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28.2 中心对称
28.2.1 中心对称及其性质
第二十八章 旋转
R·九年级数学上册
学习目标
1.通过具体实例认识中心对称，弄清楚中心对称及其有关概念的含义.
2.探究并归纳出中心对称的性质.
3.会作与一个图形关于某个点成中心对称的另一个
图形．
复习回顾
旋转
三要素
性质
旋转中心
旋转角
旋转方向
1.对应点到旋转中心的距离相等；
2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
3.旋转前、后的图形全等.
探索新知
思考1：如图，把其中一个图案绕点O旋转180°，你有什么发现？
旋转后两个图案能够互相重合.
O
思考2：如图，线段 AC，BD 相交于点O，OA=OC，OB =OD. 把△OCD绕点O旋转180°，你有什么发现？
O
A
B
D
C
旋转后的△OCD与△OAB重合.
思考3：上面两个旋转有什么共同点？
①旋转中心都是点O；
②旋转角度都是180°；
③旋转后都能与另一个图形完全重合.
归纳小结
像这样，一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心（简称中心）.
△OCD与△OAB关于点O对称
这两个图形在旋转后能重合的点叫作对称点 .
思考4：中心对称与旋转的联系与区别是什么？
联系：中心对称与旋转都是绕着某一点转动；
区别：中心对称的旋转角度是180°，旋转的旋转
角度不固定，中心对称是特殊的旋转.
1.下列图案中，点 O 为正方形的中心，阴影部分的两
个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点 O 对称的是（ ）
牛刀小试
C
如图，△ABC和△A′B′C′ 关于点 O 对称.
（1）对称中心O与对称点的连线AA′有什么关系？点O与BB′，CC′ 呢？
A
B
C
B′
A′
C′
O
A，O，A′三点共线，且OA=OA′.同理OB=OB′， OC=OC′.
（2） △ABC和△A′B′C′ 有什么关系？
全等.
你能从这个探究中得到什么结论？
归纳小结
中心对称的性质
1.中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分.
对称点与对称中心三点共线
对称中心是对称点连线的中点
2.中心对称的两个图形是全等图形.
如何确定“对称中心”呢？
一组对称点连线的中点 或 两组对称点连线的交点.
2.如图，△ABC 和 △DEF 关于点 O 对称，则下列结论不成立的是（ ）
A. CO=FO
B. ∠OBC=∠OEF
C. AB∥ EF
D.点 B 与点 E 是对称点
牛刀小试
C
3.图中的两个四边形关于某点对称，标出它们的对称中心.
【选自教材第101页 练习 第1题】
解：如图所示，连接对称点，对称点所连线段相交于一点O，点O即为对称中心.
O
O
A
解：第一步：连接 AO，并延长；
第二步：在 AO 的延长线上截取OA′=OA.
A′
点A′就是所求作的点.
试一试：如图，选择点 O 为对称中心，画出点 A 关于点 O 的对称点 A′.
O
B
C
A
例1 如图，选择点 O 为对称中心，作出与 △ABC 关于点 O 对称的△A′B′C′.
解：连接 AO，在AO的延长线上截取 OA′=OA，即可以得到点 A 关于点 O 的对称点A′.
A′
以同样的方法分别作出点B，C关于点O的对称点B′，C′.
B′
C′
依次连接A′B′，B′C′，C′A′，就得到与△ABC关于点O对称的△A′B′C′.
A′
D′
C′
B′
牛刀小试
4.如图，已知四边形ABCD和点O，画出四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于点O对称.
O
A
B
C
D
解：如图所示.
归纳小结
作已知图形关于某一点对称的图形的一般步骤：
找关键点
确定对称中心及原图形上的关键点
作对称点
将各关键点与对称中心连接并延长，在相应延长线上作出各关键点关于对称中心的对称点
顺次连接
将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得到原图形关于对称中心对称的图形
中心对称和轴对称的区别与联系
轴对称 中心对称
图示
区别 至少有一条对称轴 只有一个对称中心
图形沿对称轴折叠 图形绕对称中心旋转180°
折叠后与另一个图形重合 旋转后与另一个图形重合
联系 都是图形变换，并且变换前、后的两个图形全等
A
B
C
C′
A′
B′
O
随堂练习
1.判断正误：
（1）轴对称的两个图形一定是全等图形，但全等的两个图形不一定是轴对称的图形. （ ）
（2）成中心对称的两个图形一定是全等图形.但全等的两个图形不一定是成中心对称的图形. （ ）
（3）全等的两个图形，不是成中心对称的图形，就是成轴对称的图形. （ ）
√
√
×
2.分别作出已知图形关于点O对称的图形.
【选自教材第101页 练习 第2题】
O
O
解：如图所示.
解：如图所示.
3.如图，矩形的长为10，宽为4，已知点O是三角形①②、三角形③④、三角形⑤⑥的对称中心，则图中阴影部分面积和为______.
20
4.如图，在△ABC中AB=5，AC=13，AD=6，△ADC和△EDB关于点D对称，求BC的长.
解：∵△ADC 与△EDB 关于点D对称，∴△ADC≌△EDB. ∴AC=EB=13，CD=BD，AD=ED=6.∴AE=AD+ED=12. 在△ABE中，AB2+AE2=52+122=169，EB2=132=169，∴AB2+AE2=EB2. ∴△ABE 是直角三角形，且∠BAD=90°.在Rt△ABD 中，BD===.
∴BC=2BD=2.
课堂小结
中心对称
概念
性质
作图
两个图形
其中一个图形绕某一点旋转180°
与另一个图形重合
对称点所连线段经过对称点且被对称中心平分
中心对称的两个图形是全等图形
作中心对称图形
找出对称中心

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