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第四章 三角形
课题8 全等三角形的判定定理（角边角、角角边）
情景导入
一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕成了如图形状，你能帮老师制作出与原来同样大的纸板吗？
自学互研
知识模块一　探索发现全等三角形的判定定理2“角边角”定理
如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？
A
B
C
A
B
C
图一
图二
“两角及夹边”
“两角和其中一角的对边”
它们能判定两个三角形全等吗？
把△ABC 放到△A'B'C' 上，使点 B 与点 B' 重合，
已知在△ABC 和△A′B′C′ 中，其中 BC = B′C′ = 3 cm，∠B =∠B′ = 40°，∠C = ∠C′ = 60°，如图所示.
A
B
C
A′
B′
C′
A
(C)
(B)
BC 落在射线 B'C' 上，点 A 与点 A' 在 B'C' 的同侧，
则由 BC = B'C' = 3 cm 可得，点 C 与点 C' 重合.
因为∠B =∠B' = 40°，
所以射线 BA 与射线 B'A' 重合.
A
B
C
A′
B′
C′
A
(C)
(B)
又∠C =∠C' =60°，故射线 CA 与射线 C'A' 重合.
因为 C'A' 与 B'A'，CA 与 BA 都有且只有一个交点，
所以点 A 与点 A' 重合.
于是△ABC 与△A'B'C' 完全重合，
从而△ABC≌△A'B'C' .
A
B
C
A′
B′
C′
A
(C)
(B)
由此猜测：
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
数学上已经证明上述猜测成立，并称之为全等三角形的判定定理(角边角).
“角边角”判定三角形全等的方法
A
B
C
归 纳
有两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）.
A′
B′
C′
文字语言：
几何语言：
∠A =∠A′ (已知)，
AB = A′B′ (已知)，
∠B =∠B′ (已知)，
A
B
C
A′
B′
C′
在△ABC 和△A′B′C′ 中，
∴△ABC≌△A′B′C′ (角边角).
例1 已知：如图，点 A，F，E，C 在同一条直线上，AB∥DC，AB = CD，∠B =∠D.
求证：△ABE≌△CDF.
证明：∵ AB∥DC，
∴∠A =∠C.
在△ABE 和△CDF 中，
∴△ABE≌△CDF (角边角).
∠A =∠C，
AB = CD，
∠B =∠D，
例题与练习
1．如图，已知∠A＝∠D，EF∥BC，那么要用ASA得到△ABC≌△DEF，还要添加条件___________________．
练 习
AC＝DF或AF＝DC
A
B
F
C
D
E
知识模块二　“角边角”定理的运用
例2 如图，∠1 =∠2，∠C =∠E，AC = AE.
求证：△ABC≌△ADE.
证明：因为∠1 =∠2，
所以△ABC≌△ADE(角边角).
所以∠1 +∠BAE =∠2 +∠BAE，
即∠BAC =∠DAE.
在△ABC 和△ADE 中，
∠BAC =∠DAE ，
AC = AE，
∠C =∠E，
如图，∠B＝∠C＝∠DEF，点D，E，F分别在AB，BC，CA上，且BD＝CE.求证：ED＝FE.
练 习
证明：∵∠DEC＝∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF，∠DEF＝∠B，
∴∠BDE＝∠CEF.
A
B
C
D
F
E
在△EBD和△FCE中，
∴△EBD≌△FCE(ASA).
∴ED＝FE.
∠BDE =∠CEF ，
BD = CE，
∠B =∠C，
A
B
C
D
F
E
知识模块三　全等三角形的判定定理3“角角边”定理及运用
如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等吗？为什么？
议一议
解：因为∠A +∠B +∠C = 180°，
所以∠C =∠C′.
又由于 BC = B′C′，∠B =∠B′，
因此△ABC≌△A′B′C′ (角边角).
如图，在△ABC 与△A'B'C' 中，满足∠A =∠A'，∠B =∠B'，BC = B'C'.
∠A′ +∠B′ +∠C′ = 180°，
由此得到全等三角形的判定定理（角角边）
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简写成“角角边”(AAS).
归 纳
“角角边”判定三角形全等的方法
文字语言：
A
B
C
A′
B′
C′
几何语言：
在△ABC 和△A′B′C′ 中，
∠A =∠A′（已知），
∠B =∠B′ （已知），
AC = A′C′（已知），
∴△ABC≌△A′B′C′（角角边）.
例3 已知：如图，∠B =∠D，∠1 =∠2.
求证：△ABC≌△ADC.
证明：因为∠1 =∠2，
所以∠ACB =∠ACD (等角的补角相等).
在△ABC 和△ADC 中，
所以△ABC≌△ADC (角角边).
∠B =∠D，
∠ACB =∠ACD，
AC = AC，
例题与练习
练 习
1．如图，已知AC＝DF，EF∥BC，那么要用AAS得到△ABC≌△DEF，还要添加条件___________，并证明．
A
B
F
C
D
E
∠B＝∠E
证明：∵EF∥BC，
∴∠ACB＝∠DFE.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(AAS).
∠B =∠E，
∠ACB =∠DFE，
AC = DF，
A
B
F
C
D
E
课堂小结
角边角
角角边
内容
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”)
应用
为证明线段和角相等提供了新的依据
注意
注意“角角边”、“角边角”中两角与边的区别
两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成 “角角边”)
随堂检测
证明：在△ACD 和△ABE 中，
∠A = _____( )，
________ ( )，
∠C =____ ( )，
∴△ACD≌△ABE ( ).
∴ AD = AE（ ）.
∠A
公共角
AC = AB
∠B
角边角
全等三角形的对应边相等
1. 如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，AC = AB，∠B =∠C. 求证：AD = AE.
已知
已知
A
D
B
C
O
E
∵
2. 已知：在△ABC 中，∠ABC = ∠ACB，
BD⊥AC 于点 D，CE⊥AB 于点 E.
求证：BD = CE.
证明：∵ BD⊥AC，CE⊥AB，
在△CDB 和△BEC 中，
∠DCB = ∠EBC，
BC = BC ，
∴△CDB≌△BEC (角角边).
∠CDB =∠BEC = 90°，
∴ BD = CE.
∴∠CDB =∠BEC = 90°.
完成对应课时练习
作业布置

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