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第四章 三角形
课题10 全等三角形的应用
知识回顾
1．到目前为止，可以作为判别两个三角形全等的方法有__种，分别是_____________________ ．
4
SAS，ASA，AAS，SSS
2.如图，要证明△ACE≌△BDF，根据给定的条件和指明的依据，将应当添设的条件填在横线上.
(1) AC∥BD，CE = DF，________.(边角边)
(2) AC = BD， AC∥BD，__________. (角边角)
(3) CE = DF，________，________. (边边边)
C
B
A
E
F
D
AC = BD
∠A = ∠B
AC = BD
AE = BF
自学互研
知识模块　全等三角形的应用
思考：如图，为测量河宽 AB，小楠从河岸的 A 点沿着与 AB 垂直的方向走到 C 点，并在 AC 的中点 E 处立一根标杆，然后从 C 点沿着与 AC 垂直的方向走到 D 点，使点D，E，
B 恰好在一条直线上.
于是小楠说：“CD 的长就
是河的宽度.”你认为小楠
说得对吗？为什么
A
B
E
C
D
解：如图，在△AEB 和△CED 中，
所以△AEB≌△CED (角边角).
从而 AB = CD.
即 CD 的长就是河的宽度.
∠A =∠C = 90°，
AE = CE，
∠AEB =∠CED (对顶角相等)，
因此，小楠说得对.
例1 小玲家有一个小口玻璃瓶，她想知道它的内径是多少，但是尺子不能伸到里边测量，于是她想了个办法：将两根长度相同的细木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动(如图所示)，使 CD 与瓶底平行，这样只要量出 AB 的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少，你知道其中的理
由是什么吗（木条的粗细忽略不计)？
分析：只需要说明 AB 和 CD 相等即可.
例题与练习
解：如图，连接 AB，CD，
所以△AOB≌△COD (边角边)，
由题意可知，OA = OB = OC = OD.
在△AOB 和△COD 中，
从而 AB = CD，
即 AB 的长等于玻璃瓶的内径.
OA = OC，
∠AOB =∠COD (对顶角相等)，
OB = OD，
例2 在甲楼底部、乙楼顶部分别安装一盏射灯. 其中 A 灯恰好照到 B 灯，B 灯恰好照到甲楼的顶部 C 处，如图所示. 已知 AE 为水平线，CA⊥AE，BE⊥AE，如果两盏灯的光线 AB，BC 与水平线的夹角相等，那么能否说甲楼高度是乙楼高度的 2 倍？为什么
解：如图，过点 B 作 BF⊥AC，交 AC 于点 F，
则∠CFB =∠AFB = 90°.
又∠CFB =∠CAE = 90°，
所以 FB∥AE，
从而∠ABF =∠BAE.
因为两盏灯的光线 AB，BC 与水平线的夹角相等，
所以∠CBF =∠BAE，从而∠CBF =∠ABF.
所以△CBF≌△ABF（角边角），从而 CF = AF.
在△CBF 和△ABF 中，
∠CBF =∠ABF，
BF = BF，
∠CFB =∠AFB，
又 FA⊥AE，BE⊥AE，且 AE∥FB，
所以 AF，EB 是平行线 AE 与 FB 的公垂线段，
故 AF = EB，从而AC = 2AF = 2EB.
因此，可以说甲楼高度是乙楼高楼的 2 倍.
全等三角形的应用，可以从求证的结论出发，根据已知条件画图，结合图形逐步寻求解决问题所需条件，同时注意对图形本身隐含条件进行挖掘，如对顶角、公共角、公共边等．
归 纳
1.如图，(1)已知：AD＝BC，∠DAB＝∠CBA，求证：BD＝AC；
(2)已知：AD＝BC，AC＝BD，求证：∠ACD＝∠BDC.
练 习
证明：(1)在△ABD和△BAC中，
∴△ABD≌△BAC(SAS).
AD=BC，
∠DAB =∠CBA ，
AB=BA，
∴BD＝AC；
A
D
C
B
(2)在△ADC和△BCD中，
∴△ADC≌△BCD(SSS).
∴∠ACD＝∠BDC.
AD=BC，
∠DAB =∠CBA ，
AB=BA，
A
D
C
B
2.如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
求证：DE＝DF.
证明：连接AD.
∴△ACD≌△ABD(SSS).
在△ACD和△ABD中，
AC=AB，
CD=BD，
AD=AD，
F
E
A
C
B
D
∴∠DCA＝∠DBA.
∵∠DCA＋∠DCF＝∠DBA＋∠DBE＝180°，
∴∠DCF＝∠DBE.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
F
E
A
C
B
D
在△DBE和△DCF中，
∴△DBE≌△DCF(AAS).
∴DE＝DF.
∠DEB = ∠DFC ，
∠DBE = ∠DCF ，
DB=DC，
F
E
A
C
B
D
课堂小结
判定三角形全等的思路
已知两边
已知一边一角
已知两角
找夹角(SAS)
找第三边(SSS)
找任一角(AAS)
边为角的对边
边为角的一边
找角的另一边(SAS)
找边的对角(AAS)
找夹边的另一角(ASA)
找夹边(ASA)
找其中一角的对边(AAS)
随堂检测
1. 如图，已知 AC = DB，∠ACB =∠DBC，则有 △ABC≌△______，理由是______ ，
且有∠ABC = ∠ ______ ，AB = ______.
A
B
C
D
DCB
SAS
DCB
DC
2.如图，某同学将一块三角形玻璃打碎成了三块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是( )
A.带(1)去
B.带(2)去
C.带(3)去
D.带(1)(2)去
C
3. 如图，CD⊥AB 于 D 点，BE⊥AC 于 E 点，BE，CD交于 O 点，且 AO 平分∠BAC. 求证：OB＝OC.
证明：∵ BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠B +∠BOD＝∠C +∠COE＝90°.
∵∠BOD＝∠COE，
又∵ AO 平分∠BAC，
∴∠B＝∠C.
∴∠1＝∠2.
∴△AOB≌△AOC (AAS).
∴ OB＝OC.
∠B＝∠C，
∠1＝∠2，
OA＝OA，
在△AOB 和△AOC 中，
完成对应课时练习
作业布置

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