资源简介

2.2.2基本不等式的应用
A级　基础练习
1.(2026山东济南阶段练习)已知正实数a,b满足a+b=4,则的最小值为(　　)
A.1 B.2
C.2 D.4
2.已知x>0,y>0,且=1,则2x+y-的最小值为(　　)
A.2 B.2
C.4 D.5
3.已知a>0,b>0,且a+b=2,则的最小值是(　　)
A.4+1 B.4
C.5 D.4
4.(2026江苏苏州阶段练习)若x<,则3x+1+有(　　)
A.最大值0 B.最小值9
C.最大值-3 D.最小值-3
5.(2026海南儋州阶段练习)已知正数a,b满足a-2b=1,则a+的最小值为(　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
6.(多选题)已知a>0,b>0,ab=4,则下列结论正确的有(　　)
A.2a+b的最小值为-4
B.-2a-b的最大值为-4
C.的最小值为1
D.的最小值为4
7.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站(　　)
A.5千米处 B.4千米处
C.3千米处 D.2千米处
8.一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达灾区,已知两地公路线长400 km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于 km,那么这批物资全部到达灾区最少需要　　　　　 h.
9.当x>-1时,x+(t>0)的最小值为3,则实数t的值为　　　　　;当x>0时,x+的最小值为　　　　　.
10.已知a>0,b>0,若不等式恒成立,则实数m的最大值为　　　　　.
11.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升6元,而汽车每小时耗油2+升,司机的工资是每小时14元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式.
(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低 并求出最低总费用.
B级　拔高提升
12.已知正实数x,y满足x2+3xy-2=0,则4x+3y的最小值为(　　)
A. B.
C.2 D.
13.若两个正实数x,y满足=1,且不等式x+A.-1C.m>4 D.m<0或m>3
14.(2026陕西咸阳期中)已知a>1,b>-2,a+b=3,则的最小值是(　　)
A.1 B.
C.2 D.3
15.(2026山东滕州阶段练习)已知a,b>0,且ab=a+b+3,则a+4b的最小值是(　　)
A.9 B.13
C.7+4 D.15
16.(2026浙江临海期中)一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10 g黄金,售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5 g的砝码放在天平右盘中,取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金(　　)
A.大于10 g B.等于10 g
C.小于10 g D.与左、右臂长度有关
17.设y=x+(a>0).当x>2时,y存在最小值,则满足条件的一个a的值为　　　　　.
18.经观测,某公路段在某时段内的车流量y(单位:千辆/时)与汽车的平均速度v(单位:千米/时)之间有如下关系:y=(v>0).在该时段内,当汽车的平均速度为　　　　　千米/时时车流量最大,最大车流量为　　　　　千辆/时(精确到0.01).
19.已知x>-1,则的最小值是　 .
20.已知实数x>0,y>0,则的最小值是　　　　　.
21.已知实数x,y,z,若x+2y-z=4,x+y>0,y-z>0,则(x+y-z)y-xz的最大值为(　　)
A.2 B.4
C.4 D.8
22.(2026湖南湘潭阶段练习)如图,已知矩形ABCD(AB>AD)的周长为26 cm,E是边CD上的一点,且CE=1,把四边形ABCD沿AE折叠,使得线段AB'与线段CD交于点M(与端点不重合).
(1)证明:△ADM的周长为定值;
(2)求△ADM面积的最大值.
答案：
1.A　(a+b)()=(2+)≥(2+2)=1,当且仅当,即a=b=2时,等号成立.故选A.
2.D　2x+y-=(2x+y)()-=3+=3+≥3+2=5(当且仅当,即x=,y=3时,等号成立),所以2x+y-的最小值为5.故选D.
3.C　因为a+b=2,所以+1≥2+1=5,当且仅当,即b=2a=时,等号成立.故选C.
4.C　因为x<,故3x-2<0,3x+1+=3x-2++3=-[-(3x-2)+]+3≤-2+3=-3,当且仅当-(3x-2)=,即x=-时,等号成立.故选C.
5.D　由a-2b=1,可得a=1+2b,所以a+=2b+2+-1≥2-1=7,当且仅当a=3,b=1时,等号成立.故选D.
6.BC　对于A,由a>0,b>0,ab=4,得2a+b≥2=4,当且仅当2a=b=2时,等号成立,故A错误;对于B,由2a+b≥4,得-2a-b≤-4,故B正确;对于C,≥2=1,当且仅当a=b=2时,等号成立,故C正确;对于D,=b+=b-2++2,当b<2时,b-2++2<2,故D错误.故选BC.
7.A　设仓库到车站的距离为d千米,则y1=,y2=k2d,由题意知2=,8=10k2,∴k1=20,k2=0.8.∴y1+y2=+0.8d≥2=8,当且仅当=0.8d,即d=5时,等号成立.
8.10　由题意,可知第一辆汽车出发 h后,最后一辆汽车出发,最后一辆汽车驶完全程需要 h,
所以一共需要()h,
由基本不等式,得≥2=10,当且仅当,即v=80时,等号成立,故最少需要10 h.
9.4　　当x>-1时,x+1>0,则x+=(x+1)+-1≥2-1,当且仅当x+1=时,等号成立,则x+的最小值为2-1,则有2-1=3,解得t=4.
∵x>0,∴x+>0,x+=x+=x+≥2,
当且仅当x+,即x=时,等号成立.
10.25　a>0,b>0,则a+b>0,
不等式恒成立,即m≤()(a+b)恒成立,()(a+b)=()(a+b)= 13+≥13+2=25,当且仅当,即b=a时,等号成立,所以m≤25,即实数m的最大值为25.
11.解 (1)设这次行车所用时间为t=小时,则y=×6×+14×x,50≤x≤100.所以,这次行车总费用y关于x的表达式是y=x,50≤x≤100.
(2)y=x≥,当且仅当x,即x=2时,等号成立.又2<50,所以当x=50时,这次行车的总费用最低,最低总费用为y=×50=(元).
12.C　因为正实数x,y满足x2+3xy-2=0,则y=,则4x+3y=4x+-x=3x+≥2,
当且仅当3x=,即x=时,等号成立,所以4x+3y的最小值为2.故选C.
13.C　由已知得x+=2+≥2+2=4,当且仅当4x=y=8时,等号成立.
又不等式x+4.
14.A　由a>1,b>-2,得a-1>0,b+2>0,由a+b=3,得(a-1)+(b+2)=4,因此[(a-1)+(b+2)]()=(2+)≥(2+2)=1,当且仅当,即a=3,b=0时,等号成立,所以的最小值是1.故选A.
15.B　由ab=a+b+3可得a=+1,因为a,b>0,所以b-1>0,即b>1,所以a+4b=+1+4b=+4(b-1)+5≥2+5=13,当且仅当=4(b-1),即b=2时,等号成立,所以a+4b的最小值是13.故选B.
16.A　设天平的左臂长为a,右臂长为b,且a≠b.再设先称得黄金为x g,后称得黄金为y g,则5a=bx,ay=5b,所以x=,y=.所以顾客购得的黄金共x+y=≥10,当且仅当=5,即a=b时,等号成立.又a≠b,所以等号不成立.因此,顾客购得的黄金大于10 g.故选A.
17.5(答案不唯一,只要a>4即可)　由基本不等式得x+≥2=2,当且仅当x=,即x=时等号成立,故>2,即a>4.填大于4的任意一个值都符合题意.
18.40　11.08　依题意得y=≈11.08.当且仅当v=时,等号成立,此时v=40,车流量最大,最大车流量为11.08千辆/时.
19.3　因为x>-1,x+1>0,所以=(x+1)+-1≥2-1=3.当且仅当x+1=,即x=1时,等号成立,所以的最小值是3.
20.3　,令t=>0,则+t=1+t+-1≥2-1=3,当且仅当1+t=,即t=1,x=y时,等号成立.故的最小值为3.
21.B　由题意知实数x,y,z,x+2y-z=4,
故(x+y-z)y-xz=y(x+y)-z(x+y)=(x+y)(y-z)≤=4,
当且仅当x+y=y-z=2时,等号成立,
故(x+y-z)y-xz的最大值为4.故选B.
22.(1)证明 过E作EN⊥AB'于点N,故四边形B'C'EN为矩形,故B'C'=EN,
又B'C'=BC,
所以NE=BC=AD.
又∠ADM=∠ENM=,∠AMD=∠EMN,故△ADM≌△ENM,进而AM=ME,
所以AD+DM+AM=AD+DM+ME=AD+DE=AD+DC-EC=13-1=12,
故△ADM的周长为定值12 cm,得证.
(2)解 设AD=x,DM=y,所以AM=12-x-y,
又AD2+DM2=AM2,所以x2+y2=[12-(x+y)]2,
化简得12(x+y)=72+xy,由于x+y≥2,当且仅当x=y时,等号成立,
故12(x+y)=72+xy≥24,当且仅当x=y时,等号成立,()2-24+72≥0,即(-12)2≥72,解得≥6+12或≤-6+12,由于12-x-y>x且12-x-y>y,故2(12-x-y)>y+x,所以y+x<8,故2≤y+x<8,故<4,因此≥6+12不符合题意,舍去,故≤-6+12,当且仅当x=y=12-6时,等号成立,故S△ADM=xy≤×(12-6)2=36(3-2)cm2,△ADM的面积的最大值为36(3-2)cm2.
1

展开更多......

收起↑