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第四章 三角形
课题12 利用全等的判定作三角形
旧知回顾
前面已经学习了全等三角形的判定以及已知三边求作三角形的方法，那么：
1．已知两条线段及一个角，你能用尺规作一个三角形，使得这个三角形的两边长等于已知线段，这两边的夹角等于已知角吗？
2．已知两个角及一条边，你能用尺规作一个三角形，使得这个三角形的两角等于已知角，这两角的夹边等于已知线段吗？
利用不同的工具，你能将一个角从一个位置移到另一个位置吗？你有什么办法？
方法：平移法、折叠法等.
情景导入
能用尺规作图得到吗？
自学互研
知识模块一　已知两角及其夹边作三角形
如图，已知∠α，∠β 和线段 a .
求作△ABC，使∠ABC=∠α，∠ACB=∠β，BC = a.
例1 已知两角及其夹边作三角形.
A
作 法：
(1) 作线段 BC = a；
α
β
E
D
C
B
这里用了哪些作图方法
则△ABC 为所求作的三角形.
(2) 在 BC 的同侧，分别作
∠DBC =∠α， ∠ECB =∠β，BD 与 CE 相交于点 A.
A
C
B
解：作△A′B′C′，使∠B′＝∠B，B′C′＝BC，∠C′＝∠C.
运用所学知识，说一说△ABC是唯一的图形吗？为什么？
在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′(ASA)，
∴△ABC是唯一的作图．
∠B′＝∠B，
BC ＝ B′C′ ，
∠C ＝∠C′，
A′
C′
B′
(1) 如图，已知∠α，∠β 和线段 a.
求作△ABC，使∠ABC =∠a，
∠ACB =∠β，AB = a.
α
β
a
做一做
α
β
a
作法：
(1) 作线段 AB = a；
则△ABC 为所求作的三角形.
(2) 在 AB 的同侧，分别作∠ABD =∠α， ∠BAE = 180°－∠β－∠α，BD 与 AE 相交于点 C.
C
α
E
D
A
B
C
α
E
D
A
B
理由如下：根据三角形全等判定定理中的角角边.
能完全重合.
(2) 根据 (1) 作出的△ABC 与其他同学作出的三角形能完全重合吗？为什么？
在作出的△ABC 中，都有∠ABC =
∠α，∠ACB =∠β，AB = a. 两角和其中角的对边分别相等的两个三角形全等.
所以△ABC 是唯一的.
归 纳
尺规作三角形的一般步骤：
(1)先画出草图；
(2)通过草图找出已知条件与未知之间的关系；
(3)利用基本作图完成作图．
知识模块二　过直线外一点作这条直线的平行线
如图，已知直线AB，点P不在AB上．求作过点P且与直线AB平行的直线．
例2 过直线外一点作这条直线的平行线
A
B
P
(1) 如图，过点 P 作直线 EF，与直线 AB 相交于点 M；
A
B
P
M
E
F
(2) 以点 M 为圆心，以小于 MP 的长度为半径画圆弧，交 MB 于点 G，交 MF 于点 H；
C
D
作 法：
H
G
(3) 以点 P 为圆心，以 MG (或MH )的长为半径画圆弧，交 PF 于点 C；
(5) 连接 PD，则直线 PD 为所求作的平行线.
(4) 以点 C 为圆心，以 HG 的长为半径画圆弧，与前弧交于点 D；
A
B
P
M
E
F
C
D
H
G
直线PD与AB平行吗？
练 习
A
B
P
M
E
F
C
D
H
G
解：平行．
证明如下：
连接HG和CD.
在△HMG和△CPD中，
∴△HMG≌△CPD(SSS)，
HM=CP
MG=PD
HG=CD
∴∠HMG＝∠CPD，
∴PD∥AB.
尺规作图
过直线外一点作直线的平行线
已知两角及夹边作三角形
课堂小结
随堂检测
下列尺规作图能得到平行线的是________.
(填序号)
①
②
③
①②③
2. 如图，已知线段 a 和锐角∠α，求作一个 Rt△ABC，使∠ACB = 90°，∠B =∠α，BC = a.
解：如图所示，
M
N
C
B
A
·
① 作∠MCN = 90°；
② 在射线 CM 上截取 CB = a；
③ 以 B 为顶点，BC 为一边，
在 CM 的上侧作∠CBA = ∠α,交 CN 于 A.
M
N
C
B
A
·
则△ABC 就是所求作的三角形.
完成对应课时练习
作业布置

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