对角线。
证明：由连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线，
可知，从n边形的每个顶点出发有条对角线，这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形
∵n边形有个顶点，∴共有n条对角线
又∵能形成对角线的两个点之间只算1条对角线（即上面的计算相当于每条对角线重wzZ复计算了一次），
∴n边形有条对角线．
模型1.线段与角度的等量代换模型
例1（2026七年级上·福建漳州·阶段练习）如图，若，则与的大小关系为 ．
例2（2026七年级上·江西九江·阶段练习）如图：四点在同一直线上．
(1)若．①比较线段的大小： ______（填“”、“”或“”）；
②若且，则的长为______；(2)若线段被点分成了三部分，且的中点P和的中点Q之间的距离是，求的长．
例3（2026重庆七年级课时练习）如图所示，点A、O、E在一条直线上，，那么下列各式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
例4（2026七年级上·四川广元·期末）如图所示，已知点，，在一条直线上，，如果，那么的度数是 ．
例5（2026七年级上·成都·期中）如图，直线AB，CD相交于点O，．
(1)若，判断ON与CD的位置关系．请将下面的解题过程补充完整，在括号内填写理由．
解：ON______CD．理由如下：
因为，所以______°．所以______．
又因为，所以______（等量代换），
即．所以__________（__________）．
(2)若，求的度数．
模型2.线段与角度的计数模型
例1（2026七年级上·山东菏泽·期末）由曹县站始发，终点到达济南站的某一班次列车，运行途中停靠的车站依次是：菏泽——嘉祥——济宁——兖州——泰山．那么要为这一班次列车制作的单程车票为（ ）
A．6种 B．15种 C．21种 D．28种
例2（2026七年级上·山东东营·期中）高铁京沪二线途径东营市，预计2026年能通车，届时将大大方便人们的出行．列车往返于北京，上海两个城市，中途经过13个站点（共15个站点），不同的车站来往需要不同的车票，则这条路线共有 种不同的车票．
例3（2026七年级上·江苏盐城·期末）如图，在∠AOB的内部以O为端点引出1条射线，那么图中共有3个角；如果引出2条射线，共有6个角；如果引出n条射线，共有 个角．
例4（2026七年级上·湖北孝感·期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角）
(1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角；
②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角；
③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）；
(2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？
例5（2026七年级上·山东青岛·阶段练习）问题提出：
某学校举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？
构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型：
（1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排10场比赛．
（2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排______场比赛；
（3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要定排______场比赛．
实际应用：（4）9月2日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上46位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手______次．
拓展提高：（5）往返于济南和青岛的同一辆高速列车，中途经济南东站、章丘、淄博、青州、潍坊、青岛6个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种．
模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型
例1（2026七年级上·山东聊城·期中）在同一平面内，我们把n条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点…按照此规律，12条直线两两相交，最多交点个数是（ ）
A．66 B．78 C．156 D．143
例2（2026七年级上·广西贺州·期末）如图①，两条直线相交有一个交点．如图②，三条直线相交最多有3个交点．如图③，四条直线相交最多有6个交点．如图④，五条直线相交最多有10个交点．则n条直线相交最多交点个数为 （用含n的代数式表示）．
例3（2026七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）若平面内互不重合的条直线只有个交点，则平面被分成了（ ）个部分．
A．或 B． C．或 D．
例4（2026七年级上·江苏·专题练习）观察下列图形，阅读下面相关文字并填空：
（1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有 个交点，4条直线相交最多有 个交点，……，像这样，8条直线相交最多有 个交点，n条直线相交最多有 个交点；
（2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成 部分，4条直线最多把平面分成 部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成 部分，n条直线最多把平面分成 部分．
例5（2026七年级上·江西赣州·期末）【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有______个交点；n条直线相交，最多有______个交点（用含n的代数式表示）；
【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有16个班，则这一轮共要进行多少场比赛？
模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型
例1（2026七年级上·陕西西安·期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，这个多边形是 边形．
例2（2026八年级上·广东广州·期中）从多边形的一个顶点出发的对角线一共有条，则这个多边形是（ ）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
例3（2026·河南新乡·七年级统考阶段练习）若经过边形的一个顶点的所有对角线可以将该n边形分成个三角形，则边形的对角线条数为（ ）
A． B． C． D．
例4（2026·山东聊城·七年级校联考期末）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果：
多边形的边数
从多边形的一个顶点出发 ______ ______
多边形对角线的总条数 ______ ______ ______
应用得到的结果解决以下问题：
①求十二边形有多少条对角线？
②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由．
1．（2026七年级上·湖北武汉·期末）两条直线相交，把一个平面分成4部分，三条直线相交，最多可以将平面分成7部分，那么10条直线相交，最多可以将平面分成（ ）部分
A．53 B．54 C．55 D．56
2．（2026·山东·七年级月考）如图，点在线段上，且，则与的大小关系是（ ）
与的大小关系是
A． B． C． D．无法确定
3．（2026·重庆·七年级统考期末）如图，B、C是线段上两点，且，若，，那么大小为（ ）
A．3 B．7 C．10 D．13
4．（八年级下·浙江·专题练习）我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，…，请你计算凸十边形对角线的总条数（　　）

A．54 B．44 C．35 D．27
5．（2026七年级上·安徽宿州·期末）如图，已知，在内逐一画射线，下面三个图中分别有3个、6个、10个角（不大于平角的角）当内有n条射线时，角的个数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2026七年级下·天津南开·开学考试）如图所示，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2026浙江·七年级专题练习）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程：
①因为（已知）；②因为，（已知）；
③所以，（等式的性质）；④所以（等量代换）；
⑤所以（等量代换）．正确的顺序是( )
A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④
C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④
8．（2026成都双流七年级期中）如图，两个直角和有公共顶点O，下列结论：①；②；③；④若平分，则平分；⑤的平分线与的平分线是同一条射线．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．（2026八年级上·湖北咸宁·期末）如图，一个四边形有2条对角线，一个五边形有5条对角线，一个六边形有9条对角线，则一个凸边形有 条对角线．
10．（广东广州·七年级校考期末）如图，
（1）若，则 ；
（2）若，则 ．
11．（2026七年级上·湖南长沙·期末）湖南湘江新区大王山欢乐云巴对外运营．一张云巴票就能领略沿途余个景点，感受大王山人文风情，如图，乘云巴从山塘站出发，沿途经过个车站方可到达观音港站，那么运营公司在山塘站，观音港站两站之间往返需要安排不同的车票 种．
山塘站 欢乐雪域站 欢乐城站 华谊电影小镇站 大王山站 桐溪公园站 植物公园站 学士站 观音港站
12．（2026七年级上·山东淄博·期末）如图，从临沂站始发至终点淄博的某一趟高铁列车，运行途中停靠的车站依次是临沂、曲阜、泰安、济南、淄博，那么要为这次列车制作的单程火车票有 种．
13．（2026七年级上·河南许昌·期末）观察表格：
1条直线 0个交点 平面分成（1+1）块 2条直线 1个交点 平面分成（1+1+2）块 3条直线 （1+2）个交点 平面分成（1+1+2+3）块 4条直线 （1+2+3）个交点 平面分成（1+1+2+3+4）块
根据表格中的规律解答问题：
（1）5条直线两两相交，有　 　个交点，平面被分成　 　块；
（2）n条直线两两相交，有　 　个交点，平面被分成　 　块；
（3）应用发现的规律解决问题：一张圆饼切10刀（不许重叠），最多可得到　 　块饼．
14．（2026七年级上·广东东莞·期末）（1）【观察思考】如图，线段上有两个点，，以点，，，为端点的线段共有 条；
（2）【模型构建】若线段上有个点（包括端点），则该线段上共有 条线段；
（3）【拓展应用】若有支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？
（4）【变式运用】，两地之间建有铁路运送旅客，共有个站，一共需准备 种不同火车票．
15．（2026七年级上·江苏·课后作业）探究角的个数：
(1)①如图①，在内部画1条射线OC，则图①中有________个不同的角；
②如图②，在内部画2条射线OC，OD，则图②中有________个不同的角；
③如图③，在内部画3条射线OC，OD，OE，则图③中有________个不同的角．
(2)在内部画n条射线OC，OD，OE，……，则有多少个不同的角？
16．（2026七年级上·河南信阳·期末）如图，，，，四点在同一条直线上．
(1)若，①比较线段的大小：______；（填“>”“=”或“<”）
②若，且，则的长为______cm；(2)若线段被点，分成了三部分，且的中点和的中点之间的距离是20cm，求的长．
17．（2026河北七年级期末）已知，平分，平分．

(1)如图1，当，重合时，求的度数；
(2)如图2，当在内部时，若，求的度数；
(3)当和的位置如图3时，求的度数．
18．（2026七年级上·吉林·期末）一个圆形蛋糕放在桌子上用刀切下去，一刀可以切成两块，两刀最多可以切成块，三刀最多可以切成块，刀最多可以切成块（如图）．
将上述问题转化为数学模型，实际上就是n条直线最多把平面分成几块问题，请先观察下列表格中实验数据，然后解答问题．
直线条数n 1 2 3 4 …
分成的最多平面块数 2 4 7 11 …
(1)求当时，分成最多的平面块数的值．(2)设条直线把平面最多分成的块数是，请直接写出关于的表达式（是正整数）．(3)根据（2）中关于的表达式，求当时，的值．
19．（2026七年级下·北京·期中）探究平面内条直线相交的交点个数问题．
(1)研究：平面内条直线相交，当这条直线无任何三条交于一点，且在某一方向上无任何直线相互平行时，交点个数是最多的．也就是说，当这条直线两两相交时交点个数最多．所以容易得出以下结论：平面内有3条直线，则最多有 个交点；平面内有4条直线，则最多有 个交点；若平面内有条直线，则最多有 个交点．
(2)拓展：若平面内的条直线（无任何三条交于一点）在某一方向上有平行直线，则交点的总个数与上题相比便会减少，比如：若平面内有5条直线，当在某一方向上有3条是互相平行时，其交点的个数最多为，其中表示5条直线两两相交时的最多交点个数，表示3条直线相互平行时减少的交点个数．问：若平面内有10条直线（无任何三条交于一点），且在某一方向上有5条是互相平行的，则这10条直线交点的个数最多为 ．
(3)应用：地面上有9条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现在有26位交警刚好满足每个岔口有且只有一位交警，则在某一方向上必须有 条公路互相平行．
20．（2026七年级上·山西临汾·期末）主题式学习：数形规律探究学习
(1)发现规律，猜想说理．
．．．．．．．．．．．．
以此类推，我们发现的和与第一个数、最后一个数及数的个数有关．
如果，我们设
则
我们可以看出此等式的右边是若干个的和，∴_________．则_______．
(2)运用规律，计算表达．①求_____________．
②若，则__________．
③某校为庆祝2023年元旦，活跃学生文化生活，举行歌咏比赛．七年级（9）班获得第一名，该班学生列队以“单击掌”形式（每两个学生击掌一次）祝贺获奖；活动结束后该班同学又互赠“元旦祝福语”．如果该班有名同学，则共击掌_____________次，共赠送祝福语___________条．
(3)迁移规律，解决问题．①如图，“北京——广州”航线上有A、B、C、D、E、F、G、H8个城市，如果每两个城市都要互通航班，那么这条航线上一共需要开通_____架航班．
②如图，在的方格中，横线和竖线上的线段共有___________条．
③2022年足球世界杯在卡塔尔举行（如图是足球世界杯奖杯“大力神杯”和卡塔尔世界杯会徽、吉祥物），共有32支国家足球队参赛．比赛分小组赛、1/8决赛、1/4决赛、半决赛、三四名决赛、决赛六个阶段进行．32支球队平均分成8个进行小组循环赛（小组内每两支球队举行一场比赛）；每小组前两名球队进入1/8决赛，然后实行淘汰赛，胜者进入1/4决赛．．．．．．请你计算2022年足球世界杯共进行多少场比赛？
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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