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章末复习
R·九年级数学上册
第二十八章 旋转
复习目标
1.梳理全章知识要点，能画出它的知识结构框图.
2.进一步明确旋转、中心对称的概念含义及它们的性质和作图等.
本章知识结构图
旋转及其性质
平移及其性质
轴对称及其性质
中心对称
中心对称图形
关于原点对称的
点的坐标
图案设计
复习回顾
知识点1 旋转及其性质
1.旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫作图形的旋转.
2.旋转三要素：_________、_________、_________.
旋转中心
旋转方向
旋转角
3.旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离_______；
②对应点与旋转中心所连线段所成的角相等，都等于_________；
③旋转前、后的图形_________.
相等
旋转角
全等
4.旋转作图：定→找→连→转→截→作→写.
1.如图，将 Rt△ABC 绕点 A 顺时针旋转到 △AB1C1 的位置，使得点 C，A，B1 在同一条直线上，∠B=25°，那么旋转角等于（ ）
A. 65° B. 100° C. 115° D. 120°
C
A
C
B1
C1
B
2.如图，4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，其旋转中心是（ ）
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
M
N
M1
N1
P1
P
D
A
B
C
B
3.如图，把 Rt△ABC 以点 S 为中心顺时针旋转30°，画出旋转后的图形.
B
C
A
S
A′
B′
C′
解：如图所示.
【选自教材第110页 复习题28 第2题】
注意：（1）画旋转后的图形，要善于抓住图形特点，作出特殊点的对应点；
（2）旋转作图时要明确三个方面：旋转中心、旋转角度及旋转方向（顺时针或逆时针）.
知识点2 中心对称
1.中心对称的定义：一个图形绕着某一点旋转______，如果旋转后的图形能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心（简称中心）.
180°
△OCD与△OAB关于点O对称
这两个图形在旋转后能重合的点叫作对称点.
2.中心对称的性质：
①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分.
对称点与对称中心三点共线
对称中心是对称点连线的中点
②中心对称的两个图形是全等图形.
如何确定“对称中心”呢？
一组对称点连线的中点 或 两组对称点连线的交点.
中心对称和轴对称的区别与联系
轴对称 中心对称
图示
区别 至少有一条对称轴 只有一个对称中心
图形沿对称轴折叠 图形绕对称中心旋转180°
折叠后与另一个图形重合 旋转后与另一个图形重合
联系 都是图形变换，并且变换前、后的两个图形全等
A
B
C
C′
A′
B′
O
3.作已知图形关于某一点对称的图形的一般步骤：
找关键点
确定对称中心及原图形上的关键点
作对称点
将各关键点与对称中心连接并延长，在相应延长线上作出各关键点关于对称中心的对称点
顺次连接
将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得到原图形关于对称中心对称的图形
1.如图，在平面直角坐标系中，若△ABC 与 △DEF 关于点 P 成中心对称，则对称中心点 P 的坐标是_________.
P
(2, 1)
知识点3 中心对称图形
1.定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
2.性质：①中心对称图形的对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
②过对称中心的直线将中心对称图形分成的两部分是全等图形（面积和周长都分别相等）.
名称 中心对称 中心对称图形
图形
区别 图形个数 两个图形 一个图形
属性 两个图形的位置关系 具有某种性质的一个图形
对称点 对称点在两个图形上 对称点在一个图形上
对称中心 对称中心在两个图形的外部、内部或图形上 对称中心在图形上或其内部
联系 （1）若用一条过对称中心的直线将中心对称图形分成两个图形，则它们成中心对称； （2）若把成中心对称的两个图形看作一个整体，则这个整体为中心对称图形 1.围棋是中华民族发明的一种智力博弈活动. 下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
D
2.如图，有一张纸片，若连接 EB，则纸片被分为矩形FABE 和菱形 EBCD.你能画一条直线把这张纸片分成面积相等的两部分吗？画一画，并说明理由.
【选自教材第112页 复习题28 第10题】
解：如图，连接BF，OE交于点O1，连接BD，EC交于点O2，作直线O1，O2，则直线O1，O2即为所求.
理由：矩形和菱形都是中心对称图形，过对称中心的直线能把它们分成全等的两部分，这两部分面积相等.
O1
O2
A
B
C
D
E
F
知识点4 关于原点对称的点的坐标
关于原点对称的点的坐标关系：横坐标、纵坐标的符号相反.
P(x, y)
关于原点对称
P′( x, y)
P(x, y)
关于x轴对称
P′(x, y)
P(x, y)
关于y轴对称
P′( x, y)
简记为：“关于谁，谁不变，关于原点都改变”.
2.在平面直角坐标系中，第一象限内的点 P(x2 5x+1, 3)与另一点 Q(4x 1, y) 关于原点对称，则 x y 的值为_____.
1.已知点 A(3, a)，B(b, 4) 关于原点对称，则 ab 的值为（ ）
A. 12 B. 7 C. 7 D. 12
D
3
巩固提升
1.如图，E 为正方形 ABCD 内一点，AE=5，BE=12，∠AEB
=90°，将 Rt△ABE 绕点 A 逆时针旋转 α（0°≤α≤180°），点 B，E 的对应点分别为 B′，E′.
（1）如图①，在旋转的过程中，当点 B′ 落在 AC 上时，求 CB′的长；
解：∵AE=5，BE=12，∠AEB=90°，
∴AB== =13. ∵四边形ABCD是正方形，∴BC=AB=13，∠ABC=90°
∴AC==13.由旋转的性质，得AB′=AB=13，∴CB′=AC AB′=13 13.
（2）如图②，当 α=90°时，点 B′ 与点 D 重合，延长 BE 交 DE′ 于点 F，试判断四边形 AEFE′ 的形状，并说明理由．
解：四边形AEFE′是正方形. 理由如下：
由旋转的性质，得AE=AE′，∠EAE′=α=90°，∠AE′D=∠AEB=90°．
∵∠AEF=180° ∠AEB=90°，
∴四边形 AEFE′ 是矩形．
又AE=AE′，
∴四边形 AEFE′ 是正方形．
2.如图，在矩形 OBCA 中，B(0, 1)，∠OBA=60°，点 C 在第一象限．若将 △ABC 绕点 O 旋转120°，则点 C 的对应点 C′ 的坐标为_______________.
( , 1)或(0, 2)
3.如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB 的一条直角边 OB 在 x 轴上，点 A 的坐标为( 6, 4)；在 Rt△COD 中，∠COD=
90°，OD=4，∠D=30°，连接 BC，M 是 BC 的中点，连接 AM. 将 Rt△COD 以点 O 为旋转中心顺时针旋转，在旋转过程中，线段 AM 的最小值是______.
3
课堂小结
通过本节课的复习，你还有哪些疑惑？

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