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第四章 三角形
课题4 证明，举反例
情景导入
下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题？为什么？
①两点之间线段最短．
②任意一个三角形的三条中线相交于一点吗？
③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
④两条直线相交，只有一个交点．
⑤作一条线段等于已知线段．
解：①③④是命题．它们都是陈述句，对事件作出了判断．
②⑤不是命题
它们没有对事件作出判断．
自学互研
知识模块一　探究真命题、假命题相关概念
如：0 的绝对值是 0，不是正数.
1. 有理数的绝对值是正数.
假命题
下列命题是真命题还是假命题？
2. 如果 | a | = | b |，那么 a = b.
如： a = -1，b = 1， | a | = | b |，但 a≠b.
假命题
把正确的命题叫真命题，把错误的命题叫假命题．
如何判断一个命题是假命题呢？
探 究
一般地，对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命题条件，但不满足命题结论，就可判断该命题为假命题，这种做法称为举反例.
例1 命题“如果 ab = 0，那么 a = 0”是真命题还是假命题？
解：1×0 = 0，但是 1≠0，
例题与练习
因此“如果 ab = 0，那么 a = 0”是假命题.
用举反例的方法说明下列命题是假命题.
(1) 若 a = b ，则 a = b；
(2) 一个角的余角大于这个角；
解：(1) (2)2 = (-2)2 = 4，但是 2≠-2，
(2) 一个角是 60°，它的余角是 30°，但是 30°＜60°，
做一做
因此“若 a = b ，则 a = b”是假命题.
因此“一个角的余角大于这个角”是假命题.
(3) 若 a，b 是有理数，则 | a + b | = | a | + | b |；
(3) |a+b| = |1+(-1)| = |0| = 0，|a| + |b| = |1|+|-1| = 1+1 = 2，但是 0≠2，
因此“若a，b是有理数，则 |a+b| = |a|+|b|”是假命题.
(4) 在一个等腰三角形中，两个底角∠A 和∠B相等，比如等腰三角形的两个底角都为 50°，但这两个角并不是对顶角.
(4) 如果∠A = ∠B，那么∠A 与∠B 是对顶角.
因此“如果∠A = ∠B，那么∠A 与∠B 是对顶角”是假命题.
如何判断一个命题是真命题呢
证明的定义
判断一个命题是真命题，通常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立，这一过程就是通常所说的证明.
例2 证明：如果实数 a≠0 或实数 b≠0，
那么 a +b ≠0.
证明：若a≠0，则 a 为正数.
又 b 为正数或 0，从而 a + b 是正数，
因此 a +b ≠0.
同理可得，若b≠0，则 a +b ≠0.
1．有下面命题：
(1)直角三角形的两个锐角互余；(2)钝角三角形的两个内角互补；(3)两个锐角的和一定是直角；(4)两点之间线段最短．其中，真命题有( )
A．1个　　　　　B．2个　　　　　
C．3个　　　　　D．4个
练 习
B
2．判断下列命题的真假，若假命题，请举出反例．
①大于锐角的角是钝角；
②如果一个实数有算术平方根，那么它的算术平方根是整数；
③如果AC＝BC，那么点C是线段AB的中点．
解：①②③都是假命题．
①的反例：90°的角大于锐角，但不是钝角．
②的反例：5有算术平方根，但算术平方根不是整数．
③的反例：如果AC＝BC，而点A，B，C三点不在同一直线上，那么点C就不是AB的中点．

知识模块二　反证法
例3 证明：△ABC 的三个内角中至少有一个角大于或等于 60°.
分析：“至少有一个”意味着“有一个”“有两个”“有三个”，因而应分三种情况进行证明，我们可以假设没有一个满足条件，若能推出一个与已知条件或已有定义、基本事实、已经证明了的真命题等矛盾的结论，就可否定假设，从而得出所要证明的结论.
证明：假设△ABC 的三个内角中没有一个角大于或等于 60°，
则∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，
从而∠A +∠B +∠C＜60° + 60° + 60°＝180°.
这与“三角形的内角和等于 180°”矛盾，
故假设不成立.
因此，△ABC 的三个内角中至少有一个角大于或等于 60°.
像上例这样，当直接从条件出发证明一个命题比较困难时，可以先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件、定
义、基本事实、真命题等产生矛盾，得出假设不成立，从而判断所求证命题正确，这种证明方法叫作反证法.
归 纳
反证法概念
反证法基本步骤：
(1) 假设命题不成立；
(2) 导出矛盾；
(3) 肯定结论.
应用反证法的情形：
(1) 直接证明困难；
(2) 需分成很多类进行讨论；
(3) 结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”
的一类命题；
(4) 结论为“唯一”类命题.
用反证法证明时，导出矛盾的几种可能：
（1）与原命题的条件矛盾；
（3）与定义、公理、定理、性质矛盾；
（2）与假设矛盾;
（4）与客观事实矛盾.
练 习
用反证法证明：如果ab＝0，那么a＝0或b＝0.
证明：假设a≠0，且b≠0，则ab≠0.
因此，如果ab＝0，则a＝0或b＝0.
这与ab＝0矛盾，
课堂小结
课堂小结
真命题的证明
直接证明
反证法
反设结论
推理
导出矛盾
(画图)写出已知、求证
写出证明过程
证得结论
假命题的证明
举反例
随堂检测
1. 命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是 (　　)
A．两个内角是直角
B．有三个内角是直角
C．至少有两个内角是直角
D．没有一个内角是直角
C
-1 和 -3 的积是 -1×(-3) > 0，-1 和 -3 不是正数.
2. 举反例说明下列命题是假命题：
(1) 两个锐角的和是钝角；
(2) 如果数 a，b 的积 ab＞0，那么 a，b 都是正数；
直角三角形的两个锐角和不是钝角.
3. 如图，现有以下 3 个论断：①AB∥CD；
②∠B =∠C；③∠E =∠F. 请以其中 2 个论断为条件，另一个论断为结论构造命题.
(1) 你构造的是哪几个命题
(2) 请选择其中一个真命题加以证明.
解：(1)由①②得③；由①③得②；
由②③得①.
(2) 由①②得③，证明过程如下：
∵ AB∥CD，
∴∠EAB =∠C.
又∵∠B =∠C，
∴∠EAB = ∠B.
∴CE∥BF.
∴∠E =∠F.
(答案不唯一)
4. 求证：△ABC 中不能有两个钝角．
证明：假设△ABC 中有两个钝角，
不妨设∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°，
则∠A＋∠B＋∠C＞180°.
这与三角形的内角和定理相矛盾，
所以假设不成立，因此原命题正确，
即△ABC 中不能有两个钝角．
完成对应课时练习
作业布置

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