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第四章 三角形
课题2 三角形的内角和定理
知识回顾
如图，在图①中，已知过点A的直线DE∥BC，那么∠B＝∠____，∠C＝∠____.在图②中，已知过点C的直线DE∥BA，那么∠B＝∠____，∠A＝∠____．
B
C
A
D
E
图①
B
A
C
E
D
图②
BAD
CAE
BCD
ACE
情景导入
任意三角形的内角和都是180° 吗？为什么？
折叠
锐角三角形
测 量
40°
68°
72°
40°＋68°＋72°＝180°
量角器测量演示
知识模块一　探究三角形的内角和定理及三角形中的相关概念
自学互研
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角撕下来拼合在一起.
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来证明.
还有其他的拼接方法吗？
从上面的操作过程，能发现证明的思路吗？
求证：∠A +∠B +∠C = 180°.
已知：△ABC .
1
2
验 证
证法1：过点 A 作 l∥BC，
则∠B =∠1，∠C =∠2
(两直线平行，内错角相等).
∵∠1 +∠2 +∠BAC = 180°，
∴∠B +∠C +∠BAC = 180°.
证法2：延长 BC 到 D，过点 C 作 CE∥BA，
C
B
A
E
D
1
2
则∠A =∠1
(两直线平行，内错角相等)，
∠B =∠2
(两直线平行，同位角相等).
又∵∠1 +∠2 +∠ACB = 180°，
∴∠A +∠B +∠ACB = 180°.
C
B
A
E
D
F
证法3：过 D 作 DE∥AC，DF∥AB.
∴∠C = ∠EDB，∠B = ∠FDC
(两直线平行，同位角相等)，
∠A +∠AED = 180°，
∠EDF +∠AED = 180°
(两直线平行，同旁内角相补).
∴∠A = ∠EDF.
∵∠EDB +∠EDF +∠FDC = 180°，
∴∠C +∠A +∠B = 180°.
例1 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的 3 倍，∠C 比∠B 大 15°，求∠A，∠B，∠C 的度数.
解：设∠B 为 x°，则∠A 为 (3x)°，∠C 为
(x + 15)°，
从而3x + x + (x + 15)＝180，
解得 x＝33.
所以 3x＝99，x + 15＝48.
答：∠A，∠B，∠C 的度数分别为 99°，33°，48°.
例题与练习
归 纳
由于三角形内角和等于180°，而三角形的外角与它相邻的内角和也为180°，由此可得：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
(1)______________的三角形叫作锐角三角形，______________的三角形叫作直角三角形，________________的三角形叫作钝角三角形．
练 习
三个角都是锐角
有一个角是直角
有一个角是钝角
1.填空
(2)直角三角形可用符号“____”来表示，例如，直角三角形ABC可以记作“Rt△ABC”．在直角三角形中，夹直角的两边叫作______，直角的对边叫作______.两条直角边相等的直角三角形叫作__________________．
(3)三角形的一边与另一边的延长线所成的角叫作三角形的______．
Rt△
直角边
斜边
等腰直角三角形
外角
2．(1)在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，则∠C＝____；∠B＋∠C＝____；
(2)在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，则∠A＝____；∠B＋∠A＝____；
(3)在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝85°，则∠A＝____；∠C＋∠A＝____．
60°
90°
30°
90°
5°
90°
一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？
因为三角形的内角和等于 180°，因此最多有一个直角或一个钝角.
说一说
1.三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形；
锐角三角形
3.有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形.
钝角三角形
2.有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，
直角三角形
直角边
直角边
斜边
A
B
C
直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC；
两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形.
定义如图，把△ABC 的一边 BC 延长，可得到∠ACD.像这样，把三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫作三角形的外角.
∠ACD 是△ABC 的一个外角
C
B
A
D
三角形的外角
A
B
C
画一画 画出△ABC 的所有外角，共有几个呢
每一个三角形都有 6 个外角．
每一个顶点相对应的外角都有 2 个，且这 2 个角为对顶角.
三角形的外角应具备的条件：
① 角的顶点是三角形的顶点；
∠ACD 是△ABC 的一个外角，
C
B
A
D
每一个三角形都有 6 个外角．
② 角的一边是三角形的一边；
③ 另一边是三角形中一边的延长线.
知识模块二　运用三角形内角和定理和外角的性质解决问题
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
问题1 如图，△ABC 的外角∠BCD 与其相邻的内角∠ACB 有什么关系？
∠BCD 与∠ACB 互补.
三角形外角性质
问题2 如图，△ABC 的外角∠BCD 与其不相邻的两内角 (∠A，∠B ) 有什么关系？
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
∵∠A +∠B +∠ACB = 180°，∠BCD +∠ACB = 180°，
∴∠BCD =∠A +∠B.
三角形内角和定理的推论
A
B
C
D
(
(
(
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
应用格式：
总 结
因为∠ACD 是△ABC 的一个外角，所以∠ACD =∠A +∠B.
例题 如图，已知 AD 是∠ABC 的角平分线，∠ADB = 98°，∠C = 70°，求∠B 的度数.
解 因为∠ADB =∠C + ∠CAD，
例题与练习
所以∠CAD =∠ADB－∠C = 98°－70° = 28°.
又∠BAD =∠CAD，
所以∠BAD = 28°.
因此，∠B = 180°－∠ADB－∠BAD = 54°.
如图，直线DE分别交△ABC的边AB，AC于点D，E，若∠B＝67°，∠C＝74°，∠AED＝48°，求∠BDE的度数．
练一练
解：∵∠B＝67°，∠C＝74°，
C
B
A
D
E
∴∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－67°－74°＝39°.
又∵∠AED＝48°，
∴∠BDE＝∠A＋∠AED＝39°＋48°＝87°.
三角形
三角形内角和定理
三角形外角的性质
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三个内角的和为180°
↑
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
↓
课堂小结
1. 求出下列各图中的 x 值.
x = 70
x = 60
随堂检测
x = 30
x = 50
2. (1) 如图，∠BDC 是_______的
外角，也是_______的外角；
(2) 若∠B = 45°， ∠BAE = 36°，
∠BCE = 20°，求∠AEC 的度数.
A
B
C
D
E
△ADE
△ADC
解：根据三角形外角的性质有
∠ADC =∠B +∠BCE，
∠AEC =∠ADC +∠BAE，
所以∠AEC =∠B +∠BCE +∠BAE
= 45° + 20° + 36° = 101°.
解：因为∠ADC 是△ABD 的外角，
3. 如图，D 是△ABC 的 BC 边上一点，∠B = ∠BAD， ∠ADC = 80°，∠BAC = 70°，求：
（1）∠B 的度数； （2）∠C 的度数.
因为在△ABC 中，∠B +∠BAC +∠C = 180°，
所以∠C = 180° - 40° - 70° = 70°.
所以∠ADC =∠B +∠BAD = 80°.
又因为∠B =∠BAD，
A
B
C
D
所以∠B = = 80°×= 40°
解：已知 DE⊥AB，则∠FEA＝90°．
4.如图，△ABC 中，D 在 BC 的延长线上，过 D 作 DE⊥AB 于 E，交 AC 于 F. 已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
因为 在△AEF 中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，
所以∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.
又 ∠CFD＝∠AFE，
所以∠CFD＝60°.
则在△CDF 中，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.
完成对应课时练习
作业布置

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