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28.1 图形的旋转
第１课时 旋转的概念及性质
第二十八章 旋转
R·九年级数学上册
学习目标
1.了解生活中广泛存在的旋转现象，知道旋转是继平移、对称之后的又一种基本变换.
2.能结合图形指出什么是旋转中心、旋转角和对应点.
3.体会旋转的形成过程，并探究旋转的性质．
情境导入
观察下列动画，生活中的这些现象有什么共同特点？
思考：怎样来定义这种图形变换？
探索新知
若把指针、叶片、舵柄看作平面图形，这些图形都在平面内围绕着一个点O转动.
O
O
O
把一个平面图形绕着平面内__________转动__________，叫作___________.
某一点O
一个角度
图形的旋转
点O叫作___________.
转动的角叫作___________.
转动的方向分为_________和_________.
如果图形上的点 P 经过旋转后变为点 P′，那么这两个点叫作这个旋转的_________.
旋转中心
旋转角
顺时针
逆时针
对应点
1.举出一些现实生活、生产中旋转的实例，并指出旋转中心和旋转角.
牛刀小试
【选自教材第93页 练习 第1题】
解：现实生活中旋转的实例有很多，如：钟表上的时针、分针，它的旋转中心是时针、分针交叉的轴，旋转角是时针、分针转动前后形成的角度，又如电风扇，它的旋转中心是叶片交叉的轴，旋转角为某一个叶片转动前后之间的夹角.
2.如图，杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆的旋转中心在哪里？旋转角是哪个角？
【选自教材第93页 练习 第2题】
解：杠杆的旋转中心是点O，旋转角是∠AOA'（或∠BOB'）.
P
Q
O
3.如图，△OPQ 围绕点 O 顺时针旋转60°至△OMN 的位置，在这个旋转过程中：
旋转中心是________；
点 P 的对应点是______，点 Q 的
对应点是______；
线段 PQ 的对应线段是_________；
∠OQP 的对应角是________；
∠POM 的度数是_______.
M
N
点O
点M
点N
线段MN
∠ONM
60°
归纳小结
确定一次图形的旋转时，必须明确：
旋转中心
旋转方向
旋转角
【注意】旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心、旋转方向、旋转角”称为旋转的三要素.
如图，利用以下方法或信息技术工具，将△ABC 绕点 O 旋转一个角度，得到△A′B′C′.
（1）在硬纸板上，挖一个三角形洞，再另扎一个小点O作为旋转中心.
（2）硬纸板下面放一张白纸，先在纸上描出这个挖掉的三角形图案（△ABC），然后围绕旋转中心O转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形（△A′B′C′），移开硬纸板.
问题1：在图形的旋转过程中，线段OA与OA′， OB与OB′， OC与OC′的关系怎样？∠AOA′， ∠BOB′与∠COC′呢？△ABC与△A′B′C′呢？
问题2：旋转前后图形的形状和大小有影响吗？
问题3：你能通过度量角的方法得出旋转角度吗？你准备度量哪个角？
点击打开几何画板.gsp
归纳小结
旋转的性质
对应点到旋转中心的距离相等；
两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；
OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′
旋转前后，图形的形状、大小未发生变化.
∠AOA′=∠BOB′=∠COC′
△ABC≌△A′B′C′
牛刀小试
如图，男生坐在秋千上，秋千旋转了80°，在图中男生身上任意选一点P，利用旋转的性质，标出点P的对应点.
（1）这两个点到旋转中心的距离有怎样的关系？
（2）这两个点与旋转中心所连线段所成的角是多少度？
P
P′
相等
80°
【选自教材第94页 练习 第3题】
例1 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转 35°，得到△A′B′C，若∠BCA′=100°，求∠B′CA 的度数.
A′
B′
C
B
A
解：由旋转的性质可知，∠BCB′= ∠ACA′= 35°.
又因为∠BCB′+∠B′CA+∠ACA′=∠BCA′= 100°，
所以∠B′CA=30°.
变式训练
如图，在△ABC中，∠B=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点 A，B 的对应点分别为 D，E，延长BA交DE于点F，下列结论一定正确的是（ ）
A. ∠ACB=∠ACD B. AC∥ DE
C. AB=EF D. BF⊥CE
D
轴对称、平移、旋转的异同点：
变换 轴对称 平移 旋转
不同点 运动方式 沿一条直线翻折 沿某一方向移动 绕某一点转动
要素 对称轴 平移方向和平移 距离 旋转中心、旋转方向和旋转角
对应点、对应线段的情况 成轴对称的两个图形的对应线段或其延长线相交，且其交点在对称轴上；对应点所连的线段被对称轴垂直平分 对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等 对应点到旋转中心的距离相等
轴对称、平移、旋转的异同点：
变换 轴对称 平移 旋转
相同同 （1）都是在平面内进行的图形变换； （2）都只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即变换前后两个图形的对应线段相等，对应角相等； （3）都是一个已知图形变换后得到另一个图形.
随堂练习
1.如图，已知BC是等腰直角三角形ABC的斜边，D是△ABC内一点，连接AD，BD. 若将△ABD绕点A逆时针旋转到△ACD′的位置，则∠ADD′的度数是（ ）
A. 25° B. 30° C. 35° D. 45°
D
2.如图，在正方形网格中，三角形①绕某点旋转一定角度得到三角形②，其旋转中心是（ ）
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
B
3.如图，将 △ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转角 α，得到 △ADE.若点 E 恰好在 CB 的延长线上，则 ∠BED 等于（ ）
A. B. α C. α D.180°–α
D
4.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转60°得到△DEC，连接 BD，则BD的长是多少？
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
O
解：如图，连接AD，设AC与BD相交于点O.
根据题意，得CA=CD，∠ACD=60°，∴△ACD为等边三角形.
∴AC=AD=CD. ∵∠ABC=90°，AB=BC=2，
∴CD=AC===2，∠BCO=45°.
∵AB=BC，AD=CD，∴BD垂直平分AC.
∴OC= AC=，∠COD=∠BOC=90°.
∴OD==，∠CBO=∠BCO=45°.
∴OB=OC=.
∴BD=OB+OD=+.
5.如图，△ABD，△AEC 都是等边三角形. BE 与 DC 有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？试提出一个类似的问题.（提示：将等边三角形换成其他图形.）
【选自教材第97页 习题28.1 第8题】
解：BE=DC.理由如下：
∵△ABD，△AEC都是等边三角形，
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠EAC=60°.
∴以点A为旋转中心将△EAB顺时针旋转60°就得到△CAD. ∴△EAB≌△CAD. ∴BE=DC.
问题：若△ABD，△AEC都是等腰直角三角形，∠DAB=∠EAC =90°.其中BE与DC有什么关系？
课堂小结
旋转
定义
性质
三要素：旋转中心，旋转方向和旋转角.
1.对应点到旋转中心的距离相等；
2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
3.旋转前、后的图形全等.

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