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第四章 三角形
课题11 已知三边和两边及其夹角作三角形
知识回顾
1．如何作一条线段等于已知线段？
方法一：度量法，先量出已知线段的长度，再画出一条和这条线段长度相等的线段；
方法二：尺规法，用直尺画一条射线，用圆规在射线上截取线段等于已知线段.
2．如图，使用圆规作图，看图填空：
(1)如图①，在射线AM上____线段____＝____．
(2)如图②，以点____为圆心，以任意长为半径作弧，分别与∠AOB两边相交，交____于点____，交____于点____．
截取
AB
a
O
OB
D
OA
C
·
·
·
·
A
a
B
O
A
B
D
C
图①
图②
自学互研
知识模块一　在已知三边的条件下作三角形
·
·
·
·
·
·
c
b
a
已知：线段 a，b，c.
求作△ABC，使 BC＝a，AC＝b，AB＝c.
例1 已知三边作三角形.
① 已知哪些量？所作的三角形满足什么条件？
② 根据已知条件可先作出△ABC 的哪部分？
③ 作好一边后，怎样作出三角形的另外两边？
思 考：
B
M
A
C
(1) 如图，作线段 BC＝a；
(2) 以 B 为圆心，以 c 为半径画弧，再以 C 为圆心，以 b 为半径画弧，两弧在 BC 的一侧相交于点 A；
(3) 连接 AB，AC，则△ABC 为所求作的三角形.
作 法：
a
c
b
上述方法作出的三角形是唯一的吗？为什么
说一说
由全等三角形的判定定理（边边边)可知，这样作出的三角形都是全等的，因此已知三边能作出唯一的三角形.
如图①，已知线段a，b，b>a，求作△ABC，使AB＝AC，BC＝a，AB＋AC＝b.
作法：(1)作线段____＝a；
(2)分别以__________为圆心，
以____长为半径画弧，两弧在
BC的一侧相交于点____；
练 习
a
b
b
图①
BC
点B，点C
b
A
(3)连接____，____，______就是所求作的三角形(如图②)．
A
B
C
图②
AB
AC
△ABC
知识模块二　基本作图“作一个角等于已知角”
如图，已知∠AOB.
求作∠A'O'B'，使∠A'O'B'＝∠AOB.
O
B
A
例2 作一个角等于已知角.
分析：以点 O 为顶点，分别在边 OA，OB 上截取 OC，OD，使 OC = OD，连接 CD，则构成∠COD. 然后作一个与△COD 全等的三角形，则该三角形中与∠AOB 相对应的角，就是所求作的角.
C
D
D'
C'
B'
A'
(1) 作射线 O'A'；
(3) 以 O' 为圆心，以OC (或 OD) 的长为半径画圆弧，交 O'A' 于点 C'；
作 法：
O
B
A
C
D
(2) 以 O为圆心，以任意长为半径画圆弧，交 OA 于点 C，交 OB 于点 D；
O'
(4) 以 C' 为圆心，CD 长为半径画弧，交前弧于点 D'；
(5) 过 D' 作射线 O'B'，则∠A'O'B' 为所求作的角.
D'
C'
B'
A'
O
B
A
C
D
O'
运用所学知识，说一说为什么∠A′O′B′为所求作的角？
证明：∵在△C′O′D′和△COD中，
∴△C′O′D′≌△COD(SSS).
∴∠C′O′D′＝∠COD，
即∠A′O′B′＝∠AOB，
∴∠A′O′B′为所求作的角．
O′C′=OC
O′D′=OD
C′D′=CD
知识模块三　已知两边及其夹角作三角形
如图，已知∠α 和线段 a，c.
求作△ABC，使∠B =∠α，BC = a，BA = c.
例3 已知两边及其夹角作三角形.
(2) 在射线 BM，BN 上分别截取BC = a，BA = c；
(3) 连接 AC，则△ABC 为所求作的三角形.
作 法：
(1) 作∠MBN =∠α；
B
N
M
C
A
课堂小结
尺规作图
作一个角等于已知角
已知三边
已知两边及夹角作三角形
随堂检测
如图，一个机器零件上的两个孔的中心 A，B 已定好，又知第三个孔的中心 C 距 A 点 1.5 m，距 B 点 1.8 m. 如何找出 C 点的位置呢？
解：以点 A 为圆心，1.5 cm 为半径画弧，再以点 B 为圆心，1.8 cm 为半径画弧，两弧的交点即为第三个孔的中心 C.
C
2. 如图，△ABC 是三边均不相等的三角形，DE = BC，以 D，E 为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC 全等，这样的三角形最多可以画____个.
A
B
C
D
E
4
3. 用尺规作一个角等于 90°.
解：如图所示，
P
A
B
C
l
·
① 在直线 l 上截取线段 PA、PB，使 PA = PB；
② 分别以点 A、B 为圆心，大于PA 的任意长度为半径画弧，两弧相交于点 C；
③ 连接 CP，则∠CPA = ∠CPB = 90°.
完成对应课时练习
作业布置

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