资源简介

专题04 圆中的重要模型之圆中的翻折模型
圆中的翻折模型是将一个圆形的纸片沿着一条直线翻折，使得纸片的边缘与直线重合，从而形成新的圆形或圆环。翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分。这种模型可以用于创建各种不同的图形和图案，是一种非常有趣的几何模型。
1
模型来源 1
真题现模型 2
提炼模型 2
模型运用 4
模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 4
11
阿拉伯学者系统证明圆弧翻折后， 折痕必垂直平分对应弦 （即垂径定理），确立了“翻折→对称→垂直关系”的逻辑链。 中国宋代数学学者基于弦长与圆心角关系，明确“等弧翻折得等弦”的性质，强化对称构图思想。法国数学家布里昂雄发现翻折的 对偶性质 ：圆内折痕两侧的弧、角、弦存在对称等价关系，奠定现代模型核心原理。近代形成 “弧翻折必出等腰”的定性定理 ：圆内以弦为对称轴翻折圆弧，所得两弦相等（即生成等腰三角形），成为模型的核心判定条件。
圆中的翻折模型作为几何学中处理圆内对称问题的核心工具，其历史演进脉络融合了东西方数学思想。
（2025·江苏无锡·一模）如图，为的直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，点与圆心不重合，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，连接，∵是直径，∴，
∵，∴，
根据翻折可得，，，∴，
∴．故选：C．
（2026九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知是的直径，点C为圆上一点．将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E，作，若点E恰好是翻折后的的中点，则的值为 ．
【答案】/
【详解】解：∵、、所在的圆是等圆，、、所对的圆周角都是，∴，
∵点E恰好是翻折后的的中点，∴，∴，
又∵，∴，∴，
如图所示，连接，在上截取，连接，∴，
∵的度数为，∴∴，
∵，∴都是等腰直角三角形，∴，
设，则，∴，
∴，故答案为：．
模型1）条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，结论：CD=CA
1）证明：如图，设折叠后的所在的圆心是G，连接AC，CD.
由题意得（折叠）：，即：，∴∠CAB=∠DCB+∠CBD，
∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∴∠CAB=∠CDA，∴CD=CA。
模型2）条件：特别地，弧BC折叠后过圆心，结论：CD=CA，∠CAB=60°
2）证明：如图，连接AC，CD，CO；由1）中证明知：CO=CA，
∵OA=OC，∴CO=CA=OA，∴△OAC为等边三角形，∴∠CAB=60°。
1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分；
2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧、弦相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；
3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称；
4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。
例1（2025·陕西西安·一模）如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：过点O作，如图所示，由折叠性质可知，∴，
在中，∵，∴，∵，∴，
∵，经过圆心，∴，故选：A．
例2(2025九年级上·重庆专题练习）如图，将沿弦翻折过圆心，交弦于点，，则长为 ．
【答案】
【详解】解：如下图，过点作于点，过点作于点，连接，
∵，∴，∴，
∴，∴为等边三角形，
∵，∴，∴．
例3（2026九年级上·浙江·期中）如图，在中，为直径，为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点（不与点重合），连结．若，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】作点关于直线的对称轴点，连接，，如图，
为直径，，，，
四边形是圆内接四边形，，
，，故选：A．
例4（2026九年级上·浙江丽水·期末）如图，C是以为直径的半圆O上的一点，且，将沿弦折叠交于点D，E是的中点，连接恰好经过圆心O，若，则的长为 ．
【答案】/
【详解】解：连接，，作于点，由折叠的性质得，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，，∵E是的中点，∴，
∵为半圆O的直径，∴，∴，
∵恰好经过圆心O，∴，是等腰直角三角形，
∴，∴，∴，故答案为：．
例5（江苏徐州·一模）如图，是的直径，点在圆上．将沿翻折与交于点．若的度数为，则 （弧长）．
【答案】
【详解】解：如图，作D关于的对称点E，连接，
则，∵ 的度数为，∴，∴，
∴，∴，
∴的长度为，∴ 的长度为．故答案为：．
例6（2026九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的内接三角形，把沿着折叠交弦于点，且点为的中点，若，则下列结论错误的是（ ）
A． B．点为的中点 C． D．
【答案】B
【详解】解：如图所示，连接，过点作垂足为，过点作，垂足为，则四边形是矩形，
∵是的中点，，∴，故A选项正确，
∵，∴，故C选项正确，∴，
∵，∴，又∵，，∴是等腰直角三角形，
∴，，∴矩形是正方形，∴，
又∵，∴，∴∴，∴是等腰直角三角形，
∴，∴，故D选项正确，
则无法证明点为的中点，故B选项错误，故选：B．
例7（2025·吉林·一模）【驱动背景】在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为．
【前情感知】（1）如图1，连接，，的度数为 ；
【问题探究】（2）如图2，若点D是优弧上的任意一点，连接交折叠后的弧于点C，连接，．
①的度数为 ；猜想与的数量关系 ；
②如图3，若弧（翻折后）不经过圆心O．与的数量关系是否仍然成立？请说明你的理由．
【拓展生长】（3）如图4，若为直径，将第一次折叠后的弧（弧部分）沿向下翻折交弦于点E，连接．若，，请直接写出线段的长．
【答案】（1）；（2）①；； ②成立；理由见解析；（3）
【详解】解：（1）如图，连接，交于点N，则则，
∴，故答案为：；
（2）①如图2，，设翻折前点C对应的点为T，连接、，
∵折叠，∴，∵， 即，
∵四边形是的内接四边形，∴，∴，
即；故答案为：，；
②成立，理由如下：设折叠前点C的对应点为点，连接，．由折叠可知，，
∵四边形是的圆内接四边形，，∴，
∵，∴，∴；
（3）补出第一次折叠后上面的弧所在圆，补出第二次折叠后从A到E到C的N所在圆，
由题意得：上述两个圆和圆O是等圆，圆O的之间，
故设圆直径均为10，半径均为5，过B作于H，
由（2）知，∴，∴，，
则，，则，，
∵，∴，
∴，即，∴，
则（负值已舍去），∴，则（负值已舍去），
作圆的直径，则，在圆中，，则，
∵，则，则．
例8（2026九年级上·湖北·阶段练习）有一张半径为2的圆形纸片．
(1)如图（1），先将纸片沿直径左右翻折，再上下翻折，刚好完全重合，然后平铺展开，则的大小是______；在上任取一点C（异于A，B），则的大小是______；(2)如图（2），将纸片沿一条弦翻折，使其劣弧恰好经过圆心O，作出直径，则图中阴影部分的面积是______；
(3)如图（3），是的直径，将劣弧沿弦翻折，交于点D，再将劣弧沿直径翻折，交于点E，若点E恰好是翻折后的劣弧的中点，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)；或；(2)；(3)．
【详解】（1）解：根据折叠了2次，则，
如图（1）所示，当点C在优弧上时，，
当点C在上时，，故答案为：；或．

（2）解：如图（2）所示，作交于点E，交于点D，连接，，，
由折叠可知，，，
，，，
，和是等边三角形，，
∴弓形的面积等于弓形的面积，∴扇形的面积等于扇形的面积，
∴阴影部分的面积即为的面积；，则，，
，∴阴影部分面积，故答案为：；
（3）解：如图（3），连接，过点C作于H，
， ，，，
∵E是的中点，，，，
设，则，，
是直径，，，，，
，，，则是等腰直角三角形，
，，， ，
，∴弓形，的面积相等，
∴阴影部分面积为．
1．（2026九年级上·浙江温州·期中）已知点A，B，C在上，将圆沿着弦折叠交直径于点D若，则的长（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图所示：作线段关于的对称线段，交圆于点
为圆的直径，，，
由对称轴的性质可知：，，，，
由割线定理可知：，即，解得：，，故选：C．
2．（2026九年级下·浙江温州·开学考试）方方同学将图①中圆形纸片沿直径向上对折得到图②，再沿弦向下翻折得到图③，最后沿弦向上翻折得到图④．若点恰为弧的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：设圆的半径为，连接，，，，，，，，如图所示：
由题中折叠性质可知，
，，
，，，
在等腰中，，则由勾股定理可得，，
如图④所示：，．故选：．
3．（安徽·校联考模拟预测）如图，是的直径，且，点是上一点，连接，过点作于点，将沿直线翻折．若翻折后的圆弧恰好经过点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，连接OC，BC．可得OB=OC=4，
∵∠CAO=∠CAB，∴，∴OC=BC=OB，∴∠COB=60°，∴∠AOC=180°-60°=120°，
∵，∴∠COD=60°，∴，
∴，故选：A．
4．（湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，是弦，沿对折劣弧，交于点D，E、F分别是和的中点，令为所在圆的圆心，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：连接，交于点，如图所示：
∵点E、F分别是和的中点，∴∴，
∴四边形是平行四边形，∴，
∵，，∴，，∴，∴，
∵折叠，∴，∴，在中，，
∴，∴；故选：A．
5．（2025·广东广州·一模）如图，为的直径，点为圆上一点，，将劣弧沿弦所在的直线翻折，交于点，则的度数等于( )．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，连接，
是直径，，，．
根据翻折的性质，所对的圆周角为，优弧所对的圆周角为，
，，
，故选:B．
6．（2026·浙江温州·九年级校考期中）已知点，，在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．若，，则的长为（ ）
A． B．9 C． D．
【答案】C
【详解】取点D在上的对应点E，连接、、、，过C点作于F点，如图，
∵四边形内接于，∴，
∵点D在上的对应点为点E，∴根据折叠的性质有：，
∵，∴，
∵，∴，∴是等腰三角形，
∵，，∴，
∵，∴，∵，∴是直角三角形，
∵，∴在中，，
∵在中，，∴，
∴，（负值舍去），故选：C．
7．（2026九年级上·湖北武汉·阶段练习）若直角三角形中两直角边之比是，则称直角三角形为完美三角形．如图，C是上半圆上一点，将沿着BC折叠，与直径AB交于圆心O右侧一点D，若是完美三角形，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，作交于，连接，
∵弧是由部分沿折叠得到的，且，∴，
又∵，∴，∵是完美三角形，
∴，，
设，则，∴，∴，
∴，∴，故选：．
8．（湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，AB为⊙O的直径，点C为的中点，D、E为圆上动点，且D、E关于AB对称，将沿AD翻折交AE于点F，使点C恰好落在直径AB上点处，若⊙O的周长为10，则的长为（　　）
A．1 B．1.25 C．1.5 D．2
【答案】B
【详解】解：连接 为圆的直径，点C为的中点，
将沿AD翻折交AE于点F，使点C恰好落在直径AB上点处，是的垂直平分线，
D、E关于AB对称，垂直平分
设的圆心为,则与关于对称，
连接 则在上，
而
的周长为10，的半径为： 的长为： 故选B
9．（2025·广西·校考一模）如图，AB是的直径，点C是上一点，将劣弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，连接CD，若，则下列式子正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：连，

∵是的直径，∴，由折叠，和所在的圆为等圆，
又∵，∴和所对的圆周角相等，
∴，∴，在中，，故选：B．
10．（广东佛山·一模）如图，是的直径，C，D是上的两个点，将沿弦折叠，圆弧恰好与弦，分别相切于点E，A．若，则的面积为 ．

【答案】
【详解】解：设所在的圆的圆心为Q，连接、、，

∵恰好与弦，分别相切于点E，A， ∴，，
∵是的直径， ∴， ∴四边形是矩形，
∵， ∴四边形是正方形，∴，
∴，∴的面积为， 故答案为：．
11．（2026九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，是的直径，点是上一点，将劣弧沿弦折叠交直径于点，连接，若，，则 ．
【答案】
【详解】解：如图所示：
连接，，过C点作于E点，
∵是的直径， 由折叠知，和所在的圆为等圆，
又∵，，，
，∴，
又，，，设，则，
，，，，
，又，
，解得，，．故答案为：．
12．（广东珠海·校考一模）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝8，将弧AB沿弦AB翻折后恰好经过弦AC的中点D，则弦BC的长为 ，⊙O的半径为 ．
【答案】
【详解】设点D关于AB的对称点为点E，连接AE，BE，BD，
则△ABD≌△ABE，BD=BE，∠BAD=∠BAE，∴BC=BE， ∴BC=BD，∴∠C=∠BDC，
∵AB=AC，∴∠C=∠ABC，∴∠ABC=∠BDC，∴△ABC∽△BDC，∴，
∵D是AC的中点，AC=8，∴,∴，∴
连接BO，过点A作AF⊥BC，则，
∴AF过圆心O，，
设圆的半径为R，则OB=R，OF=AF-AO=-R，
∵,∴，∴
13．（2025·河南新乡·一模）如图，是的直径，，°，将沿翻折，与直径交于点，则图中阴影部分面积为

【答案】
【详解】解：如图，连接，,过点作于点，则，
∵是的直径，∴，在中，，，
∴，，，
∵，，∴是的中位线，∴，
=，故答案为：．

14．（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，是的直径，是的弦，，将沿着折叠后恰好经过点，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点，
，由折叠得：，
，，在中，，
，解得：或（舍去），，故答案为：．
15．（2025·山东·校考一模）【问题背景】如图1，在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得劣弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为．
(1)【探究发现】如图1，连接，并延长交于D，连接．直接写出的度数为__________，与的数量关系为__________；
(2)【深入探究】如图2，将劣弧沿弦所在的直线折叠，弧不经过圆心O，在劣弧上取一点C（不与A、B重合），连接延长交于点D，连接．猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展应用】如图3，在（2）条件下，若平分，，求的长．

【答案】(1)；(2)，理由见解析(3)
【详解】（1）解：如图，连接，

∵将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得劣弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为．
∴，∴与都是等边三角形，
∴，∴,
由折叠的性质可知，，∴，
∵是的内接四边形，∴，∴，
∴，∴；故答案为：；
（2），理由如下：设折叠前点C的对应点，连接、，如图，
由折叠可知，，∵四边形是的圆内接四边形，∴，
∵，∴，∴；
（3）在（2）的条件下，，则，
延长交于点E，连接，过点B作于点F，如图，
则，在中，由勾股定理得，，
∵，∴，∴，
∵平分，∴，∴，∴，
∴，设，则,∴，
在中，由勾股定理得，，即，
解得（不合题意，舍去），∴，即的长为
16．（2025·安徽·校考一模）如图，已知，是的直径，点C为圆上一点．
(1)如图①，将沿弦翻折，交于D，若点D与圆心O重合，，则的半径为　 　；
(2)如图②，将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E．
（Ⅰ）若点E恰好是翻折后的的中点，则的度数为 　 　；
（Ⅱ）如图③，连接，若，，求线段的长．
【答案】(1)2(2)（Ⅰ）；（Ⅱ）
【详解】（1）解：如图①，过点O作，垂足为M，交圆于点N，则，
∵将沿弦翻折，交于D，点D与圆心O重合，∴，
在中，，∴，
∴，∴的半径为2，故答案为：2；
（2）（Ⅰ）如图②，连接、、，∵点E恰好是翻折后的的中点，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵是直径，∴，∴，∴，∴，故答案为：；
（Ⅱ）如图③，连接连接、、，
∵，，∴，，
由（Ⅰ）知，，则，
又∵，则，∴，，∴，
∴，即，∴，∴．
17．（2026九年级上·陕西安康·期末）在中，AB为直径，C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．(1)如图1，若点D与圆心O重合，的半径r为2，则AC的长为______；
(2)如图2，若点D与圆心O不重合，连接BC，求证：；
(3)如图3，琳琳家小区有一半径13米的圆形绿化区整个绿化区被ADC和弦AC分成3块区域（两块弓形区域和一块弯月形区域）分别种植有不同颜色的花卉，其中弓形ADC与弓形AEC关于分界线AC对称，为方便居民穿越绿化区，设计师决定从直径AB处铺设一条直直的步行走道（走道宽度忽略不计，D为交点）．为配合不同区域内花卉的颜色，AD段走道和DB段走道需分别用青色和黄色砖块铺设，若铺设一米青色地砖成本39元，铺设一米黄色地砖成本26元，由原设计图纸得知AC长度为24米，请求出铺设完AB走道所需地砖费用．
【答案】(1)(2)见解析(3)铺设完AB走道所需地砖费用是914元
【详解】（1）解：如图1，
作点D关于AC的对称点E，连接DE交AC于F，∴，，
∵，∴，故答案是：；
（2）证明：∵，∴，∴；
（3）解：如图2， 作点O关于AC的对称点，连接，交AC于I，则与AC互相垂直平分，以为圆心，半径13作圆，作于F，连接，在中，，，
∴，∴，∵，，
∴，∴，∴，∴，
在中，，，∴，∴，
∴铺设完AB走道所需地砖费用为：39AD＋26BD＝39AD＋26（AB－AD）＝，∴铺设完AB走道所需地砖费用是914元．
18．（河北沧州·一模）如图，珍珍利用一张直径为8cm的半圆形纸片探究圆的知识，将半圆形纸片沿弦折叠．
(1)如图1，为的切线，当时，求证：．
(2)如图2，当时，通过计算比较与弧哪个长度更长．（π取）
(3)如图3，M为的中点，为点M关于弦的对称点，当时，直接写出点与点M之间的距离约为_____cm．（结果保留两位小数，参考数据：27）
【答案】(1)见解析(2)(3)
【详解】（1）证明：连接，∵为的切线，∴，
∵，∴，∴，∴；
（2）连接，∵为直径，∴，
∵，∴，∴，
连接，则：，∴，∴；
（3）连接，交于点，
∵为的中点，∴，∵为点M关于弦的对称点，∴，∴三点共线，
在中，，∴，
∵，∴，∵对称，∴；故答案为：．
19．（九年级上·河北承德·期末）如图，的直径，是弦，沿折叠劣弧，记折叠后的劣弧为．(1)如图1，当与相切于时．
①为画出所在圆的圆心，请选择你认为正确的答案 ．
甲：在上找一点，连、并分别作它们的中垂线，交点为；
乙：分别以、为圆心，以为半径作弧，除外两弧另一个交点即为圆心．
A．甲正确 B．乙正确 C．甲乙都正确 D．都不正确
②选择合适的方法做出圆心，求的长；直接写出此时的度数．
(2)如图2，当经过圆心时，求的长；
(3)如图3，当覆盖圆心且与直径交于点，若，直接写出的度数．
【答案】(1)①C②，(2)(3)
【详解】（1）①甲：在上找一点，连、并分别做它们的中垂线，即做的外心，故甲正确；
乙：由切线长定理可知，为切线，且，故也为的切线，易知为正方形（证明见②），故乙正确；故选：C；
②如图，连接、，∵，∴四边形为菱形，
而，∴四边形为正方形，∴，；
（2）作于，交劣弧于，如图，
∵沿折叠劣弧，记折叠后的劣弧为，即∴，
∵，∴，在中，，，
∴，∴；
（3）连接，作关于的对称轴点在上，并连接、，如图，
∵是的直径，∴，又∵，∴，
由圆内接四边形的性质得到，可得：，
∴
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题04 圆中的重要模型之圆中的翻折模型
圆中的翻折模型是将一个圆形的纸片沿着一条直线翻折，使得纸片的边缘与直线重合，从而形成新的圆形或圆环。翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分。这种模型可以用于创建各种不同的图形和图案，是一种非常有趣的几何模型。
1
模型来源 1
真题现模型 2
提炼模型 2
模型运用 4
模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 4
11
阿拉伯学者系统证明圆弧翻折后， 折痕必垂直平分对应弦 （即垂径定理），确立了“翻折→对称→垂直关系”的逻辑链。 中国宋代数学学者基于弦长与圆心角关系，明确“等弧翻折得等弦”的性质，强化对称构图思想。法国数学家布里昂雄发现翻折的 对偶性质 ：圆内折痕两侧的弧、角、弦存在对称等价关系，奠定现代模型核心原理。近代形成 “弧翻折必出等腰”的定性定理 ：圆内以弦为对称轴翻折圆弧，所得两弦相等（即生成等腰三角形），成为模型的核心判定条件。
圆中的翻折模型作为几何学中处理圆内对称问题的核心工具，其历史演进脉络融合了东西方数学思想。
（2025·江苏无锡·一模）如图，为的直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，点与圆心不重合，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
（2026九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知是的直径，点C为圆上一点．将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E，作，若点E恰好是翻折后的的中点，则的值为 ．
模型1）条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，结论：CD=CA
1）证明：如图，设折叠后的所在的圆心是G，连接AC，CD.
由题意得（折叠）：，即：，∴∠CAB=∠DCB+∠CBD，
∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∴∠CAB=∠CDA，∴CD=CA。
模型2）条件：特别地，弧BC折叠后过圆心，结论：CD=CA，∠CAB=60°
2）证明：如图，连接AC，CD，CO；由1）中证明知：CO=CA，
∵OA=OC，∴CO=CA=OA，∴△OAC为等边三角形，∴∠CAB=60°。
1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分；
2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧、弦相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；
3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称；
4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。
例1（2025·陕西西安·一模）如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则的长是（ ）
A． B． C． D．
例2(2025九年级上·重庆专题练习）如图，将沿弦翻折过圆心，交弦于点，，则长为 ．
例3（2026九年级上·浙江·期中）如图，在中，为直径，为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点（不与点重合），连结．若，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
例4（2026九年级上·浙江丽水·期末）如图，C是以为直径的半圆O上的一点，且，将沿弦折叠交于点D，E是的中点，连接恰好经过圆心O，若，则的长为 ．
例5（江苏徐州·一模）如图，是的直径，点在圆上．将沿翻折与交于点．若的度数为，则 （弧长）．
例6（2026九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的内接三角形，把沿着折叠交弦于点，且点为的中点，若，则下列结论错误的是（ ）
A． B．点为的中点 C． D．
例7（2025·吉林·一模）【驱动背景】在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为．
【前情感知】（1）如图1，连接，，的度数为 ；
【问题探究】（2）如图2，若点D是优弧上的任意一点，连接交折叠后的弧于点C，连接，．
①的度数为 ；猜想与的数量关系 ；
②如图3，若弧（翻折后）不经过圆心O．与的数量关系是否仍然成立？请说明你的理由．
【拓展生长】（3）如图4，若为直径，将第一次折叠后的弧（弧部分）沿向下翻折交弦于点E，连接．若，，请直接写出线段的长．
例8（2026九年级上·湖北·阶段练习）有一张半径为2的圆形纸片．
(1)如图（1），先将纸片沿直径左右翻折，再上下翻折，刚好完全重合，然后平铺展开，则的大小是______；在上任取一点C（异于A，B），则的大小是______；(2)如图（2），将纸片沿一条弦翻折，使其劣弧恰好经过圆心O，作出直径，则图中阴影部分的面积是______；
(3)如图（3），是的直径，将劣弧沿弦翻折，交于点D，再将劣弧沿直径翻折，交于点E，若点E恰好是翻折后的劣弧的中点，求图中阴影部分的面积．
1．（2026九年级上·浙江温州·期中）已知点A，B，C在上，将圆沿着弦折叠交直径于点D若，则的长（ ）
A． B． C． D．
2．（2026九年级下·浙江温州·开学考试）方方同学将图①中圆形纸片沿直径向上对折得到图②，再沿弦向下翻折得到图③，最后沿弦向上翻折得到图④．若点恰为弧的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（安徽·校联考模拟预测）如图，是的直径，且，点是上一点，连接，过点作于点，将沿直线翻折．若翻折后的圆弧恰好经过点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，是弦，沿对折劣弧，交于点D，E、F分别是和的中点，令为所在圆的圆心，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·广东广州·一模）如图，为的直径，点为圆上一点，，将劣弧沿弦所在的直线翻折，交于点，则的度数等于( )．
A． B． C． D．
6．（2026·浙江温州·九年级校考期中）已知点，，在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．若，，则的长为（ ）
A． B．9 C． D．
7．（2026九年级上·湖北武汉·阶段练习）若直角三角形中两直角边之比是，则称直角三角形为完美三角形．如图，C是上半圆上一点，将沿着BC折叠，与直径AB交于圆心O右侧一点D，若是完美三角形，则为（ ）
A． B． C． D．
8．（湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，AB为⊙O的直径，点C为的中点，D、E为圆上动点，且D、E关于AB对称，将沿AD翻折交AE于点F，使点C恰好落在直径AB上点处，若⊙O的周长为10，则的长为（　　）
A．1 B．1.25 C．1.5 D．2
9．（2025·广西·校考一模）如图，AB是的直径，点C是上一点，将劣弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，连接CD，若，则下列式子正确的是（ ）

A． B． C． D．
10．（广东佛山·一模）如图，是的直径，C，D是上的两个点，将沿弦折叠，圆弧恰好与弦，分别相切于点E，A．若，则的面积为 ．

11．（2026九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，是的直径，点是上一点，将劣弧沿弦折叠交直径于点，连接，若，，则 ．
12．（广东珠海·校考一模）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝8，将弧AB沿弦AB翻折后恰好经过弦AC的中点D，则弦BC的长为 ，⊙O的半径为 ．
13．（2025·河南新乡·一模）如图，是的直径，，°，将沿翻折，与直径交于点，则图中阴影部分面积为

14．（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，是的直径，是的弦，，将沿着折叠后恰好经过点，则的长为 ．
15．（2025·山东·校考一模）【问题背景】如图1，在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得劣弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为．
(1)【探究发现】如图1，连接，并延长交于D，连接．直接写出的度数为__________，与的数量关系为__________；
(2)【深入探究】如图2，将劣弧沿弦所在的直线折叠，弧不经过圆心O，在劣弧上取一点C（不与A、B重合），连接延长交于点D，连接．猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展应用】如图3，在（2）条件下，若平分，，求的长．

16．（2025·安徽·校考一模）如图，已知，是的直径，点C为圆上一点．
(1)如图①，将沿弦翻折，交于D，若点D与圆心O重合，，则的半径为　 　；
(2)如图②，将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E．
（Ⅰ）若点E恰好是翻折后的的中点，则的度数为 　 　；
（Ⅱ）如图③，连接，若，，求线段的长．
17．（2026九年级上·陕西安康·期末）在中，AB为直径，C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．(1)如图1，若点D与圆心O重合，的半径r为2，则AC的长为______；
(2)如图2，若点D与圆心O不重合，连接BC，求证：；
(3)如图3，琳琳家小区有一半径13米的圆形绿化区整个绿化区被ADC和弦AC分成3块区域（两块弓形区域和一块弯月形区域）分别种植有不同颜色的花卉，其中弓形ADC与弓形AEC关于分界线AC对称，为方便居民穿越绿化区，设计师决定从直径AB处铺设一条直直的步行走道（走道宽度忽略不计，D为交点）．为配合不同区域内花卉的颜色，AD段走道和DB段走道需分别用青色和黄色砖块铺设，若铺设一米青色地砖成本39元，铺设一米黄色地砖成本26元，由原设计图纸得知AC长度为24米，请求出铺设完AB走道所需地砖费用．
18．（河北沧州·一模）如图，珍珍利用一张直径为8cm的半圆形纸片探究圆的知识，将半圆形纸片沿弦折叠．
(1)如图1，为的切线，当时，求证：．
(2)如图2，当时，通过计算比较与弧哪个长度更长．（π取）
(3)如图3，M为的中点，为点M关于弦的对称点，当时，直接写出点与点M之间的距离约为_____cm．（结果保留两位小数，参考数据：27）
19．（九年级上·河北承德·期末）如图，的直径，是弦，沿折叠劣弧，记折叠后的劣弧为．(1)如图1，当与相切于时．
①为画出所在圆的圆心，请选择你认为正确的答案 ．
甲：在上找一点，连、并分别作它们的中垂线，交点为；
乙：分别以、为圆心，以为半径作弧，除外两弧另一个交点即为圆心．
A．甲正确 B．乙正确 C．甲乙都正确 D．都不正确
②选择合适的方法做出圆心，求的长；直接写出此时的度数．
(2)如图2，当经过圆心时，求的长；
(3)如图3，当覆盖圆心且与直径交于点，若，直接写出的度数．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑