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专题08.特殊三角形及勾股定理中的九类模型
本专题包含特殊三角形及勾股定理中的九类重要模型，主要有：奔驰模型、等直内接等直模型、等直+高分模型、中点模型、翻折模型、赵爽弦图模型、勾股树模型、空间最短路径模型、将军饮马模型等模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！
1.（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知是等腰三角形，，是直角三角形，为斜边上的中线，连接．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵是直角三角形，为斜边上的中线，
∴点为的中点，，∵，∴，
又∵是等腰三角形，，∴，∴，
又∵，∴，故选：．
2．（2026八年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，，，点D为边的中点，
，将绕点D旋转，它的两边分别交、所在直线于点E、F，有以下4个结论：①；②；③；④当点E、F落在、的延长线上时，，在旋转的过程中上述结论一定成立的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：如图1，连接，，，为中点，

，，，，
，，，，
在和中，，，
，，，，故①正确；
，
如图2，当点、落在、的延长线上时，连接，同理可证，
，故②错误，由，
，，故③正确；
如图2，连接，同理可证：，，
，．故④正确，故选：C．
3．（2026八年级上·黑龙江·期末）如图在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，BE与CD相交于点F，BF=2CE，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G，下列结论中： ①∠A=67.5°；②DF=AD；③BE=2BG；④DH⊥BC 其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝22.5°，∴∠A＝67.5°；故①正确；
∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∴∠DBF＋∠A＝90°，∠ACD＋∠A＝90°，∴∠DBF＝∠ACD，
在△BDF与△CDA中，∴△BDF≌△CDA（ASA），∴AD＝DF，故②正确；
∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，∴∠ABE＝∠CBE，∠AEB＝∠CEB＝90°，
∴在△ABE与△CBE中，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE＝AC，
∵△BCD是等腰直角三角形，H是BC边的中点，∴DH⊥BC，故④正确；∴DH不平行于AC，
∵BH＝CH，∴BG≠EG；∴BE≠2BG，故③错误．故选：C．
4.（2026八年级上·浙江绍兴·期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则下列关于，，的说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：八个直角三角形全等，四边形，，是正方形，
，，，，，
，，
，，，
，，故选：D．
5.（2026八年级下·河北唐山·期末）如图，在矩形中，，，点E为上一点，把沿翻折，点C恰好落在边上的点F处，则的长是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【详解】解: 在矩形中，，，
设，则，把沿翻折，点C恰好落在边上的点F处，
在中，由勾股定理，得，，
在中，由勾股定理，得，即，解得，．故选：A．
6.（黑龙江绥化·模拟预测）如图，在正方形外取一点E，连接，，，过点作的垂线交于点P，若，则下列结论：①；②；③点C到直线的距离为；④其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：四边形为正方形，，，
，，，
，，故①正确；
，，，
，
，，故②正确；
过点作的延长线于点，如图所示，
，，，
，，，
，，
，，，故③错误；
，，，，
，故④正确；综上所述，正确的有个，故选：C．
7.（2026八年级下·湖北十堰·期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，
∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处，
∴，，，∴．
故选：C．
8.（2026八年级下·福建厦门·期末）如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边 ()，下列四个说法：①；②;③；④．其中说法正确的结论有 ．(填序号)
【答案】①
【详解】解：根据题意，得，，
∵，∴，∴，故．
故①正确；②错误；③错误；④错误；故答案为：①．
9.（2026八年级下·浙江温州·期中）如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若，则的长为 ．
【答案】/2.5
【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，
∵，∴，∴，
∵是等边三角形，G为的中点，∴，延长交于点H，
∵，∴，在和中，，
∴，∴，∵，∴，
∵，∴是等边三角形，
∴，∴，故答案为：．
10.（2026九年级下·四川成都·阶段练习）如图，将矩形沿EF折叠，使点D落在点B处，P为折痕上的任意一点，过点P作，垂足分别为G，H，若，，则 ．
【答案】8
【详解】解：如图，过点E作于Q，连接，
∵四边形是矩形，∴，∴，
由折叠可得，，∴，∴，
∵、，∴，
∵，∴，∵四边形是长方形，∴，．
∵，，∴．
由折叠易知，，，，
∴∴．∴．故答案为：8．
11．（2026八年级上·浙江宁波·期中）如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA＝4，PB＝2，PC＝2，以下五个结论：①∠BPC＝120°；②∠APC＝120°；③S△ABC＝14；④AB＝；⑤点P到△ABC三边的距离分别为PE，PF，PG，则有PE+PF+PG＝AB，其中正确的有 ．
【答案】②④⑤
【详解】如图，将△APC绕点A顺时针旋转60°，得到△AHB，连接HP，
∴△APC≌△AHB，∠HAP＝60°，∴AH＝AP＝4，BH＝PC＝2，∠AHB＝∠APC，
∴△AHP是等边三角形，∴HP＝4，∠AHP＝∠APH＝60°，
∵HP2＝16，BH2＋BP2＝16，∴HP2＝BH2＋BP2，∴∠HBP＝90°，
∵HB=HP，∴∠HPB＝30°，∴∠BHP＝60°，∠APB＝∠HPB＋∠APH＝90°，
∴∠AHB＝∠AHP＋∠BHP＝120°＝∠APC，∴∠BPC＝360° ∠APB ∠APC＝150°，
故①不符合题意，②符合题意，
∵∠APB＝90°，∴AB＝，∴S△ABC＝，
故③不合题意，④符合题意，
如图，∵S△ABC＝AB×PG＋AC×PF＋BC×PE＝7，∴××（PG＋PF＋PE）＝7
∴PG＋PF＋PE＝=AB，故⑤符合题意，故答案为：②④⑤．
12.（2026九年级上·四川广元·期中）在平面直角坐标系中设两个点A、B坐标分别为，则A和B两点之间的距离为：．小明遇到如下问题：求的最小值，聪明的你认为答案是 ．
【答案】5
【详解】解：，
∵把式看成点到两点和的距离之和，
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，最小值为的长，，即的最小值为5，故答案为：5．
13.（2026八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，，，，是是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，作关于的对称点，∴，
∵是是的平分线，∴在上，，∴，
当时，取得最小值，过点作于点，则的长，即为的最小值，
∵在中，，，，∴，
∵，∴，故答案为：．
14.（2026八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，的周长为18．若点在直线上，连接、，则 ，的最大值为 ．
【答案】 8 8
【详解】解：∵的垂直平分线交于点F，交于点E，∴，
∵的周长是18，，∴的周长，
点P在直线上，如图，连接，

∵点P在的垂直平分线上，∴，∴，
故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点．故答案为：8，8．
15.（2026八年级下·贵州遵义·期中）如图，四边形中，，在上分别找一点M、N，使周长最小，则最小值为 ．
【答案】
【详解】解：作A关于和的对称点，连接，交于，交于，则即为的周长最小值，作交的延长线于，∴，
∵，∴，在中，∵，
∴，，∴，，
在中，，
∴周长的最小值．故答案为：．
16．（和平区·八年级期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小=___（度）．
【答案】50
【详解】作M关于OB的对称点，N关于OA的对称点，连接，交OB于点P，交OA于点Q，连接MP，QN，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时最小，即，
∴，
∵，∴，
∵，，∴ ，
∴ ．故答案为：50．
17.（2026八年级下·广东江门·阶段练习）如图，在长方形中，，，将长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则 ．
【答案】
【详解】解：设，则，
又 ∵在中，即，解得．故答案为：．
18.（2026八年级上·广东深圳·阶段练习）如图所示，在中，，将沿着翻折，使点落在边上的点处．，，则的长为 ．
【答案】/
【详解】解：在中，，，，
折叠，点落在边上的点处，，，，
，设，则，，
在中，，即，解得，，故答案为：
19.（2026八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．，，则的长为 ．
【答案】3.2
【详解】解：是等边三角形
如图，将绕点顺时针旋转，点为点的对应点，连接
点为点旋转后的对应点；由旋转的性质得：，
是等边三角形
则在中故答案为：3.2
20.（2026八年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，长宽高分别为3、2、1的长方体木块上有一只小虫从顶点出发沿着长方体的外表面爬到顶点，则它爬行的最短路程是 ．
【答案】
【详解】解：由题意有以下路线
路线一，如图1，
路线二，如图2， 路线三，如图3，
∵，∴最短距离为．故答案为：．
21.（2026八年级下·广东·假期作业）如图，一只蚂蚁从楼梯上的点处沿楼梯台阶的表面爬到点处，它爬行的最短距离为 m．
【答案】
【详解】解：该楼梯的水平长度为，将楼梯台阶表面展开，如图：
则，，
∴在中，，
∴蚂蚁爬行的最短距离为．故答案为：
22.（2026上·山东·八年级统考期中）如图，在中，，D是边上一点，垂直平分，交于点E，交于点F，连接．(1)说明：；(2)若，求的度数．
【答案】(1)见详解(2)
【详解】（1）证明：∵垂直平分，
（2）解：∵，
平分
23.（2026上·湖南衡阳·八年级校考阶段练习）已知：如图，的角平分线与的垂直平分线交于点，，，垂足分别为，．
(1)求证：；(2)若，，求的周长．

【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：连接，

∵D在的中垂线上，∴，∵，，平分，
∴，，∴，∴；
（2）∵平分，∴，∵，，∴，
又∵，∴，∴，由（1）可知，
∴的周长为：．
24．（2026八年级上·山东滨州·期末）如图所示，直线交轴于点，交轴于点满足．(1)求点、的坐标；(2)如图1，若的坐标为，且于点交于点．①求证：．②试求点的坐标．(3)如图2，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为
(2)①见解析；②(3)的值不发生改变，等于4
【详解】（1）解：；
；点的坐标为，点的坐标为；
（2）①证明：点的坐标为，点的坐标为，，
，，，，，
在和中，，；
②解：，，点的坐标为；
（3）解：的值不发生改变，等于4，理由如下：如图，连接，
为的中点，，，
，，，，
在与中，，，
．
25．（2026八年级上·四川成都·期末）已知中，，，直角的顶点为斜边上的一个动点，直角的两边分别交线段、于、两点．
图1 图2 图3
(1)如图1，当，且时，求的长度；
(2)如图2，当时，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，将直角绕点旋转，点是的中点，连接，过一点作，垂足为，交于；当线段最短时，求三角形的面积．
【答案】(1)；(2)见解析；(3)．
【详解】（1）解：∵，，∴，，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴即，解得；
（2）证明∶连接，如图．∵，，
∴，，，∴，
∵，∴，
在和中，∴，∴；
（3）解：由（）知，∵D是中点，∴，
∴当时，线段最短，∵，，∴四边形是矩形，
∵，∴四边形是正方形，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴．
26.（2026八年级下·广东深圳·期中）【综合与实践学习】阅读下面的证明过程：如图1，、和都是直角三角形，其中，且直角顶点都在直线l上，求证：．
证明：由题意，，．∴．
在和中，，∴．
像这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索．请结合以上阅读，解决下列问题：

(1)如图2，在中，，，过点A作直线，于点D，于点E，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图3，在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为12米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台A水平距离为18米，高为4米的矮台B，请写出旗杆的高度是 ．（不必书写解题过程）
(3)如图4，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，思考：与之间有什么样的数量关系？请证明你的猜想．
【答案】(1)，理由见解析(2)米(3)
【详解】（1）解：，理由如下：∵，∴，
∵，，∴，，∴，
∵，∴，∴，，∴；
（2）过A作，过B作，如图：
同理可证，∴，，由题意知，，∴，
∵，即，∴，∴，
∴（米）．
（3）证明：过D作交的延长线于点F，如图：
∵，∴，，
∴，而，∴，
∴，，∴，∴，∵，∴．
27.（2026八年级上·河南开封·阶段练习）小华阅读了华师大课本第119页阅读材料“美丽的勾股树”的主题内容后，深受启发，于是，他又对进行了一系列的探究，猜想，验证和运用，请你和他一起完成下面的探究．
(1)观察猜想：①如图1，将放置在边长为1的正方形网格中，则，，之间的关系是______；
②如图2，以的三边向外作等边三角形，，，则，，之间的关系是______；
(2)探究论证：如图3，以的三边为直径向外作半圆，若，，，则判断在（1）中发现的，，之间的关系是否还成立，并说明理由．
(3)拓展应用：如图4，以的三边为直径向外作半圆，已知阴影部分的面积为8，请直接写出的面积．
【答案】(1)①；②；(2)还成立，理由见解析(3)8
【详解】（1）解：①，理由如下：由网格可知：，
∴之间的关系是，故答案为：；
②，理由如下：∵，
∴；故答案为：；
（2）解：还成立，理由如下：
∵，，，，
∴；∴；
（3）解：∵图中阴影部分的面积，，∴．
28．（2026八年级下·江西赣州·阶段练习）一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处．
(1)如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标．
(2)如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于点E，求的面积．
(3)是否存在点P，使得点到长方形的两条较长边的距离之比为？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点P的坐标为(2)(3)点P的坐标为或
【详解】（1）∵，，∴
∵将沿折叠，点C落在点处∴，，
∴设，则
∴在中，∴解得
∴∴∴点P的坐标为；
（2）∵∴
∵沿将折叠得，∴∴∴
设，则∴在中，
∴解得∴∴的面积；
（3）如图所示，过点C作交于点E，交于点F，
∵，∴∴四边形是长方形∴
当时，∴，由折叠得，
∴∴∴设，则
∴在中，∴ 解得∴
∴∴点P的坐标为；
当时，∴，由折叠得，
∴∴∴设，则
∴在中，∴解得∴
∴∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题08.特殊三角形及勾股定理中的九类模型
本专题包含特殊三角形及勾股定理中的九类重要模型，主要有：奔驰模型、等直内接等直模型、等直+高分模型、中点模型、翻折模型、赵爽弦图模型、勾股树模型、空间最短路径模型、将军饮马模型等模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！
1.（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知是等腰三角形，，是直角三角形，为斜边上的中线，连接．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026八年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，，，点D为边的中点，
，将绕点D旋转，它的两边分别交、所在直线于点E、F，有以下4个结论：①；②；③；④当点E、F落在、的延长线上时，，在旋转的过程中上述结论一定成立的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2026八年级上·黑龙江·期末）如图在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，BE与CD相交于点F，BF=2CE，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G，下列结论中： ①∠A=67.5°；②DF=AD；③BE=2BG；④DH⊥BC 其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.（2026八年级上·浙江绍兴·期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则下列关于，，的说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
5.（2026八年级下·河北唐山·期末）如图，在矩形中，，，点E为上一点，把沿翻折，点C恰好落在边上的点F处，则的长是（ ）
A． B． C．2 D．
6.（黑龙江绥化·模拟预测）如图，在正方形外取一点E，连接，，，过点作的垂线交于点P，若，则下列结论：①；②；③点C到直线的距离为；④其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7.（2026八年级下·湖北十堰·期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（ ）
A． B． C． D．
8.（2026八年级下·福建厦门·期末）如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边 ()，下列四个说法：①；②;③；④．其中说法正确的结论有 ．(填序号)
9.（2026八年级下·浙江温州·期中）如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若，则的长为 ．
10.（2026九年级下·四川成都·阶段练习）如图，将矩形沿EF折叠，使点D落在点B处，P为折痕上的任意一点，过点P作，垂足分别为G，H，若，，则 ．
11．（2026八年级上·浙江宁波·期中）如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA＝4，PB＝2，PC＝2，以下五个结论：①∠BPC＝120°；②∠APC＝120°；③S△ABC＝14；④AB＝；⑤点P到△ABC三边的距离分别为PE，PF，PG，则有PE+PF+PG＝AB，其中正确的有 ．
12.（2026九年级上·四川广元·期中）在平面直角坐标系中设两个点A、B坐标分别为，则A和B两点之间的距离为：．小明遇到如下问题：求的最小值，聪明的你认为答案是 ．
13.（2026八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，，，，是是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为 ．
14.（2026八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，的周长为18．若点在直线上，连接、，则 ，的最大值为 ．
15.（2026八年级下·贵州遵义·期中）如图，四边形中，，在上分别找一点M、N，使周长最小，则最小值为 ．
16．（和平区·八年级期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小=___（度）．
17.（2026八年级下·广东江门·阶段练习）如图，在长方形中，，，将长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则 ．
18.（2026八年级上·广东深圳·阶段练习）如图所示，在中，，将沿着翻折，使点落在边上的点处．，，则的长为 ．
19.（2026八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．，，则的长为 ．
20.（2026八年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，长宽高分别为3、2、1的长方体木块上有一只小虫从顶点出发沿着长方体的外表面爬到顶点，则它爬行的最短路程是 ．
21.（2026八年级下·广东·假期作业）如图，一只蚂蚁从楼梯上的点处沿楼梯台阶的表面爬到点处，它爬行的最短距离为 m．
22.（2026上·山东·八年级统考期中）如图，在中，，D是边上一点，垂直平分，交于点E，交于点F，连接．(1)说明：；(2)若，求的度数．
23.（2026上·湖南衡阳·八年级校考阶段练习）已知：如图，的角平分线与的垂直平分线交于点，，，垂足分别为，．
(1)求证：；(2)若，，求的周长．

24．（2026八年级上·山东滨州·期末）如图所示，直线交轴于点，交轴于点满足．(1)求点、的坐标；(2)如图1，若的坐标为，且于点交于点．①求证：．②试求点的坐标．(3)如图2，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
25．（2026八年级上·四川成都·期末）已知中，，，直角的顶点为斜边上的一个动点，直角的两边分别交线段、于、两点．
图1 图2 图3
(1)如图1，当，且时，求的长度；
(2)如图2，当时，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，将直角绕点旋转，点是的中点，连接，过一点作，垂足为，交于；当线段最短时，求三角形的面积．
26.（2026八年级下·广东深圳·期中）【综合与实践学习】阅读下面的证明过程：如图1，、和都是直角三角形，其中，且直角顶点都在直线l上，求证：．
证明：由题意，，．∴．
在和中，，∴．
像这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索．请结合以上阅读，解决下列问题：

(1)如图2，在中，，，过点A作直线，于点D，于点E，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图3，在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为12米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台A水平距离为18米，高为4米的矮台B，请写出旗杆的高度是 ．（不必书写解题过程）
(3)如图4，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，思考：与之间有什么样的数量关系？请证明你的猜想．
27.（2026八年级上·河南开封·阶段练习）小华阅读了华师大课本第119页阅读材料“美丽的勾股树”的主题内容后，深受启发，于是，他又对进行了一系列的探究，猜想，验证和运用，请你和他一起完成下面的探究．
(1)观察猜想：①如图1，将放置在边长为1的正方形网格中，则，，之间的关系是______；
②如图2，以的三边向外作等边三角形，，，则，，之间的关系是______；
(2)探究论证：如图3，以的三边为直径向外作半圆，若，，，则判断在（1）中发现的，，之间的关系是否还成立，并说明理由．
(3)拓展应用：如图4，以的三边为直径向外作半圆，已知阴影部分的面积为8，请直接写出的面积．
28．（2026八年级下·江西赣州·阶段练习）一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处．
(1)如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标．
(2)如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于点E，求的面积．
(3)是否存在点P，使得点到长方形的两条较长边的距离之比为？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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