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专题05 圆中的重要模型之圆中的全等模型
圆中常见全等模型：切线长模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型等。
知识储备：垂径定理及推理、圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距的关系等。
1
模型来源 1
真题现模型 2
提炼模型 5
模型运用 5
模型1、切线长模型 5
模型2、燕尾模型 8
模型3、蝴蝶模型 11
模型4、手拉手（旋转）模型 14
模型5、对角互补模型 19
24
圆中的全等模型在几何学发展史中源远流长，其历史脉络可追溯至古代文明，并在不同时期得到深化与扩展。首先古埃及工程师利用圆的性质进行土地测量与金字塔建造，通过经验发现全等三角形的拼接可形成稳定结构；然后欧几里得 （约公元前300年）在《几何原本》中首次系统化几何理论：提出全等三角形公设（如SSS判定法），为圆中全等模型奠定逻辑基础；接着阿基米德 （公元前287–前212年）在著作中记录弦切角、垂径性质等命题，隐含全等证明思想；最后在近现代数学教育中形成了一些重要的全等模型。圆的全等模型从经验实践到公理体系，历经文明交融与数学革命，至今仍是连接古典几何与现代科技的纽带。
（2026·广东九年级期中）如图，已知，，分别切于点A，B，D，若，则的周长是 ．若，则 ．

【答案】 30
【详解】解：连接、、，∵，，分别切于点A，B，D，
∴，，，
∴
∵、分别与相切于点A、B，∴，
又∵，∴，
∵与相切于点D，∴，
在和中，，∴，∴，
在和中，，∴，∴，
∴，故答案为：30；．

（2026九年级上·江苏泰州·期中）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设是已知点，小圆为已知圆．具体作法是：以为圆心，为半径作大圆，连接交小圆于点，过作，交大圆于点，连接，交小圆于点，连接，则是小圆的切线．(1)为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程；
已知：如图，点，和点，分别在以为圆心的同心圆上，______．求证：______．证明：______
(2)如图1，长不变，改变小圆的半径，延长交大圆于点，延长线交大圆于点，当经过圆心时，求的值；(3)在（2）中，若改变小圆的半径时，与小圆相切，直接写出的度数．

【答案】(1)证明见解析(2)(3)
【详解】（1）已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，
求证：是小圆O的切线
证明：∵点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，∴．
在和中，∴，∴，
∵，∴，∴，∴是小圆O的切线．
（2）由（1）得：，，，
∴，，∴，
∵，∴，∴，∴AO==2∴=．
（3）如图，∵，，都为小圆O的切线，记与小圆O的切点为H，

∴，， ∵，，，
∴，，∴，而，
∴∴．
（2026九年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为 度．
（2）【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边的外接圆，点在上（点不与点、重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点E，使，连接
∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴，
∵是等边三角形，∴，∴．请你补全余下的证明过程．
（3）【应用】如图③，已知四边形内接于圆O，，，连接、，请直接写出线段之间的数量关系
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【详解】（1）解：∵点，，均在上，，∴，故答案为：；
（2）证明：延长至点，使，连接，

∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴，
∵是等边三角形，∴，∴，∴，
∵在等边中，，∴，∴是等边三角形，∴，
又∵，∴；
（3）解：如图，延长至点，使，连接，由（2）知，，
在和中，，，，，
，，由圆周角定理得：，，，
∵，∴，∴
1-1切线长模型1 条件：如图1，P为外一点，PA，PB是的切线，切点分别为A，B。
结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB；
图1 图2 图3 图4
1-2切线长模型2 条件：如图2，AD，CD，BC是的切线，切点分别为A，E，B。
结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°；
2. 燕尾模型
条件：如图3，OA，OB是的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC；
3. 蝴蝶模型
条件：如图4，OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB；
4. 手拉手（旋转）模型
图5 图6
条件：如图5，是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB=，C为圆O上一点。
结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形；
特别地，当=60°时，CD=CA+CB； 当=90°时，CD=CA+CB；
5. 对角互补模型
条件：如图6，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB。结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。
证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，
又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°，
∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，
∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。
又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC，
例1（2026·浙江·九年级统考期末）如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使、、在一条直线上，且，过点作量角器圆弧所在圆的切线，切点为，则点在量角器上所对应的锐角度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：连接，∵，，∴，
∵，∴垂直平分，∴，∴，
∵、是的切线，∴，，
∵，∴，∴，
∴，故选：A．
例2（2025·河南·校考一模）小倩用橡皮泥做了一个不倒翁如图所示，小倩从正面看发现、分别切于点、，直径所在的直线经过点，连接．

(1)小倩发现垂直平分，请说明理由；(2)若的半径为，①当______时，四边形为菱形；②当______时，四边形为正方形．
【答案】(1)见解析(2)①；②
【详解】（1）解：、分别切于点、，，
在和中，，．，
， 垂直半分；
（2）解：当时，四边形为菱形，理由如下：如图，连接，，

的半径为，，切于点，，
，，，，，
，，，
，，，垂直平分，，，
，四边形为菱形，故答案为：；
当时，四边形为正方形，理由如下：
的半径为，，切于点，，
，，，
垂直半分，，，四边形为菱形，
，四边形为正方形，故答案为：．
例3（2025·湖北校考模拟预测）如图所示，AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，CD与⊙O有公共点E，且AD＝DE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝12，BC＝4，求AD的长．

【答案】（1）见解析；（2）9
【详解】（1）证明：连接OD，OE，∵AD切⊙O于A点，AB是⊙O的直径，∴∠DAB＝90°，

∵AD＝DE，OA＝OE，OD＝OD，∵△ADO≌△EDO（SSS），∴∠OED＝∠OAD＝90°，∴CD是⊙O的切线；
（2）过C作CH⊥AD于H，∵AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，
∴∠DAB＝∠ABC＝∠CHA＝90°，∴四边形ABCH是矩形，∴CH＝AB＝12，AH＝BC＝4，
∵CD是⊙O的切线，∴AD＝DE，CE＝BC，∴DH＝AD﹣BC＝AD﹣4，CD＝AD+4，
∵CH2+DH2＝CD2，∴122+（AD﹣4）2＝（AD+4）2，∴AD＝9．
模型2、燕尾模型
例1（2026九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知圆O的直径垂直于弦于点E，连接并延长交于点F，且．(1)证明：E是的中点；(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)．
【详解】（1）证明：直径垂直于弦于点E，连接，∴，∴，
∵过圆心O的直线，∴，即是的中垂线，∴，
∴．即：是等边三角形，∴，
在中，有，∴，∴点E为的中点；
（2）解：∵，∴，
又∵，∴，∴，，∴．
例2（2026九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的半径，分别交小圆于点，，连接，，交点为，连接并延长，交于点，交大圆于点．
(1)求证：；(2)与有怎样的位置关系？请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)，理由见解析
【详解】（1）证明：，为以点为圆心的大圆半径，
，为等腰三角形，；
（2），为以点为圆心的大圆半径，，为以点为圆心的小圆半径，
，，，即，
在与中，，，
，，即，
在与中，，，，
在与中，，，，
又为等腰三角形，．
例3．（2025·河南·校考一模）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设A是已知点，小圆O为已知圆．具体作法是：以O为圆心，为半径作大圆O，连接交小圆O于点B，过B作，交大圆O于点C，连接，交小圆O于点D，连接，则是小圆O的切线．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程．
已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，_________．求证：___________．
证明：
【答案】，是小圆O的切线，证明见解析
【详解】已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，
求证：是小圆O的切线
证明：∵点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，∴．
在和中,∴，∴，
∵，∴，∴，∴是小圆O的切线．
例4（2025·河北唐山·二模）如图，将半径为10的扇形，绕点逆时针旋转得到扇形．
(1)求证：；(2)当为直径时，，求的值及优弧的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：由题意可得：，，
由旋转的性质可知，，．由旋转的性质可知，，，
，即，，．
在与中，，．
（2）解：当为直径时，，∵，∴，
∵，∴，∴，
∵为直径，∴，即，
∴，∴优弧的长度为．
模型3、蝴蝶模型
例1（2026·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，圆中两条弦、相交于点E，且，求证：．

【答案】见解析
【详解】证明：如图，连接，∵，∴，
∴，即，∴，∴，
又∵，∴．

例2（2026九年级上·重庆巴南·阶段练习）在学习了圆这一章后，小明对“在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对圆心角相等”产生了浓厚兴趣，进行了拓展性的研究，有了新的发现，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，过圆心O作，垂足为E点，他猜想圆心O到弦、弦的距离相等．他的解决思路是证明对应垂线段所在三角形全等从而得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空：(1)用直尺和圆规，过点O作，垂足为F点，（只保留作图痕迹）
(2)已知：如图，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，于点E，于点F．求证：．
证明：∵在中，A、B是圆上两点，于点E，∴，同理可证：．
∵∴①_________________．∵于E点，于点F∴②_________________
在与中∴．∴．
通过小明研究发现，在等圆中也有此结论．请你依照题意完成下面命题：
在同圆或等圆中，④__________________________________________．
【答案】(1)图见解析(2)①；②；③；④如果两弦相等，则圆心到等弦的距离相等
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）证明：∵在中，A、B是圆上两点，于点E，∴，同理可证：．
∵∴．∵于E点，于点F∴
在与中，∴．∴．
∴在同圆或等圆中，如果两弦相等，则圆心到等弦的距离相等．
例3（2026九年级上·重庆·期中）如图，AB、CD是⊙O中两条互相垂直的弦，垂足为点E，且AE＝CE，点F是BC的中点，延长FE交AD于点G，已知AE＝1，BE＝3，OE＝．（1）求证：△AED≌△CEB；（2）求证：FG⊥AD；（3）若一条直线l到圆心O的距离d＝，试判断直线l是否是圆O的切线，并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）直线l是圆O的切线，理由见解析
【详解】（1）证明：由圆周角定理得：∠A＝∠C，
在△AED和△CEB中，，∴△AED≌△CEB（ASA）；
（2）证明：∵AB⊥CD，∴∠AED＝∠CEB＝90°，∴∠C+∠B＝90°，
∵点F是BC的中点，∴EF＝BC＝BF，∴∠FEB＝∠B，
∵∠A＝∠C，∠AEG＝∠FEB＝∠B，∴∠A+∠AEG＝∠C+∠B＝90°，∴∠AGE＝90°，∴FG⊥AD；
（3）解：直线l是圆O的切线，理由如下：作OH⊥AB于H，连接OB，如图所示：

∵AE＝1，BE＝3，∴AB＝AE+BE＝4，∵OH⊥AB，∴AH＝BH＝AB＝2，
∴EH＝AH﹣AE＝1，∴OH＝＝＝1，
∴OB＝＝＝，即⊙O的半径为，
∵一条直线l到圆心O的距离d＝＝⊙O的半径，∴直线l是圆O的切线．
模型4、手拉手（旋转）模型
例1（2026九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，四边形圆内接四边形，已知，，若，则四边形的面积为多少 ．
【答案】32
【详解】解：延长到点E，使得，连接，
∵是圆内接四边形，∴，，
又∵，∴，又∵，∴，
∴，，∴，
∴，故答案为：．
例2（2025·山东·校考一模）如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中“爪形A”，弦BA，CA，DA称为“爪形A”的爪．
（1）如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC，①证明：圆中存在“爪形D”；②若∠ADC＝120°，求证：AD＋CD＝BD；（2）如图3，四边形ABCD内接于圆，其中BA＝BC，连接BD．若AD⊥DC，此时“爪形D”的爪之间满足怎样的数量关系，请直接写出结果．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）AD＋CD＝BD
【详解】（1）①证：∵AB＝BC，∴∠ADB＝∠CDB，∴DB平分圆周角∠ADC，∴圆中存在“爪形D”；
②延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE，
∵∠A＋∠DCB＝180° ∠ECB＋∠DCB＝180°∴∠A＝∠ECB
∵CE＝AD，AB＝BC∴△BAD≌△BCE∴∠E＝∠ADB
∵∠ADC＝120°，∴∠E＝∠ADB＝60°，∴△BDE为等边三角形，∴DE＝BD，即AD＋CD＝BD
（2）AD＋CD＝BD ，理由如下：延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE，
∵∠A＋∠DCB＝180° ∠ECB＋∠DCB＝180°∴∠A＝∠ECB
∵CE＝AD，AB＝BC∴△BAD≌△BCE∴∠E＝∠ADB，BD=BE
∵AD⊥DC，∴∠E＝∠ADB＝45°，∴△BDE为等腰直角三角形，∠DBE＝90°，
∴DE＝BD ，即AD＋CD＝BD．
例3（山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请你仔细阅读并完成相应的任务．
圆内接正三角形的有趣结论：我在学完“圆内接正多边形”之后，知道了圆内接正多边形有许多有趣的结论.于是，我通过查阅资料发现了一个与圆内接正三角形相关的结论.
如图1，等边三角形内接于，点P是弧上的任意一点，连接，可得下面是这个结论的证明过程：以点为顶点，作，交于点D，
在等边三角形中，，，
（依据），，是等边三角形，，
∵，∴，即，
∴，∴，∵，∴
任务：(1)小宇的日记中的“依据”是 ，(2)如图，若，，则线段的长度是 ，
(3)如图，正方形内接于，点是弧上的任意一点，连接，则之间有怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】(1)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等(2)(3)
【详解】（1）在等边三角形中，，，
（在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等），
故答案为：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
（2）过点作于点，在中，
∴，，∴，，
在中，，，
，．，
由题可知， ．
（3） 连接，过点作交于点
∵正方形内接于，，
是等腰直角三角形∴，
即
．
例4（2026九年级上·浙江·期末）如图，四边形是圆内接四边形，．
(1)求的度数；(2)若的半径为6．①求的长；②如图2在四边形中，若平分，求的最大值．(3)如图3，连接，若是的直径，，请直接用含m，n的式子表示的长．
【答案】(1)(2)①；②(3)
【详解】（1）四边形是圆的内接四边形，
，有，．
（2）①作直径．连接，如图，
为圆的直径，，由（1）知：，，
的半径为6，．．
②延长至点，使，连接，如图，
由（1）知：，，
平分，．，，
四边形是圆的内接四边形，，，．
在△和△中，，，
，，为等边三角形．
，，．
的面积最大时，四边形面积最大．
当取得最大值时，的面积最大，当为圆的直径时，四边形面积最大．
即时，四边形面积取得最大值的面积的最大值，
四边形面积的最大值．
（3）．理由：延长交的延长线于点，如图，
是的直径，，．由（1）知：，
，，．
，，，．故答案为：．
例5（2026九年级下·广西贵港·阶段练习）如图，圆是的外接圆，是上的点，连接、、．(1)如图甲，，点在延长线上，判断之间的数量关系，并证明你的结论．(2)如图乙，，点不在延长线上，判断之间的数量关系，并证明你的结论．(3)若，直接写出之间的数量关系．（用含的式子表示）
【答案】(1)，见解析(2)，见解析(3)
【详解】（1）解：，证明如下：
∵点在延长线上，∴为的直径，∴，
∵，∴，∴，∴；
（2）解：，理由如下：在上截取，
∵，∴为等边三角形，∴，，
在和中，，∴，∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
过点C分别作于点M，延长线于点N，
∵，∴，，在和中，
∴，∴，
在和中，∵，∴，，
∴
∴．
模型5.对角互补模型
例1（2026九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，是圆的直径，为圆的弦，且平分，若，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，作交的延长线于，作交于，则，
，
平分，，，，
四边形是圆的内接四边形，，
，，
在和中，，，，
是圆的直径，，平分，，
、是等腰直角三角形，
，，，
，，，，
，故选：D．
例2（2025·湖南·模拟预测）【感知】如图①，为等边三角形的外接圆．为的直径，线段与交于点，探究线段，，的数量关系．
小明同学的做法：过点作的垂线交延长线于点，连接．易证．进而得出，．则线段，，的数量关系是；
【探究】如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，为弧上一点，于点，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
【应用】如图③，是的外接圆，是直径，．点在上，且点与点位于线段两侧，过点作线段的垂线，交线段于点，若点为的三等分点，则的值为 ．
【答案】【探究】成立，见解析；【应用】
【详解】解：【探究】成立，证明：过点作的垂线交延长线于点，连接，如图所示：
∵，∴，∵，∴，
∵，∴在和中，，
∴，∴，，
∴在和中，，∴，
∴，∴；
【应用】过点作的垂线交延长线于点，如图所示：
∵是直径，，∴，∴四边形是矩形，
∵四边形是的内接四边形，∴，
∵，∴，∵，
∴在和中，，∴，
∴，，∴四边形是正方形，∴，
∵点为的三等分点，点与点位于线段两侧，∴，
设，则，∴，，
∴．
例3（2025九年级下·江苏南京·专题练习）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大．
【从特殊验证】已知四边形的各边长依次为7，15，20，24，它的面积S何时最大？
小敏的演算纸 综上所述，s的最大值为……
（1）探索情形Ⅰ：①求证：点A，B，C，D在同一个圆上．②S的值为______．
（2）探索情形Ⅱ：说明此时S的值小于情形Ⅰ中S的值．
【向一般进发】（3）已知四边形的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S的最大值．
【答案】（1）①证明见解析；②234；（2）见解析；（3）
【详解】解：（1）①证明：连接，取的中点O，连接，
，，
又，，，
为的中点，，点A，B，C，D在同一个圆上；
②解：，
故答案为：234；
（2）解：，，，
在中，，在中，，，即；
（3）解：由题意可知，当四边形四顶点共圆时，它的面积最大，
连接，过点C分别作于点E，于点F，
，，，
，，，，，
同理可证，，，，
∵，，，，
，，
即四边形面积S的最大值为
1．（2025·湖南·模拟预测）如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（ ）
A．为等腰三角形 B．与相互垂直平分
C．点A、B都在以为直径的圆上 D．为的边上的中线
【答案】B
【详解】解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，
∵B，C为切点，∴∠OBP=∠OAP=90°，∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OPB≌Rt△OPA，
∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，∴为等腰三角形，故A正确；
∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，∴PM=OM=BM=AM
∴点A、B都在以为直径的圆上，故C正确；
∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，∴△OBC≌△OAC，∴∠OCB=∠OCA=90°，∴PC⊥AB，
∵△BPA为等腰三角形，∴为的边上的中线，故D正确；
无法证明与相互垂直平分，故选：B．
3．（2026·浙江·九年级阶段练习）如图，在圆内接四边形中，，为直径，若四边形的面积是，的长是，则与之间的数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，延长到，使，连接，
四边形是圆内接四边形，，，
在和中，，
，
，
即，，故选：C．
3．（2026九年级上·湖北孝感·期末）如图，内接于圆，，，以C为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，连接，并延长交圆于点D，连接，，则下列结论错误的是（ ）
A．为直径 B． C． D．
【答案】C
【详解】A：，根据圆周角定理，的圆周角所对的弦是直径，为直径，A正确，不符合题意；
B：由作图知平分，即．同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故，则，B正确，不符合题意；
C：是直径，．若，则，但由已知条件无法推出，实际分析：所对的弧为，结合圆的性质，，C错误．符合题意； D：D正确，不符合题意，证明如下：
证明：延长至点E，使，连接，
，，，
，，，，
是直径，，
，是等腰直角三角形，，故选：C．
4．（2026·天津和平·九年级专题练习）如图，在圆内接四边形在中，弦，，连接对角线，、分别是和上的两点，且，连接、相交于点，已知，，则的面积为 ．
【答案】
【详解】解：过点作，交于点，
∵在圆内接四边形在中，，∴，
∵，∴是等边三角形，∴，
又∵，∴，∴，
∴，∴，
∵，，∴，∴，
∴；故答案为：．
5．（2026·湖北黄冈·九年级专题练习）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，弦AC⊥弦BD，点P为CD的中点，若点D在圆上逆时针运动的路径长为π，则点P运动的路径长为 ．
【答案】π．
【详解】解：如图，连接OA，OB，AD，OP，OD，过点O作OH⊥AB于H．
∵AC⊥BD，∴∠DAC+∠ADB＝90°，
∵∠DOC＝2∠DAC，∠AOB＝2∠ADB，∴∠DOC+∠AOB＝180°，
∵OH⊥AB，DP＝PC，∴AH＝HB＝AB＝3，OP⊥CD，
∵OA＝OB＝OC＝OD，∴∠AOH＝∠BOH，∠COP＝∠DOP，∴∠AOH+∠COP＝90°，
∵∠AOH+∠OAH＝90°，∴∠COP＝∠OAH，
在△OHA和△CPO中， ∴△OHA≌△CPO（AAS），
∴OP＝AH＝3，∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OP为半径的圆，
∵点D在圆上逆时针运动的路径长为π，设圆心角为n，∴， ∴n＝60°，
∵OD，OP的旋转角度相等，∴点P的运动路径的长．故答案为：π．
6．（2025·江苏扬州·三模）在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”．
定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度．
(1)如图，在中垂足为，垂足为，和都是弦心距．若．求证：；
(2)实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
如图，已知线段，点是半径为的内一点，请过点作的弦，使．（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，保留痕迹并写出必要的文字说明）
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：连接，
∵，，∴，
∵，∴，
∵，，，∴，∴；
（2）解：如图，线段或，
在上取一点，以为圆心，为半径画弧，交于点，则，
过点作的垂线，垂足为点，
以为圆心，为半径画圆，连接，
取中点，以为圆心，为半径作，记小与一个交点为，
过作直线，与大交点即为点，那么线段即为所求，同理亦可，
由作图可得，由圆周角定理可得：，而，
由在同圆中，弦心距相等，则所对的弦相等即可说理，即．
7．（2026·江苏南京·九年级校考期末）在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点．
(1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为______．
(2)如图②，大圆的另一条弦交小圆于，两点，若，求证．
【答案】(1)(2)见解析
【详解】（1）连接，，过点作，则为，的中点，
∵，∴，，
∵，∴，，
∴，∴，
∴，∴，故答案为：
（2）过作，作，垂足分别为、，
∴，，，，
又∵，∴，连接、、、，
在和中，，
∴，∴，
在和中，，
∴，∴，∴．
8．（2025·贵州遵义·校考一模）问题背景：如图1，是的直径，点，点在圆上（在直径的异侧），且为弧的中点，连接，，，，．
探究思路：如图2，将绕点顺时针旋转得到，证明，，三点共线，从而得到为等腰直角三角形，，从而得出．
(1)请你根据探究思路，写出完整的推理过程；
问题解决：(2)若点，点在直径的同侧，如图3所示，且点为弧的中点，连接，，，直接写出线段的长为__________（用含有，的式子表示）；
拓展探究：(3)将沿翻折得到，如图4所示，试探究：，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)推理过程如下(2)(3)
【详解】（1）∵绕点顺时针旋转得到，∴，，
∴，，，∴，∴，
∵，∴，∵，∴．
（2）绕点点顺时针得到，∴，
∴，，，∴，
∴，∴是等腰直角三角形，∴，
∵，，∴，∴．
（3）∵绕点点逆时针得到，点在上，∴，
∵沿翻折得到，∴，∴，
∴，，，
∵，∴，∴，
∵是圆的直径，∴，∴，∴，
∵，，∴，∴，∴，
在和中，，∴，∴，∴．
9．（2025·山东德州·校考一模）△ABC是⊙O的内接三角形，点P是⊙O上一点，且点P与点A在BC的两侧，连接PA，PB，PC．
(1)如图①，若△ABC是等边三角形，则线段PA，PB，PC之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图②，把（1）中的△ABC改为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，其他条件不变，三条线段PA，PB，PC还有以上的数量关系吗？说明理由．
(3)如图③，把（1）中△ABC改为任意三角形，AB＝c，AC＝b，BC＝a时，其他条件不变，则PA，PB，PC三条线段的数量关系为_________（直接写结果）
(4)由以上你能发现圆内接四边形的四条边和对角线有什么关系？
【答案】(1)；(2)没有，理由见详解；(3)；
(4)圆内接四边形中对角线的乘积等于四边形对边乘积的和．
【详解】（1）解：，
证明：如图4，延长PB到点D，使得，连接DA，
∵为等边三角形， ∴，，
∵四边形ABPC内接于圆，∴，
∵，∴，
在和中， ，∴（SAS）∴，
∵，∴为等边三角形，∴，
∵，∴；
（2）若△ABC为等腰直角三角形，，三条线段PA，PB，PC没有（1）中的数量关系，理由如下：如图5，延长PB到点E，使得，连接AE，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴，，
∵四边形ABPC内接于圆，∴，
∵，∴，
在和中， ，
∴（SAS）∴，，
∵，又∵，
∴，∴，
∵，∴，
∴三条线段PA，PB，PC没有（1）中的数量关系；
（3）如图6，在中，以点A为顶点，AC为边，作，点F在BC上，
∵，又∵，∴，
∴，∴，∵，，∴，
∵，，∴，
在和中， ，∴，∴，
∵，∴ ，
当AB＝c，AC＝b，BC＝a时，∴，即．
故答案为：；
（4）由（3）的结论，可知圆内接四边形的四条边和对角线的关系为：圆内接四边形中对角线的乘积等于四边形对边乘积的和．
10．（2026九年级上·江苏南京·阶段练习）是的两条弦，且．
(1)如图，若弦的延长线相交于点，求证：
小明同学：从垂径定理的角度联想到辅助线：过点作，，垂足为．
小华同学：从全等三角形的角度联想到辅助线；连接．
小刚同学：从等角对等边的角度联想到辅助线：连接．
请你从上面三位同学提供的方法选择一种完成证明．
(2)如图，若的半径为，将沿着折叠，若折叠后的过点，求的长．
(3)如图，若的半径为，，将沿着折叠，若此时，请直接写出折叠后上的一点到最小值．
【答案】(1)证明见解析(2)(3)
【详解】（1）证明：小明同学：过点作，，垂足为，连接，
∵，，，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，即；
小华同学：连接，则由圆周角定理得，
∵，∴，∴，即，∴，
∵，∴，∴；
小刚同学：连接，
∵，∴，∴，即，
∴，即，∴；
（2）解：连接，过点作交于点，则，，
∵过点，∴点与点关于对称，∴，
∵，∴，∴；
（3）解：连接，
∵，，∴，
∵，∴，
∴，∴点三点共线，点三点共线，，
∵，∴，∴四边形是正方形，
过点作直线于，交折叠后于点，交折叠前于点，交于点，则，由图可知线段的长为出折叠后上的一点到最小值，
∵四边形是正方形，∴，，∴
由正方形性质可得，，∵，，
∴为等腰直角三角形，∴，
∴，，根据折叠可知，，
∴，∴，
∴折叠后上的一点到最小值为．
11．（2025成都·模拟预测）已知：如图，BE是⊙O的直径，BC切⊙O于H，弦ED∥OC，连接CD，并延长交BE的延长线于点A.，(1)证明：CD是⊙O的切线；(2)求证：DE·OC＝ BE2．
【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析
【详解】（1）∵EDOC，∴∠COB=∠DEO，∠COD=∠EDO，
∵OD=OE，∴∠DEO=∠EDO，∴∠COB=∠COD，
在△BCO和△DCO中，∴△BCO≌△DCO（SAS），∴∠CDO=∠CBO，
∵BC为圆O的切线，∴BC⊥OB，即∠CBO=90°，∴∠CDO=90°，
又∵OD为圆的半径，∴CD为圆O的切线；
（2）如下图，连接BD，
∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE = 90°，∴∠BDE=∠OBC，
∵ DE//OC，∴∠BED=∠BOC，∴△BDE∽△CBO，
∴ ，∴DE·OC= BE·OB，∵OB =BE，∴DE·OC=BE2．
12．（2025·江西南昌·模拟预测）（首选几何压轴）【问题情境】学完《探索全等三角形的条件》后，老师提出如下问题：如图①，中，若，求边上中线的取值范围．通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路．
思路1：将绕着点D旋转，使得和重合，得到…
思路2：延长到E，使得，连接，根据可证得…
（1）根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，我们都可以得到的取值范围为 ．
【类比探究】（2）如图②，，是的边上的中线，试探索与的数量关系，并说明理由．
【迁移应用】（3）【应用1】如图③，已知的半径为6，四边形是的圆内接四边形．，求的长．
（4）【应用2】如图④，,相交于点G，连接，若的度数发生改变，请问是否存在最小值？如果存在，则直接写出其最小值（用含a和b的式子表示），如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2），理由见解析（3）；（4）存在最小值，最小值为
【详解】解：（1）延长到E，使，连接，如图1，
在和中，，∴，∴，
∵，∴，∴，故答案为：；
（2），理由如下：延长至点G，使，连接，如图所示，
由作图可知，∵是边上的中线，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
在和中，，∴，∴，∴；
（3）如图3，过点O作于点E，于点F，
由条件可知，，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，∴；
（4）存在最小值，最小值为，理由如下：
如图4，取的中点F，连接，延长至点H，使，连接，
∵，∴，∵，∴，
∴，∴，∴，
在和中，，∴，∴，
∴点E、D、G、B四点共圆，∴，∴，
∵F为的中点，∴，
∵∴四边形是平行四边形，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
在和中，，∴，∴，∴，
若的度数发生改变，当点G、D、F三点在同一直线时，的值最小为．
13．（2025·广东东莞·校考模拟预测）已知在坐标系内有一圆D（如图所示），D上有两点P，Q，过这两点作圆D的切线．
(1)求证：(2)若，求证：点D在的垂直平分线上．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【详解】（1）证明：设直线交于T，
∵是圆D的两条切线，∴，
∴，
∵，∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接，在和中，，
∴，∴，∴点D在的垂直平分线上．
14．（2025·河南·校考二模）如图，点是等边三角形中边上的动点（），作的外接圆交于点．点是圆上一点，且，连结交于点．(1)求证：；(2)当点运动时，的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求的度数．
【答案】(1)见解析 (2)当点运动时，的度数不会变化，的度数为
【详解】（1）证明：连接，如图所示，
是等边三角形，，，
，，，，
，，，，，
四边形是圆内接四边形，，
，，；
（2）解：当点运动时，的度数不会变化，理由如下：
，，，
，的度数为．
当点运动时，的度数不会变化．
15．（2026·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，已知圆的直径与弦交于点，连接，且．（1）求证：（2）点为弧上一点，连接交于点，交于点，若，求证：

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【详解】解：（1）如图：连接OC、OD
∵在△AOC和△AOD中OA=OA,AC=AD,OC=OD∴△AOC≌△AOD∴∠CAO=∠DAO 又∵AC=AD∴；
（2）如图：连接OC、BC∵AB是直径∴∠ACB=90°
∵∴∠AEC=90°∴∠CAE+∠ABC =90°, ∠CAE+∠ACE =90°∴∠ACE=∠ABC
∵OC=OB∴∠OCB=∠ABC∴∠CAB+∠ABC =90°, ∠OCA+∠OCB =90°∴∠OAB=∠OCA
∵∴∠ACE=∠GWC∴∠ABC=∠GWC
∴∠OCA+∠GWC =∠OAB +∠CAB= 90°, 即OC⊥BE∴．
16．（2026·江苏·九年级期末）如图，四边形APBC内接于圆，，连接AB，PC，．
(1)是_________三角形；(2)在PC上取一点E，使，若，，求PC的长．
【答案】(1)等边(2)5
【详解】（1）∵∠APB＝120°，四边形APBC内接于圆，∴∠ACB＝60°，
∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，故答案为：等边；
（2）由（1）知，△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴∠APC＝60°，∴△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠PAB＝∠CAE，∴△PAB≌△EAC（SAS），∴PB＝EC＝2，
∵PE＝PA＝3，∴PC＝PE＋CE＝3＋2＝5．
17．（2026·江苏泰州·九年级校考期末）如图，点在轴正半轴上，点是第一象限内的一点，以为直径的圆交轴于两点．(1)与满足什么条件时，，写出满足的条件，并证明；
(2)在（1）的条件下，若，，求长．
【答案】(1)详见解析(2)
【详解】（1）当时，，如图所示：作轴，连结，
是的直径，
∵轴，
所对的圆周角为和
（2）∵在（1）的条件下，在和中，
（AAS）
18．（2025·河南驻马店·校考一模）《义务教育数学课程标准（版）》是风向标，梅老师通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”．在《切线的性质与判定》学习完毕后，遂命制一题：“已知：如图，及外一点P．求作：直线，使与相切于点B”．李华同学经过探索，想出了两种作法．具体如下（已知点B是直线上方一点）：
作法一（如图1）： 作法二（如图2）：
1．连接，作线段的垂直平分线，交于点A； 2．以点A为圆心，以的长为半径作，交于点B； 3．作直线，则直线是的切线． 1．连接，交于点M，过点M作的垂线； 2．以点O为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点Q； 3．连接，交于点B； 4．作直线，则直线是的切线．
证明：如图1，为直径， ，（ ） 是的半径，∴直线PB是的切线． 证明：……
请仔细阅读，并完成相应的任务．
(1)“作法一”中的“依据”是指_______________．(2)请写出“作法二”的证明过程．
【答案】(1)直径所对的圆周角为(2)见解析
【详解】（1）∵为直径，，（直径所对的圆周角为）．
是的半径，∴直线是的切线．故答案为：直径所对的圆周角为；
（2）由作法可得，，，，
在和中，，，，．
∵是的半径，直线是的切线．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题05圆中的重要模型之圆中的全等模型
圆中常见全等模型：切线长模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型等。
知识储备：垂径定理及推理、圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距的关系等。
1
模型来源 1
真题现模型 2
提炼模型 5
模型运用 5
模型1、切线长模型 5
模型2、燕尾模型 8
模型3、蝴蝶模型 11
模型4、手拉手（旋转）模型 14
模型5、对角互补模型 19
24
圆中的全等模型在几何学发展史中源远流长，其历史脉络可追溯至古代文明，并在不同时期得到深化与扩展。首先古埃及工程师利用圆的性质进行土地测量与金字塔建造，通过经验发现全等三角形的拼接可形成稳定结构；然后欧几里得 （约公元前300年）在《几何原本》中首次系统化几何理论：提出全等三角形公设（如SSS判定法），为圆中全等模型奠定逻辑基础；接着阿基米德 （公元前287–前212年）在著作中记录弦切角、垂径性质等命题，隐含全等证明思想；最后在近现代数学教育中形成了一些重要的全等模型。圆的全等模型从经验实践到公理体系，历经文明交融与数学革命，至今仍是连接古典几何与现代科技的纽带。
（2026·广东九年级期中）如图，已知，，分别切于点A，B，D，若，则的周长是 ．若，则 ．

（2026九年级上·江苏泰州·期中）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设是已知点，小圆为已知圆．具体作法是：以为圆心，为半径作大圆，连接交小圆于点，过作，交大圆于点，连接，交小圆于点，连接，则是小圆的切线．(1)为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程；
已知：如图，点，和点，分别在以为圆心的同心圆上，______．求证：______．证明：______
(2)如图1，长不变，改变小圆的半径，延长交大圆于点，延长线交大圆于点，当经过圆心时，求的值；(3)在（2）中，若改变小圆的半径时，与小圆相切，直接写出的度数．

（2026九年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为 度．
（2）【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边的外接圆，点在上（点不与点、重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点E，使，连接
∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴，
∵是等边三角形，∴，∴．请你补全余下的证明过程．
（3）【应用】如图③，已知四边形内接于圆O，，，连接、，请直接写出线段之间的数量关系
1-1切线长模型1 条件：如图1，P为外一点，PA，PB是的切线，切点分别为A，B。
结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB；
图1 图2 图3 图4
1-2切线长模型2 条件：如图2，AD，CD，BC是的切线，切点分别为A，E，B。
结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°；
2. 燕尾模型
条件：如图3，OA，OB是的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC；
3. 蝴蝶模型
条件：如图4，OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB；
4. 手拉手（旋转）模型
图5 图6
条件：如图5，是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB=，C为圆O上一点。
结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形；
特别地，当=60°时，CD=CA+CB； 当=90°时，CD=CA+CB；
5. 对角互补模型
条件：如图6，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB。结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。
证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，
又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°，
∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，
∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。
又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC，
例1（2026·浙江·九年级统考期末）如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使、、在一条直线上，且，过点作量角器圆弧所在圆的切线，切点为，则点在量角器上所对应的锐角度数是（ ）
A． B． C． D．
例2（2025·河南·校考一模）小倩用橡皮泥做了一个不倒翁如图所示，小倩从正面看发现、分别切于点、，直径所在的直线经过点，连接．
(1)小倩发现垂直平分，请说明理由；(2)若的半径为，①当______时，四边形为菱形；②当______时，四边形为正方形．

例3（2025·湖北校考模拟预测）如图所示，AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，CD与⊙O有公共点E，且AD＝DE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝12，BC＝4，求AD的长．

模型2、燕尾模型
例1（2026九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知圆O的直径垂直于弦于点E，连接并延长交于点F，且．(1)证明：E是的中点；(2)若，求的长．
例2（2026九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的半径，分别交小圆于点，，连接，，交点为，连接并延长，交于点，交大圆于点．
(1)求证：；(2)与有怎样的位置关系？请说明理由．
例3．（2025·河南·校考一模）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设A是已知点，小圆O为已知圆．具体作法是：以O为圆心，为半径作大圆O，连接交小圆O于点B，过B作，交大圆O于点C，连接，交小圆O于点D，连接，则是小圆O的切线．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程．
已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，_________．求证：___________．
证明：
例4（2025·河北唐山·二模）如图，将半径为10的扇形，绕点逆时针旋转得到扇形．
(1)求证：；(2)当为直径时，，求的值及优弧的长．
模型3、蝴蝶模型
例1（2026·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，圆中两条弦、相交于点E，且，求证：．

例2（2026九年级上·重庆巴南·阶段练习）在学习了圆这一章后，小明对“在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对圆心角相等”产生了浓厚兴趣，进行了拓展性的研究，有了新的发现，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，过圆心O作，垂足为E点，他猜想圆心O到弦、弦的距离相等．他的解决思路是证明对应垂线段所在三角形全等从而得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空：(1)用直尺和圆规，过点O作，垂足为F点，（只保留作图痕迹）
(2)已知：如图，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，于点E，于点F．求证：．
证明：∵在中，A、B是圆上两点，于点E，∴，同理可证：．
∵∴①_________________．∵于E点，于点F∴②_________________
在与中∴．∴．
通过小明研究发现，在等圆中也有此结论．请你依照题意完成下面命题：
在同圆或等圆中，④__________________________________________．
例3（2026九年级上·重庆·期中）如图，AB、CD是⊙O中两条互相垂直的弦，垂足为点E，且AE＝CE，点F是BC的中点，延长FE交AD于点G，已知AE＝1，BE＝3，OE＝．（1）求证：△AED≌△CEB；（2）求证：FG⊥AD；（3）若一条直线l到圆心O的距离d＝，试判断直线l是否是圆O的切线，并说明理由．

模型4、手拉手（旋转）模型
例1（2026九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，四边形圆内接四边形，已知，，若，则四边形的面积为多少 ．
例2（2025·山东·校考一模）如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中“爪形A”，弦BA，CA，DA称为“爪形A”的爪．
（1）如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC，①证明：圆中存在“爪形D”；②若∠ADC＝120°，求证：AD＋CD＝BD；（2）如图3，四边形ABCD内接于圆，其中BA＝BC，连接BD．若AD⊥DC，此时“爪形D”的爪之间满足怎样的数量关系，请直接写出结果．
例3（山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请你仔细阅读并完成相应的任务．
圆内接正三角形的有趣结论：我在学完“圆内接正多边形”之后，知道了圆内接正多边形有许多有趣的结论.于是，我通过查阅资料发现了一个与圆内接正三角形相关的结论.
如图1，等边三角形内接于，点P是弧上的任意一点，连接，可得下面是这个结论的证明过程：以点为顶点，作，交于点D，
在等边三角形中，，，
（依据），，是等边三角形，，
∵，∴，即，
∴，∴，∵，∴
任务：(1)小宇的日记中的“依据”是 ，(2)如图，若，，则线段的长度是 ，
(3)如图，正方形内接于，点是弧上的任意一点，连接，则之间有怎样的数量关系？请说明理由．
例4（2026九年级上·浙江·期末）如图，四边形是圆内接四边形，．
(1)求的度数；(2)若的半径为6．①求的长；②如图2在四边形中，若平分，求的最大值．(3)如图3，连接，若是的直径，，请直接用含m，n的式子表示的长．
例5（2026九年级下·广西贵港·阶段练习）如图，圆是的外接圆，是上的点，连接、、．(1)如图甲，，点在延长线上，判断之间的数量关系，并证明你的结论．(2)如图乙，，点不在延长线上，判断之间的数量关系，并证明你的结论．(3)若，直接写出之间的数量关系．（用含的式子表示）
模型5.对角互补模型
例1（2026九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，是圆的直径，为圆的弦，且平分，若，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
例2（2025·湖南·模拟预测）【感知】如图①，为等边三角形的外接圆．为的直径，线段与交于点，探究线段，，的数量关系．
小明同学的做法：过点作的垂线交延长线于点，连接．易证．进而得出，．则线段，，的数量关系是；
【探究】如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，为弧上一点，于点，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
【应用】如图③，是的外接圆，是直径，．点在上，且点与点位于线段两侧，过点作线段的垂线，交线段于点，若点为的三等分点，则的值为 ．
例3（2025九年级下·江苏南京·专题练习）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大．
【从特殊验证】已知四边形的各边长依次为7，15，20，24，它的面积S何时最大？
小敏的演算纸 综上所述，s的最大值为……
（1）探索情形Ⅰ：①求证：点A，B，C，D在同一个圆上．②S的值为______．
（2）探索情形Ⅱ：说明此时S的值小于情形Ⅰ中S的值．
【向一般进发】（3）已知四边形的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S的最大值．
1．（2025·湖南·模拟预测）如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（ ）
A．为等腰三角形 B．与相互垂直平分
C．点A、B都在以为直径的圆上 D．为的边上的中线
2．（2026·浙江·九年级阶段练习）如图，在圆内接四边形中，，为直径，若四边形的面积是，的长是，则与之间的数关系式是（ ）
A． B． C． D．
3．（2026九年级上·湖北孝感·期末）如图，内接于圆，，，以C为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，连接，并延长交圆于点D，连接，，则下列结论错误的是（ ）
A．为直径 B． C． D．
4．（2026·天津和平·九年级专题练习）如图，在圆内接四边形在中，弦，，连接对角线，、分别是和上的两点，且，连接、相交于点，已知，，则的面积为 ．
5．（2026·湖北黄冈·九年级专题练习）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，弦AC⊥弦BD，点P为CD的中点，若点D在圆上逆时针运动的路径长为π，则点P运动的路径长为 ．
6．（2025·江苏扬州·三模）在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”．
定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度．
(1)如图，在中垂足为，垂足为，和都是弦心距．若．求证：；
(2)实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
如图，已知线段，点是半径为的内一点，请过点作的弦，使．（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，保留痕迹并写出必要的文字说明）
7．（2026·江苏南京·九年级校考期末）在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点．
(1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为______．
(2)如图②，大圆的另一条弦交小圆于，两点，若，求证．
8．（2025·贵州遵义·校考一模）问题背景：如图1，是的直径，点，点在圆上（在直径的异侧），且为弧的中点，连接，，，，．
探究思路：如图2，将绕点顺时针旋转得到，证明，，三点共线，从而得到为等腰直角三角形，，从而得出．
(1)请你根据探究思路，写出完整的推理过程；
问题解决：(2)若点，点在直径的同侧，如图3所示，且点为弧的中点，连接，，，直接写出线段的长为__________（用含有，的式子表示）；
拓展探究：(3)将沿翻折得到，如图4所示，试探究：，，之间的数量关系，并说明理由．
9．（2025·山东德州·校考一模）△ABC是⊙O的内接三角形，点P是⊙O上一点，且点P与点A在BC的两侧，连接PA，PB，PC．
(1)如图①，若△ABC是等边三角形，则线段PA，PB，PC之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图②，把（1）中的△ABC改为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，其他条件不变，三条线段PA，PB，PC还有以上的数量关系吗？说明理由．
(3)如图③，把（1）中△ABC改为任意三角形，AB＝c，AC＝b，BC＝a时，其他条件不变，则PA，PB，PC三条线段的数量关系为_________（直接写结果）
(4)由以上你能发现圆内接四边形的四条边和对角线有什么关系？
10．（2026九年级上·江苏南京·阶段练习）是的两条弦，且．
(1)如图，若弦的延长线相交于点，求证：
小明同学：从垂径定理的角度联想到辅助线：过点作，，垂足为．
小华同学：从全等三角形的角度联想到辅助线；连接．
小刚同学：从等角对等边的角度联想到辅助线：连接．
请你从上面三位同学提供的方法选择一种完成证明．
(2)如图，若的半径为，将沿着折叠，若折叠后的过点，求的长．
(3)如图，若的半径为，，将沿着折叠，若此时，请直接写出折叠后上的一点到最小值．
11．（2025成都·模拟预测）已知：如图，BE是⊙O的直径，BC切⊙O于H，弦ED∥OC，连接CD，并延长交BE的延长线于点A.，(1)证明：CD是⊙O的切线；(2)求证：DE·OC＝ BE2．
12．（2025·江西南昌·模拟预测）（首选几何压轴）【问题情境】学完《探索全等三角形的条件》后，老师提出如下问题：如图①，中，若，求边上中线的取值范围．通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路．
思路1：将绕着点D旋转，使得和重合，得到…
思路2：延长到E，使得，连接，根据可证得…
（1）根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，我们都可以得到的取值范围为 ．
【类比探究】（2）如图②，，是的边上的中线，试探索与的数量关系，并说明理由．
【迁移应用】（3）【应用1】如图③，已知的半径为6，四边形是的圆内接四边形．，求的长．
（4）【应用2】如图④，,相交于点G，连接，若的度数发生改变，请问是否存在最小值？如果存在，则直接写出其最小值（用含a和b的式子表示），如果不存在，请说明理由．
13．（2025·广东东莞·校考模拟预测）已知在坐标系内有一圆D（如图所示），D上有两点P，Q，过这两点作圆D的切线．
(1)求证：(2)若，求证：点D在的垂直平分线上．
14．（2025·河南·校考二模）如图，点是等边三角形中边上的动点（），作的外接圆交于点．点是圆上一点，且，连结交于点．(1)求证：；(2)当点运动时，的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求的度数．
15．（2026·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，已知圆的直径与弦交于点，连接，且．（1）求证：（2）点为弧上一点，连接交于点，交于点，若，求证：

16．（2026·江苏·九年级期末）如图，四边形APBC内接于圆，，连接AB，PC，．
(1)是_________三角形；(2)在PC上取一点E，使，若，，求PC的长．
17．（2026·江苏泰州·九年级校考期末）如图，点在轴正半轴上，点是第一象限内的一点，以为直径的圆交轴于两点．(1)与满足什么条件时，，写出满足的条件，并证明；
(2)在（1）的条件下，若，，求长．
18．（2025·河南驻马店·校考一模）《义务教育数学课程标准（版）》是风向标，梅老师通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”．在《切线的性质与判定》学习完毕后，遂命制一题：“已知：如图，及外一点P．求作：直线，使与相切于点B”．李华同学经过探索，想出了两种作法．具体如下（已知点B是直线上方一点）：
作法一（如图1）： 作法二（如图2）：
1．连接，作线段的垂直平分线，交于点A； 2．以点A为圆心，以的长为半径作，交于点B； 3．作直线，则直线是的切线． 1．连接，交于点M，过点M作的垂线； 2．以点O为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点Q； 3．连接，交于点B； 4．作直线，则直线是的切线．
证明：如图1，为直径， ，（ ） 是的半径，∴直线PB是的切线． 证明：……
请仔细阅读，并完成相应的任务．
(1)“作法一”中的“依据”是指_______________．(2)请写出“作法二”的证明过程．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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