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专题03 圆中的重要模型之四点共圆模型
四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。
1
模型来源 1
真题现模型 2
提炼模型 4
模型运用 6
模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 6
模型2.定边对双直角共圆模型 8
模型3.定边对定角共圆模型 11
模型4.对角互补共圆模型 14
17
汉代数学家张丘建在《九章算术》中首次提出四点共圆的理论雏形，宋代数学家基于《九章算术》进一步研究，明确“对角互补的四边形必共圆”的判定条件，与阿拉伯研究形成互补。托勒密在《天文学大成》中提出 托勒密定理 ：若凸四边形内接于圆，则两对角线乘积等于两组对边乘积之和，并给出严谨证明。该定理首次将四点共圆与定量关系结合，成为后世判定核心依据之一。四点共圆模型从东西方独立的定性认知起步，历经托勒密的定量跨越，最终在近现代整合为系统化工具，成为解决圆相关几何问题的通用模型。其发展体现了数学思想从经验到逻辑、从孤立到互联的演进本质。初中几何体系将四点共圆判定归纳为四大核心模型。
（2026九年级上·北京·期中）如图，中，，，将绕的中点O倾时针旋转得到交于点交于点N，给出下面三个结论：
①；②点A，C，E，B四点共圆；③连接，则．上述结论中所有正确结论的序号是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【详解】解：①连接、，如图所示：

∵中，，，将绕的中点O倾时针旋转得到，
∴和为等腰直角三角形，根据旋转可知：，，
∵O为、的中点，∴，，，，，，∴，，
∵，，∴，∴，
∴，∴，∴，故①正确；
②∵，，∴，
∴点A，C，E，B在以点O为圆心，以为圆心的圆上，∴点A，C，E，B四点共圆，故②正确；
③∵，∴A、D、E在以为圆心的圆上，∴，
∴，故③错误；综上分析可知：正确的有①②．故选：A．
（2026九年级上·浙江杭州·期中）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆． 该小组继续利用上述结论进行探究．
【提出问题】如图， 在线段同侧有两点，，连接，，，， 如果，那么，，，四点在同一个圆上．
【探究展示】如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与， 重合），连接，，则（依据）；∵，∴，
∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点， 都在点，，所确定的上（依据）；∴点，，，四点在同一个圆上；
【反思归纳】圆内接四边形对角互补；对角互补的四边形四个顶点共圆；
过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；同圆中，同弧所对的圆周角相等；
（）上述探究过程中的“依据”、“依据”分别是指什么？依据： ；依据： ．
（从框内选一个选项，直接填序号）
（） 如图，在四边形中，，，则的度数为 ；
【拓展探究】（）如图4， 已知 是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于， 连接，．
求证：，，，四点共圆；若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
【答案】（），；（）；（）证明见解析；．
【详解】（）解：如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（圆内接四边形对角互补）
∵，∴，
∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点，在点，，所确定的上（过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆）
∴点，，，四点在同一个圆上，故答案为：，；
（）解：∵在线段同侧有两点，，，∴，，，四点共圆，
∵，∴，故答案为：；
（）证明：∵，∴，
∵点与点关于对称，∴，∴，∴，，，四点共圆；
解：，理由如下，如图，∵，，，四点共圆，∴，
∵，关于对称，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，∵，∴．
1.定点定长共圆模型（圆的定义）
若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。
条件：如图1，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD。
结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。
证明：∵OA=OB=OC=OD
∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。
图1 图2（同侧型） 图3（ 异侧型）
2.定边对双直角共圆模型
定边对双直角模型：一定边所对的角为两个直角，分同侧型和异侧型两种情况进行讨论。
1）定边对双直角模型（同侧型）
条件：如图2，若平面上A、B、C、D四个点满足，
结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。
2）定边对双直角模型（异侧型）
条件：如图3，若平面上A、B、C、D四个点满足，
结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。
注意：由于同侧型与异侧型证明相同，故下面证明一次即可。
证明：取AD的中点为E，连结BE，CE。 ∵，BE=CE=AD=AE=ED，
∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。
3.定边对定角共圆模型
定边对定角模型：一定边同侧所对的角为两个相等（为定值）。
图1 图2 图3 图4
条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆。
条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆。
证明：∵，∴，
又∵，。∴，∴A、B、C、D四点共圆。
4.对角互补共圆模型
条件：如图3，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆．
条件：如图4，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆.
证明：∵，∴，又∵，。∴，
∵，∴，∴A、B、C、D四点共圆。
模型1.定点定长共圆模型（圆的定义）
例1（浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【详解】解：连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB
∵在中，，点G是DE的中点，∴AG=DG=EG
又∵AG=FG∴点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径∴∠DFE=90°
∵在Rt△ABC中，AB=AC=5，点是BC的中点，∴CF=BF=，FN=FM=
又∵FN⊥AC，FM⊥AB，∴四边形NAMF是正方形∴AN=AM=FN=
又∵，∴
∴△NFD≌△MFE∴ME=DN=AN-AD=∴AE=AM+ME=3；∴在Rt△DAE中，DE=
故选：A．
例2（2026·安徽合肥·校考一模）如图，O是的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接．下列结论不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．平分
【答案】D
【详解】如图，以点O为圆心，长为半径作圆．
由题意可知：．即点A、B、C、D都在圆O上．
A．∵，∴，故A不符合题意；B．∵，∴，故B不符合题意；
C．∵四边形是的内接四边形，∴，故C不符合题意；
D．∵和不一定相等，∴和不一定相等，
∴不一定平分，故D符合题意．故选：D．
例3（2025·重庆·校考一模）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是；
迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式；
拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．证明是等边三角形；
【答案】迁移应用：①详见解析；②结论：；拓展延伸：详见解析；
【详解】迁移应用：①证明：如图2 ∵，∴，
在和中，，∴，
②解：结论：．理由：如图中，作于．
∵，∴，在中，，
∵，，∴，∴；
拓展延伸：证明：如图3中，连接，∵四边形是菱形，，
∴是等边三角形，∴，
∵E、C关于对称，∴，
∴A、D、E、C四点共圆，∴，∴，∴是等边三角形；
模型2.定边对双直角共圆模型
例1（湖北鄂州·统考中考真题）如图，四边形中，，，于点．若，，则线段的长为 ．
【答案】
【详解】如图，设交于点F，过C作，
在以为直径的圆上
，
，
在和中
=
，
例2（山东泰安·一模）如图，等边的边长为4，点是边上的一动点，连接，以为斜边向上作等腰，连接，则AE的最小值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【详解】解：如图，过点作于点，作射线，
是等边三角形，，，
，点，点，点，点四点共圆，，
点在的角平分线上运动，当时，的长度有最小值，
，，的最小值为，故选：B．
例3（陕西西安·模拟预测）如图，线段，以为斜边构造等腰直角和直角，、在两侧，平分交于点，则的最小值为 ．
【答案】/
【详解】解：以为斜边构造等腰直角和直角，
，，，，，，共圆，
，，，平分，
平分，为的内心，，
，，
，，当为该圆直径时，最大，
的最小值为，故答案为：．
例4（浙江嘉兴·二模）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC于点E，EA平分∠BED．（1）CD的长是 ；（2）当点F是AC中点时，四边形ABCD的周长是 ．
【答案】 2 5+
【详解】解：（1）如图1中，延长DA，CB交于点H，
∵EA平分∠BED，∴∠AEH＝∠AED，且AE＝AE，∠EAH＝∠EAD＝90°，
∴△ADE≌△AHE（ASA）∴AH＝AD，∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴AB∥CD，∴△ABH∽△DCH,
∴，且AB＝1，AH＝AD＝HD，∴CD＝2，
（2）如图2中，作AH⊥CD于H，
∵∠DAE＝∠DCE＝90°，∴A，D，C，E四点共圆，设圆心为O，则点O是线段DE的中点，
又∵AF＝CF，∴DE⊥AC，∴DA＝DC，
∵∠ABC＝∠BCH＝∠AHC＝90°，∴四边形ABCH是矩形，∴CH＝AB＝1，
∵CD＝2，∴CH＝HD＝1，又∵AH⊥CD，∴AD＝AC，∴AD＝CD＝AC＝2，
∴，四边形ABCD的周长为．
故答案为：（1）2；（2）．
模型3.定边对定角共圆模型
例1（2026九年级上·浙江·专题练习）如图，在四边形中，且，垂足为，延长线交于，交的延长线于．求证：A，，，四点共圆．
【答案】见解析
【详解】解：如图，连接，
，为等腰三角形，，
又∵，∴为中点，∴垂直平分，，∴，，
又，为等腰三角形，，∴，∴A，，，四点共圆．
例2（广东深圳·三模）如图，中，，，，以点C为顶点在外部作，连接，若，则长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，，∴，∴，
∵，∴A、B、C和D四点共圆，且以中点为圆心，连接，如图，
∵，，，∴，，
∵，∴，
∴，设，则，则，解得，
∵，∴，
∴，即，解得，故选：A．
例3（2026九年级上·湖北·课后作业）“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．

提出问题：如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么A，，，四点在同一个圆上．
探究展示：如图2，作经过点A，，的，在劣弧上取一点（不与A，重合），连接，，则（依据1），∵，∴，
∴点A，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆），
∴点，在点A，，所确定的上（依据2），∴点A，，，四点在同一个圆上．
反思归纳：（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：__________________________________________________；
依据2：__________________________________________________．
（2）如图3，在四边形中，，，则的度数为__________．
拓展探究：（3）如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，，．求证：A，，，四点共圆．
【答案】（1）圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；（2）45°；（3）见解析
【详解】解：（1）依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆．
故答案为：圆内接四边形对角互补 过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆
（2）∵，∴点A，，，四点在同一个圆上，∴，
∵，∴．答案：45°
（3）证明：∵，∴，
∵点与点关于对称，∴，，
∴，，∴，∴，∴A，，，四点共圆．
模型4.对角互补共圆模型
例1(2025九年级上·广东·专题练习）如图，中，，，在边上，延长，与的外接圆分别交于，两点．求证：D，E，Q，P四点共圆；
【答案】见解析
【详解】证明：连接，如图，∵所对的圆周角是,所对的圆周角是，
，，，，，
，，，
，，，，，四点共圆；
例2（2026·江苏·九年级假期作业）如图，中，，平分，，连接，并延长分别交，于点和点，若，，则的长为（　　）
A．10 B．12 C．15 D．16
【答案】C
【详解】解：，，、、、四点共圆，
平分，，，，，
，，，如图，延长到，使，
，为等边三角形，，，，
设每一份为，，，，，．故选：C．
例3（2026九年级下·江苏南京·开学考试）综合与实践
【问题提出】我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？
【实验探究】（）获得猜想：观察图至图，分别过菱形、矩形、等腰梯形、共斜边的两个直角三角形的三个顶点作圆，提出猜想：
过______的四边形的四个顶点能作一个圆（请填写序号）．
对边相等；一组对边平行；对角线相等；对角互补；
（）推理证明：已知：在四边形中， 求证：过点，，，可作一个圆．
证明：假设过点，，，不能作一个圆．
如图，过，，三点作，点不在圆上．
若点在外，与交于点，连接，则 ______．
，而是的外角，
______出现矛盾，故假设不成立．所以点在过，，三点的圆上．
同理可证点在内的情况．
【应用结论】如图，四边形中，对角线，交于点，，平分．
若，求的度数．若，，求线段的长．
【答案】（）④；（），；（）①；②
【详解】（）对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，故答案为：④；
（）证明：假设过点，，，不能作一个圆，
如图，过，，三点作，点不在圆上，
若点在外，设与交于点，连接，则，
， ，而是的外角，
，出现矛盾，故假设不成立，∴点在过，，三点的圆上，
同理可证点在内的情况，故答案为：，；
（）解：①∵ ，∴四点共圆，
∵平分，，∴，∴；
②由①可知，， ∵， ∴，
∴，即， ∴．
1.（浙江绍兴·九年级校联考期中）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=6．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，，
，，，，
，，，，
，，，
，即，，，
，、、、四点共圆，，，
，，．故选：．
2．（2026·江苏无锡·九年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点O，连接AO．则下列结论中：①△ABD∽△ACE；②∠COD＝135°；③AO⊥BD；④△AOC面积的最大值为8，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】①由旋转的性质可知：，
即 故①正确
②设相交于点,如图：由①，可得，
又故②正确
③，可知四点共圆，
则即故③正确
④设到的距离为， ，以为底边，当最大时候，△AOC面积的才最大，
由③可知是等腰三角，
,当点到的距离最大时即当时，最大
即当旋转角度时，过作于点，如图，
由②可知由③可知,
；由①可知
在中，，；
在中，,
在中，
故④不正确 综上所述：①②③正确，共计3个 故选C
3．（2026九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，点O为线段的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若，则的度数是（ ）
A．32° B．140° C．29° D．61°
【答案】B
【详解】如图，∵点A、C、D到点O的距离相等，∴OA=OD=OC，
∵点O为线段的中点，∴OC=OB，∴OA=OB=OC=OD，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的圆上，即⊙O为四边形ABCD的外接圆，∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC=40°，∴∠ADC=140°，故选：B．
4．（2026九年级上·山东临沂·期末）如图，中，，，，，过点C作的垂线，与的延长线交于点Q，则的最大值是（）．
A．5 B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，，∴当有最大值时，有最大值，
，∴点，点，点，点四点共圆，∴最大值为直径，
，∴是直径，∴的最大值为，∴的最大值为，故选：C．
5．（秋·湖南长沙·九年级长沙麓山国际实验学校校考阶段练习）定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．我们学过了“圆的内接四边形的对角互补”这一定理，它的逆命题“对角互补的四边形四个顶点共圆”是证明“四点共圆”的一种常用方法．除此之外，我们还经常用“同旁张角相等”来证明“四点共圆”．如图1，在线段AB同侧有两点C，D．连接，，，，如果，那么A，B，C，D“四点共圆”
(1)如图2，已知四边形中，对角线、相交于点P，点E在的延长线上，下列条件：①；②：③：④．其中，能判定A，B，C，D“四点共圆”的条件有___________：
(2)如图3，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴正半轴上，点D在y轴负半轴上，若A，B，C，D“四点共圆”，且，求四边形的面积；
(3)如图4，已知是等腰三角形，，点D是线段上的一个动点（点D不与点B重合，且，连结AD，作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于F，连接，．
①求证：A，D，B，E“四点共圆”；②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值：若变化，请说明理由．
【答案】(1)①③④(2)(3)不变，8
【详解】（1）解：∵，∴A，B，C，D“四点共圆”，故①正确；
∵，，∴，∴A，B，C，D“四点共圆”，故③正确；
∵，∴，
又，∴，∴，∴A，B，C，D“四点共圆”，故④正确；
根据②的条件无法判定A，B，C，D“四点共圆”．故能判定A，B，C，D“四点共圆”的条件有①③④．
（2）解：对于，当时，则，当时，则，解得，
∴，，∴，又，∴，
∵A，B，C，D“四点共圆”，∴，
又，∴，∴，∴，
∵A，B，C，D“四点共圆”，∴，
又，，∴，∴，
∴；
（3）①证明：∵，∴，
∵点E与点C关于的对称，∴，，
∴，，∴，
∴，∴A，D，B，E四点共圆；
②解：的值不会发生变化，
理由如下：如图4，连接，
∵点E与点C关于的对称，∴，∴，
又，∴，∵A，D，B，E四点共圆，
∴，∴，∴A，B，F，C四点共圆，∴，
∵，∴，∴，∴．
6．（2026·湖北鄂州·九年级统考期末）请仔细阅读以下材料：
定理一：一般地，如图，四边形中，如果连接两条对角线后形成的，则四点共圆．
我们由定理可以进一步得出结论：，，．
定理二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
温馨提示：下面问题的关键地方或许能够用到上述定理，如果用到，请直接运用相关结论；如果你有自己更好的做法，那就以自己的做法为主，只要正确，一样得分．
探究问题：如图，在和中，
，，，连接交于点，交于点，连接．
(1)求证；(2)请直接写出___________度，___________度；
(3)若，求证．
【答案】(1)证明过程见详解(2)，(3)证明过程见详解
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
在和中，，∴，∴．
（2）解：由（1）可知，，∴，
在，，
∴在中，，∴；
∵，根据定理一，可知四点共圆，如图所示，
∵，，∴是等腰直角三角形，即，
∵是圆周角，且与圆周角所对弧相同，∴，故答案为：，．
（3）解：如图所示，取的中点，连接，
由（2）可知，，，∴在中，点是的中点，
∴根据定理二，可知，即，∴是等腰三角形，且，
∵是外角，∴，
在中，，∴，
∴是等腰三角形，即，∴，∴．
7．（江苏连云港·一模）问题情景：如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边，．矩形顶点C从O点出发沿x轴的正半轴向右运动，矩形的另一个顶点B随之在y轴的正半轴上运动，当点B回到O点时运动也随之停止．
问题提出：如图2．（1）当时，点A的坐标为__________；（2）在运动过程中，求的最大值；
问题探究：（3）如图3，点P为线段上一点，．
①在运动过程中，的值是否会发生改变，如果不变，请求出其值，如果改变，请说明理由；
②从运动开始到运动停止，请直接写出点P所走过的路程．
【答案】（1）；（2）；（3）①不变，2；②
【详解】解：（1）如图，过A作轴与E，
∵，，，∴，，
∵，∵，
∴，∴，，
∴，∴A点坐标为：，故答案是：．
（2）如图，取中点，连接、，
在中，∵M为斜边中点，∴，，，
当O、M、A三点不共线时，根据，
当 O、M、A三点共线时，时，∴，即，
∴当 O、M、A三点共线时，取最大值，最大值为．
（3）①不变，∵，，
有，，∴，，
∴，∴，∴，
∴，∴，
∴点B、O、C、P四点共圆，都在以为直径的圆上，∴，
而为定值．
②由①可知为定值，∴点在直线上运动，
由①知，点到轴的距离从到最大为，再回到距离为直到，
，当从运动到轴时，其坐标为，
∵，这时点从运动到轴，再回到经过的路径长为，
∵、，∴，∴点经过的路径长为．
8．（重庆大渡口·二模）在中，点C在直线的上方．
(1)如图1，，点D在边上，且 ，若，求线段的长；
(2)如图2，点E为外一点， ，，猜想 之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3， ，点P是射线上一动点，且，连接，将线段绕点A顺时针旋转到得线段，连接，直接写出的最小值．
【答案】(1)(2)，理由见详解(3)
【详解】（1）解：设，则，∵，∴，
∴，解得：，∴，则（负值舍去）；
（2）解：过点C作的平行线交于点G，
∵ ，，
∴A、C、E、B四点共圆，
∴，∴，∴，
∵，∴四边形是平行四边形，，
∴，，，∴，，
又∵，∴，∴，∵，∴；
（3）解：记与交点为点K，过点B在直线上方作，且，连接，
由题意得：，∵，
∴，∴，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，，则，
∵，∴ ∴，
∵点K为中点，且∴，∵，∴，∴，
而，点K为中点，∴，
在中，，由勾股定理得，∵，∴，
∴，当O、P、K三点共线时，等号成立，∴的最小值为．
9．（2025·湖南长沙·三模）通过教科书九上活动2“探究四点共圆的条件”可得：
引理1对角互补的四边形的四个顶点共圆．
例如，如图1，四边形，若，则A、B、C、D四点共圆．类似探究可得：
引理2线段同旁张等角，四点共圆．
例如，如图1，C、D在线段同旁，若，则A、B、C、D四点共圆（注：可直接运用引理解决下述问题）．如图2，在平面直角坐标系中，已知点，⊙过原点O和x轴上另一点D，有动点，点A在第一象限，且为等边三角形，连接交⊙于F，过D作的平行线与射线交于点E，连接交于H，与交于G，连接．
(1)可求得______°，______°；(2)请判断的形状并证明；(3)记（即三线段长度和），请求出y关于x（）的函数关系式，并求出y最小时劣弧的长度；(4)在图2中作出的延长线交于点B，连接，请直接写出的最小值为______．
【答案】(1)30；60(2)为等边三角形，见解析(3)(4)
【详解】（1）解：过点作于点，∴，，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，故答案为：30；60；
（2）解：为等边三角形，理由如下：如图：∵为等边三角形，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴点四点共圆，
∴，∴，∴，
∴四点共圆，∴，∴，
∴，∴为等边三角形；
（3）解：在上取一点，使得，过点作于点，
∵，∴，∴为等边三角形，∴，，
∵为等边三角形，∴，∴，
∴，∴，∴，∴，
∵等边，，∴，，
∴由勾股定理得，由（1）得，∴，∴，
∴，
∴
∴当时，，此时点重合，如图：
∴，∴，∴，
∵，∴，∵，∴共线，
∵∴，∴；
（4）解：延长并延长交于点，连接，连接并延长交于点，连接，
∵是等边三角形，∴，
∴，∴是等边三角形，∴，
∵，∴，∴，
∵是直径，为圆心，∴，∴
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴当最大时，最小，
∴当为直径时，最大，，此时．
10．（陕西西安·模拟预测）“乐思”小组开展探究四点共圆的条件活动时，得到结论：对角互补的四边形的四个顶点共圆，该小组继续利用上述结论进行探究．
(1)问题探究：如图，四边形为矩形，平分，交于点F，．
①判断A、B、C、E四点是否共圆？填（“是”或“不是”）__________；②__________
(2)问题解决：如图，某公园内有一个五边形人工湖，已知，米，，点是上一点，且，点是直线上一点，夏季来临，为了增加游客的安全性，欲在其中央建造一个以为斜边的等腰直角型救助站，如图所示，已知湖岸米，点是上的中点，是湖岸通向救助站的唯一通道，若修筑通道的造价为每米300元，求当造价最低时，四边形的面积为多少？并求出通道的最低造价．
【答案】(1)①是；②(2)，元
【详解】（1）解：①：∵四边形为矩形，∴，
∵，∴，∴A、B、C、E四点共圆，故答案为：是；
②∵，平分，∴，
∵A、B、C、E四点共圆，∴，∴，故答案为：；
（2）解：延长交于点H，连接，过点M作于点R，过点M作于点J，连接并延长交于点K，过点H作于点Q，
∵，∴四边形为矩形，∴，，
∵，，∴，∴，
∵是等腰直角三角形，∴，∴，
∴，∴，∴平分，∴，
∵点N为中点，，∴，∴点N在以点H为圆心，为半径的上运动，
∵，∴当点M与点Q重合，点N与点T重合时，最小即为，
∵在中，，，∴，
∴，∴最低造价为：元，
当点M与点Q重合时，如图：
∵，，，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形，
∵，∴，
∵，∴，∴．
11．（2026九年级下·广东湛江·阶段练习）【阅读与探究】
我们定义：如果两个三角形有一条公共边，且这条公共边所对的同侧的角相等，那么这两个三角形有公共的外接圆（如图1），简记为：共边同侧对角等，四点共圆．
几何语言：如图1．． 、B、C、D四点共圆
【定义运用】（1）如图2，在平面直角坐标系中，四边形的边在x轴上，对角线，交于点F，且．求证：A、B、C、D四点共圆；
（2）在（1）的条件下，如图3，作四边形的外接圆，延长交x轴于点E，若，设，，求y关于x的函数关系式；
【深入探究】（3）如图4，在平面直角坐标系中，以x轴上的线段为直径作，且的半径为，点，点G是x轴上方劣弧上的一个动点，连接，点N在上，点H在上，且，，连接，，反比例函数的图象经过点G，若，当的值最小时，求k的值．
【答案】（1）见详解；（2）；（3）
【详解】（1）证明：，，
，，，A、B、C、D四点共圆；
（2）如图，过作交于，，，
，，，
，，，，
四边形是的内接四边形，，
，，，
y关于x的函数关系式；
（3）延长至，使得，连接、，
，,，，
，，，
，，如图，作轴交于，轴交于，
当、、三点共线时，的值最小，此时，即，
，，，，
，，
轴，轴，，，
，，，
，，解得：，，
，，，，
，；故k的值为．
12．（2025·湖北咸宁·模拟预测）在和中，，，点在内，，平分．
(1)如图（1），当时，连接．①求证：；②若，求的长；
(2)如图（2），当时，直接写出的值．
【答案】(1)①见解析；② (2)
【详解】（1）①∵∴ 又∵∴
∴，∴， ∴；
②∵当时，∴∴，
∵∴，是等腰直角三角形
∵∴，即∴
∵∴ ∵平分∴∴
∵∴
∵∴∴
∵∴∴；
（2）如图所示，连接，
∵∴，
∵∴，
同（1）可得，∴
∴设，则同（1）可得，
∴∴∴．
13．（广西柳州·二模）综合与实践
小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小明继续利用上述结论进行探究．
【提出问题】如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，， 则 又∵，∴__________， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， ∴点，在点，，所确定的上 ∴点，，，四点在同一个圆上．
【反思归纳】（1）上述探究过程中的横线上填的内容是__________；
【拓展延伸】（2）如图3，在中，，，将绕点逆时针旋转得，连接交于点，连接、．小明发现，在旋转过程中，永远等于，不会发生改变．
①根据，利用四点共圆的思想，试证明；
②在（1）的条件下，当为直角三角形，且时，直接写出的长．
【答案】（1）；（2）①证明见解析；②或
【详解】解：（1）如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，，则，又∵，∴，
∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆），
∴点，在点，，所确定的上，∴点，，，四点在同一个圆上，
故答案为：；
（2）①证明：∵在中，，∴，
图3 图4
∵，∴，∴，，，四点共圆，∴，
∵，∴，∴，
∵旋转得，∴，∴，∵，∴；
②如图，当时，∵，，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴，又∵，，，
∴，∴；
如图中，当时，过作交于，
∵，，∴，∵，，
∴，∴，∵，∴，
∵，，∴，
∵，∴，∴，∴．
14．（2026·湖北武汉·九年级校考阶段练习）问题提出 如图1，点E为等腰内一点，，，将绕着点A逆时针旋转得到，求证：．
尝试应用 如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N，M，求证：．
问题拓展 如图3，中，，点D，E分别在边，上，，，交于点H．若，，直接写出的长度（用含a，b的式子）．
【答案】见解析
【详解】解：问题提出：证明：∵，，将绕着点A逆时针旋转得到，
∴，，
∴，即：，
在与中，，∴．
尝试应用：延长，使，连接，
∵为等腰直角三角形，∴，，
又∵，即：，∴、、、四点共圆，
∴，∴，
在与中，，∴．∴，，
∴，即：，
∴
∵∴，∴
即：．
问题拓展：将绕点逆时针旋转至，则为等边三角形，
∴，，
∵，∴、、、、五点共圆，
则：，，，
，，
又∵，∴，∴，
∵，，，∴∴，
∵，，，∴∴，
∴，则，作交于，则，
∵，∴，
∴，则：．
15．（江苏盐城·二模）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．设AB＝1．
（1）求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；（2）分别求△ABC和△ABD的面积；
（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求OE︰OF的比值．
【答案】（1）见解析；（2）△ABC的面积为，△ABD的面积为；（3）
【详解】（1）证明：如图，连接OD、OC，
在Rt△ABC中， ∠ACB＝90°，点O是AB的中点，∴OC＝OA＝OB，
在Rt△ABD中， ∠ADB＝90°，点O是AB的中点，∴OD＝OA＝OB，
∴OA＝OB＝OC＝OD，∴A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；
（2）解：
△ABC的面积为；△ABD的面积为
（3）解： 是等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点
∵DF∥BC
∵ ∴△DEF∽△CEB，∴又得．
16．（山东日照·统考中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：
如图1，中，（）．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接．

(1)求证：A，E，B，D四点共圆；(2)如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线；(3)已知，点M是边的中点，此时是四边形的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
【详解】（1）证明：由旋转的性质可得，
∴，∴，即，
又∵，∴，∴，
∵，∴，∴A、B、D、E四点共圆；
（2）证明：如图所示，连接，
∵，∴，
∵是四边形的外接圆，∴，
∴，∵，∴，
∵，∴，
∴，即，∴，
又∵是的半径，∴是的切线；

（3）解：如图所示，作线段的垂直平分线，分别交于G、F，连接，
∵，∴，
∵点M是边的中点，∴，，
∴，∴，在中，，∴，
∵是四边形的外接圆，∴点P一定在的垂直平分线上，
∴点P在直线上，∴当时，有最小值，
∵，∴在中，，
∴圆心P与点M距离的最小值为．
17．（浙江宁波·九年级校联考期末）综合与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：求证：点A，B，C，D四点在同一个圆上
如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，，则．
(1)请完善探究展示 (2)如图3，在四边形中，，则∠4的度数为 ．
(3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点D在上（不与的中点重合），连接．作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于F，连接．
①求证：A，D，B，E四点共圆；
②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由
【答案】(1)圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆
(2)45°(3)①见解析；②的值不会发生变化，值为8
【详解】（1）解：如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接，，则，
∵，∴，
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆），
∴点B，D在点A，C，E所确定的上，∴点A，B，C，D四点在同一个圆上；
（2）解：∵，∴点四点在同一个圆上，∴，
∵，∴，故答案为：；
（3）①证明：∵，∴，
∵点与点关于的对称，∴，，
∴，，∴，
∴，∴A，D，B，E四点共圆；
②解：的值不会发生变化，理由如下：如图4，连接，
∵点与点关于的对称，∴，∴，∴，
∵A，D，B，E四点共圆，∴，
∴，∴A，B，F，C四点共圆，∴，
∵，∴，∴，∴．
18．（2025·河南·校考一模）综合与实践：小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小明继续利用上述结论进行探究．
【提出问题】如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点不与，重合，连接，，则依据． ，，点，，，四点在同一个圆上对角互补的四边形四个顶点共圆，点，在点，，所确定的上依据．点，，，四点在同一个圆上．

【反思归纳】(1)上述探究过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？依据1：______；依据2：______．
【拓展延伸】(2)如图3，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，旋转角为，连接交于点，连接．小明发现，旋转过程中，点始终为的中点，为验证结论，小明连接，判断，，，四点共圆后得出结论．
①请你帮小明证明；②当为直角三角形，且时，请直接写出的长．
【答案】(1)圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆(2)①见解析；②
【详解】（1）解：依据1：圆内接四边形对角互补；
依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；
故答案为：圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；
（2）①证明：∵将绕点逆时针旋转，得到，

∴∴
∵旋转角相等，即∴ 又∵，∴，
设，则，
∵在中，，，∴
，∴，即，
∵∴∴四点共圆∴ 又∵，∴，
②当为直角三角形，只有一种情形，如图所示，过点作于点，
∵∴是等腰直角三角形，∵，则，即是等腰直角三角形，
∵ ∴∴
∵∴ ∵∴∴
在中，；
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题03 圆中的重要模型之四点共圆模型
四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。
1
模型来源 1
真题现模型 2
提炼模型 4
模型运用 6
模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 6
模型2.定边对双直角共圆模型 8
模型3.定边对定角共圆模型 11
模型4.对角互补共圆模型 14
17
汉代数学家张丘建在《九章算术》中首次提出四点共圆的理论雏形，宋代数学家基于《九章算术》进一步研究，明确“对角互补的四边形必共圆”的判定条件，与阿拉伯研究形成互补。托勒密在《天文学大成》中提出 托勒密定理 ：若凸四边形内接于圆，则两对角线乘积等于两组对边乘积之和，并给出严谨证明。该定理首次将四点共圆与定量关系结合，成为后世判定核心依据之一。四点共圆模型从东西方独立的定性认知起步，历经托勒密的定量跨越，最终在近现代整合为系统化工具，成为解决圆相关几何问题的通用模型。其发展体现了数学思想从经验到逻辑、从孤立到互联的演进本质。初中几何体系将四点共圆判定归纳为四大核心模型。
（2026九年级上·北京·期中）如图，中，，，将绕的中点O倾时针旋转得到交于点交于点N，给出下面三个结论：
①；②点A，C，E，B四点共圆；③连接，则．上述结论中所有正确结论的序号是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
（2026九年级上·浙江杭州·期中）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆． 该小组继续利用上述结论进行探究．
【提出问题】如图， 在线段同侧有两点，，连接，，，， 如果，那么，，，四点在同一个圆上．
【探究展示】如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与， 重合），连接，，则（依据）；∵，∴，
∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点， 都在点，，所确定的上（依据）；∴点，，，四点在同一个圆上；
【反思归纳】圆内接四边形对角互补；对角互补的四边形四个顶点共圆；
过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；同圆中，同弧所对的圆周角相等；
（）上述探究过程中的“依据”、“依据”分别是指什么？依据： ；依据： ．
（从框内选一个选项，直接填序号）
（） 如图，在四边形中，，，则的度数为 ；
【拓展探究】（）如图4， 已知 是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于， 连接，．
求证：，，，四点共圆；若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
1.定点定长共圆模型（圆的定义）
若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。
条件：如图1，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD。
结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。
证明：∵OA=OB=OC=OD
∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。
图1 图2（同侧型） 图3（ 异侧型）
2.定边对双直角共圆模型
定边对双直角模型：一定边所对的角为两个直角，分同侧型和异侧型两种情况进行讨论。
1）定边对双直角模型（同侧型）
条件：如图2，若平面上A、B、C、D四个点满足，
结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。
2）定边对双直角模型（异侧型）
条件：如图3，若平面上A、B、C、D四个点满足，
结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。
注意：由于同侧型与异侧型证明相同，故下面证明一次即可。
证明：取AD的中点为E，连结BE，CE。 ∵，BE=CE=AD=AE=ED，
∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。
3.定边对定角共圆模型
定边对定角模型：一定边同侧所对的角为两个相等（为定值）。
图1 图2 图3 图4
条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆。
条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆。
证明：∵，∴，
又∵，。∴，∴A、B、C、D四点共圆。
4.对角互补共圆模型
条件：如图3，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆．
条件：如图4，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆.
证明：∵，∴，又∵，。∴，
∵，∴，∴A、B、C、D四点共圆。
模型1.定点定长共圆模型（圆的定义）
例1（浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（ ）
A． B． C． D．4
例2（2026·安徽合肥·校考一模）如图，O是的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接．下列结论不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．平分
例3（2025·重庆·校考一模）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是；
迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式；
拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．证明是等边三角形；
模型2.定边对双直角共圆模型
例1（湖北鄂州·统考中考真题）如图，四边形中，，，于点．若，，则线段的长为 ．
例2（山东泰安·一模）如图，等边的边长为4，点是边上的一动点，连接，以为斜边向上作等腰，连接，则AE的最小值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
例3（陕西西安·模拟预测）如图，线段，以为斜边构造等腰直角和直角，、在两侧，平分交于点，则的最小值为 ．
例4（浙江嘉兴·二模）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC于点E，EA平分∠BED．（1）CD的长是 ；（2）当点F是AC中点时，四边形ABCD的周长是 ．
模型3.定边对定角共圆模型
例1（2026九年级上·浙江·专题练习）如图，在四边形中，且，垂足为，延长线交于，交的延长线于．求证：A，，，四点共圆．
例2（广东深圳·三模）如图，中，，，，以点C为顶点在外部作，连接，若，则长为（ ）
A． B． C． D．
例3（2026九年级上·湖北·课后作业）“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．

提出问题：如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么A，，，四点在同一个圆上．
探究展示：如图2，作经过点A，，的，在劣弧上取一点（不与A，重合），连接，，则（依据1），∵，∴，
∴点A，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆），
∴点，在点A，，所确定的上（依据2），∴点A，，，四点在同一个圆上．
反思归纳：（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：__________________________________________________；
依据2：__________________________________________________．
（2）如图3，在四边形中，，，则的度数为__________．
拓展探究：（3）如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，，．求证：A，，，四点共圆．
模型4.对角互补共圆模型
例1(2025九年级上·广东·专题练习）如图，中，，，在边上，延长，与的外接圆分别交于，两点．求证：D，E，Q，P四点共圆；
例2（2026·江苏·九年级假期作业）如图，中，，平分，，连接，并延长分别交，于点和点，若，，则的长为（　　）
A．10 B．12 C．15 D．16
例3（2026九年级下·江苏南京·开学考试）综合与实践
【问题提出】我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？
【实验探究】（）获得猜想：观察图至图，分别过菱形、矩形、等腰梯形、共斜边的两个直角三角形的三个顶点作圆，提出猜想：
过______的四边形的四个顶点能作一个圆（请填写序号）．
对边相等；一组对边平行；对角线相等；对角互补；
（）推理证明：已知：在四边形中， 求证：过点，，，可作一个圆．
证明：假设过点，，，不能作一个圆．
如图，过，，三点作，点不在圆上．
若点在外，与交于点，连接，则 ______．
，而是的外角，
______出现矛盾，故假设不成立．所以点在过，，三点的圆上．
同理可证点在内的情况．
【应用结论】如图，四边形中，对角线，交于点，，平分．
若，求的度数．若，，求线段的长．
1.（浙江绍兴·九年级校联考期中）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=6．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2026·江苏无锡·九年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点O，连接AO．则下列结论中：①△ABD∽△ACE；②∠COD＝135°；③AO⊥BD；④△AOC面积的最大值为8，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2026九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，点O为线段的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若，则的度数是（ ）
A．32° B．140° C．29° D．61°
4．（2026九年级上·山东临沂·期末）如图，中，，，，，过点C作的垂线，与的延长线交于点Q，则的最大值是（）．
A．5 B． C． D．
5．（秋·湖南长沙·九年级长沙麓山国际实验学校校考阶段练习）定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．我们学过了“圆的内接四边形的对角互补”这一定理，它的逆命题“对角互补的四边形四个顶点共圆”是证明“四点共圆”的一种常用方法．除此之外，我们还经常用“同旁张角相等”来证明“四点共圆”．如图1，在线段AB同侧有两点C，D．连接，，，，如果，那么A，B，C，D“四点共圆”
(1)如图2，已知四边形中，对角线、相交于点P，点E在的延长线上，下列条件：①；②：③：④．其中，能判定A，B，C，D“四点共圆”的条件有___________：
(2)如图3，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴正半轴上，点D在y轴负半轴上，若A，B，C，D“四点共圆”，且，求四边形的面积；
(3)如图4，已知是等腰三角形，，点D是线段上的一个动点（点D不与点B重合，且，连结AD，作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于F，连接，．
①求证：A，D，B，E“四点共圆”；②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值：若变化，请说明理由．
6．（2026·湖北鄂州·九年级统考期末）请仔细阅读以下材料：
定理一：一般地，如图，四边形中，如果连接两条对角线后形成的，则四点共圆．我们由定理可以进一步得出结论：，，．
定理二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
温馨提示：下面问题的关键地方或许能够用到上述定理，如果用到，请直接运用相关结论；如果你有自己更好的做法，那就以自己的做法为主，只要正确，一样得分．
探究问题：如图，在和中，
，，，连接交于点，交于点，连接．
(1)求证；(2)请直接写出___________度，___________度；
(3)若，求证．
7．（江苏连云港·一模）问题情景：如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边，．矩形顶点C从O点出发沿x轴的正半轴向右运动，矩形的另一个顶点B随之在y轴的正半轴上运动，当点B回到O点时运动也随之停止．
问题提出：如图2．（1）当时，点A的坐标为__________；（2）在运动过程中，求的最大值；
问题探究：（3）如图3，点P为线段上一点，．
①在运动过程中，的值是否会发生改变，如果不变，请求出其值，如果改变，请说明理由；
②从运动开始到运动停止，请直接写出点P所走过的路程．
8．（重庆大渡口·二模）在中，点C在直线的上方．
(1)如图1，，点D在边上，且 ，若，求线段的长；
(2)如图2，点E为外一点， ，，猜想 之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3， ，点P是射线上一动点，且，连接，将线段绕点A顺时针旋转到得线段，连接，直接写出的最小值．
9．（2025·湖南长沙·三模）通过教科书九上活动2“探究四点共圆的条件”可得：
引理1对角互补的四边形的四个顶点共圆．
例如，如图1，四边形，若，则A、B、C、D四点共圆．类似探究可得：
引理2线段同旁张等角，四点共圆．
例如，如图1，C、D在线段同旁，若，则A、B、C、D四点共圆（注：可直接运用引理解决下述问题）．如图2，在平面直角坐标系中，已知点，⊙过原点O和x轴上另一点D，有动点，点A在第一象限，且为等边三角形，连接交⊙于F，过D作的平行线与射线交于点E，连接交于H，与交于G，连接．
(1)可求得______°，______°；(2)请判断的形状并证明；(3)记（即三线段长度和），请求出y关于x（）的函数关系式，并求出y最小时劣弧的长度；(4)在图2中作出的延长线交于点B，连接，请直接写出的最小值为______．
10．（陕西西安·模拟预测）“乐思”小组开展探究四点共圆的条件活动时，得到结论：对角互补的四边形的四个顶点共圆，该小组继续利用上述结论进行探究．
(1)问题探究：如图，四边形为矩形，平分，交于点F，．
①判断A、B、C、E四点是否共圆？填（“是”或“不是”）__________；②__________
(2)问题解决：如图，某公园内有一个五边形人工湖，已知，米，，点是上一点，且，点是直线上一点，夏季来临，为了增加游客的安全性，欲在其中央建造一个以为斜边的等腰直角型救助站，如图所示，已知湖岸米，点是上的中点，是湖岸通向救助站的唯一通道，若修筑通道的造价为每米300元，求当造价最低时，四边形的面积为多少？并求出通道的最低造价．
11．（2026九年级下·广东湛江·阶段练习）【阅读与探究】
我们定义：如果两个三角形有一条公共边，且这条公共边所对的同侧的角相等，那么这两个三角形有公共的外接圆（如图1），简记为：共边同侧对角等，四点共圆．
几何语言：如图1．． 、B、C、D四点共圆
【定义运用】（1）如图2，在平面直角坐标系中，四边形的边在x轴上，对角线，交于点F，且．求证：A、B、C、D四点共圆；
（2）在（1）的条件下，如图3，作四边形的外接圆，延长交x轴于点E，若，设，，求y关于x的函数关系式；
【深入探究】（3）如图4，在平面直角坐标系中，以x轴上的线段为直径作，且的半径为，点，点G是x轴上方劣弧上的一个动点，连接，点N在上，点H在上，且，，连接，，反比例函数的图象经过点G，若，当的值最小时，求k的值．
12．（2025·湖北咸宁·模拟预测）在和中，，，点在内，，平分．
(1)如图（1），当时，连接．①求证：；②若，求的长；
(2)如图（2），当时，直接写出的值．
13．（广西柳州·二模）综合与实践
小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小明继续利用上述结论进行探究．
【提出问题】如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，， 则 又∵，∴__________， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， ∴点，在点，，所确定的上 ∴点，，，四点在同一个圆上．
【反思归纳】（1）上述探究过程中的横线上填的内容是__________；
【拓展延伸】（2）如图3，在中，，，将绕点逆时针旋转得，连接交于点，连接、．小明发现，在旋转过程中，永远等于，不会发生改变．
①根据，利用四点共圆的思想，试证明；
②在（1）的条件下，当为直角三角形，且时，直接写出的长．
14．（2026·湖北武汉·九年级校考阶段练习）问题提出 如图1，点E为等腰内一点，，，将绕着点A逆时针旋转得到，求证：．
尝试应用 如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N，M，求证：．
问题拓展 如图3，中，，点D，E分别在边，上，，，交于点H．若，，直接写出的长度（用含a，b的式子）．
15．（江苏盐城·二模）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．设AB＝1．
（1）求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；（2）分别求△ABC和△ABD的面积；
（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求OE︰OF的比值．
16．（山东日照·统考中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：
如图1，中，（）．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接．

(1)求证：A，E，B，D四点共圆；(2)如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线；(3)已知，点M是边的中点，此时是四边形的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．
17．（浙江宁波·九年级校联考期末）综合与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：求证：点A，B，C，D四点在同一个圆上
如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，，则．
(1)请完善探究展示 (2)如图3，在四边形中，，则∠4的度数为 ．
(3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点D在上（不与的中点重合），连接．作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于F，连接．
①求证：A，D，B，E四点共圆；
②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由
18．（2025·河南·校考一模）综合与实践：小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小明继续利用上述结论进行探究．
【提出问题】如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点不与，重合，连接，，则依据． ，，点，，，四点在同一个圆上对角互补的四边形四个顶点共圆，点，在点，，所确定的上依据．点，，，四点在同一个圆上．

【反思归纳】(1)上述探究过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？依据1：______；依据2：______．
【拓展延伸】(2)如图3，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，旋转角为，连接交于点，连接．小明发现，旋转过程中，点始终为的中点，为验证结论，小明连接，判断，，，四点共圆后得出结论．
①请你帮小明证明；②当为直角三角形，且时，请直接写出的长．
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