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第四章 三角形
课题5 定理，推论
知识回顾
三角形的内角和等于180°；直角三角形的两个锐角互为余角．
命题可以写成“如果……，那么……”的形式，通常把 “如果” 引出的部分称为条件， “那么” 引出的部分称为结论．
自学互研
知识模块一　探究对定理，推论的证明的步骤
“三角形的内角和等于180°”称为“三角形的内角和定理”.
定 义
经过证明为真的命题叫作定理.
定 理
利用“三角形的内角和定理”可直接推出“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，于是可将这一结论称为“三角形的内角和定理的推论”，通常将该推论简称为“三角形外角定理”.
利用某个定理直接推导出的真命题叫作这个定理的推论.
推论
探究：如图，在△ABC 中，已知∠BAC = 80°，
∠ABC = 60°，∠BCA = 40°，∠ACE，
∠CBD，∠BAF 是△ABC 的三个外角，问：这三个外角的和等于多少度？由此你能猜测出什么结论？
A
B
C
D
F
E
80°
60°
40°
解：因为∠ACE = 180°－40° = 140°，
∠CBD = 180°－60° = 120°，
∠BAF = 180°－80° = 100°，
所以∠ACE +∠CBD +∠BAF =
140° + 120° + 100° = 360°.
A
B
C
D
F
E
80°
60°
40°
已知：如图，∠BAF，∠CBD 和∠ACE 分别是△ABC 的三个外角.
求证：∠BAF +∠CBD +∠ACE = 360°.
A
B
C
D
F
E
猜测：三角形的三个外角之和等于 360°.
证明：如图：
所以 ∠BAF +∠CBD +∠ACE
A
B
C
D
F
E
因为∠BAF = 180°－∠BAC，∠CBD = 180°－∠ABC，∠ACE = 180°－∠ACB，
推论：三角形的外角和等于 360°.
= (180°－∠BAC) + (180°－∠ABC) + (180°－∠ACB)
= 540°－(∠BAC +∠ABC +∠ACB)
= 540°－180°
= 360°.
命题“两直线平行，同位角相等”是真命题吗？写出它的逆命题并判断真假.
解：原命题是真命题.
平行线的性质定理1
两直线平行，同位角相等
它的逆命题是“同位角相等，两直线平行”.
逆命题是真命题.
平行线的判定定理1
如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就称它为原定理的逆定理，并将这两个定理称为互逆定理.
归 纳
判断一个定理是否有逆定理，应写出这个定理的逆命题，再分析是否为真命题，若是真命题，则它就是原定理的逆定理；若逆命题是假命题，则原定理没有逆定理．
(1)如图，把△ABC的一边BC延长，则∠ACE叫作△ABC的一个____，∠ACB是与它____的内角，∠BAC，∠ABC是与它______的内角．
练 习
1.填空
A
B
C
E
D
F
外角
相邻
不相邻
(2)三角形的一个外角等于_________________
__________．
(3)与三角形的一个内角相邻的外角有____个，它们是一对________．三角形的外角和等于____．
与它不相邻的两个
内角的和
2
对顶角
360°
2．如图，在△ABC中，已知∠BAC＝80°，∠ABC＝60°，∠BCA＝40°，求∠ACE＋∠CBD＋∠BAF的和．
解：∠ACE＝180°－40°＝140°，
A
B
C
E
D
F
∴∠ACE＋∠CBD＋∠BAF＝140°＋120°＋100°＝360°.
∠CBD＝180°－60°＝120°，
∠BAF＝180°－80°＝100°，
3．证明三角形的外角和等于360°.
已知，如图，∠1，∠2，∠3分别是△ABC的外角，求证：∠1＋∠2＋∠3＝360°.
证明：如图，∵∠1＝180°－∠4，∠2＝180°－∠5，∠3＝180°－∠6，
A
B
C
E
D
F
1
2
3
4
5
6
∴∠1＋∠2＋∠3＝180°－∠4＋180°－∠5＋180°－∠6＝180°×3－(∠4＋∠5＋∠6)＝540°－180°＝360°.
A
B
C
E
D
F
1
2
3
4
5
6
知识模块二　探究与图形有关命题证明的步骤
已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C， AE 是外角∠CAD 的平分线.
求证：AE∥BC.
例1 证明：在一个三角形中有两个角相等，则与第三个角相邻的外角平分线平行于第三个角的对边.
分析：对于文字证明题，一般先画出图形，再写出已知、求证，然后进行证明.
证明：根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得，
∠CAD =∠B +∠C.
又∠B =∠C，
于是∠CAD = 2∠B.
由于 AE 是∠CAD 的平分线，
因此∠CAD = 2∠DAE，
从而 2∠B = 2∠DAE，
即∠B =∠DAE.
所以 AE∥BC (同位角相等，两直线平行).
证明与图形有关的命题时一般有以下步骤：
归 纳
先根据命题的条件画出图形，写出已知条件；
根据命题的结论写出求证；
从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及定理进行逻辑推理、计算，得出需要求证的结论；或者运用反证法证明．
如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点
E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.求证：∠P＝90°.
证明：∵AB∥CD，
练 习
∴∠BEF＋∠DFE＝180°.
又∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，
B
C
P
D
A
F
E
∴∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE.
∴∠PEF＋∠PFE＝(∠BEF＋∠DFE)＝90°.
∵∠PEF＋∠PFE＋∠P＝180°，
∴∠P＝90°.
B
C
P
D
A
F
E
定理
逆定理
推论
证明
↓
举反例
基本事实
少数
假命题
真命题
→
命题
课堂小结
随堂检测
1. 在括号内填上理由.
已知：如图，∠A +∠B = 180°.
求证：∠C +∠D = 180°.
证明：∵∠A +∠B = 180° (已知)，
∴ AD∥BC ( ).
∴ ∠C +∠D = 180°
( ).
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
2. 已知：如图，直线 AB，CD 被直线 MN 所
截，∠1 =∠2.
求证：∠2 =∠3，∠3 +∠4 = 180°.
证明： ∵ ∠1 =∠2，
∴∠2 =∠3（两直线平行，内错角相等），
∠3 +∠4 = 180°（两直线平行，同旁内角互补）.
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）.
3. 已知：如图，AB 与 CD 相交于点 E.
求证：∠A +∠C =∠B +∠D.
证明：∵ AB 与 CD 相交于点 E，
∴∠AEC =∠BED (对顶角相等).
又 ∵∠A +∠C +∠AEC =∠B +∠D +∠BED = 180°
∴∠A +∠C =∠B +∠D.
（三角形内角和定理）
作业布置
完成对应课时练习

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