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第四章 三角形
课题15 等边三角形的性质和判定
情景导入
在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形，三条边都相等的三角形，这样的三角形叫作等边三角形．
如图，把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？
A
B
C
自学互研
知识模块一　等边三角形的性质
A
B
C
A
B
C
问题1 等边三角形的三个内角之间有什么关系？
等腰三角形
AB = AC
∠B =∠C
等边三角形
AB = AC = BC
AB = AC
∠B =∠C
AC = BC
∠A =∠B
探 究
等边三角形的性质定理：等边三角形的各角等于 60°.
A
B
C
如图，△ABC 是等边三角形，则 AB = AC = BC.
由于 AB＝AC，则根据等腰三角形的性质定理得，
∠B＝∠C.
同理，由于AC＝BC，因此∠A＝∠B，
从而∠A＝∠B＝∠C.
根据三角形内角和定理得，
∠A+∠B+∠C＝180°，
因此∠A＝∠B＝∠C＝60°.
A
B
C
问题2 等边三角形有“三线合一”的性质吗？等边三角形有几条对称轴？
顶角的平分线、底边上的高、底边的中线三线合一
一条对称轴
A
B
C
三条对称轴
结论：等边三角形每条边上的中线，高和所对角的平分线都“三线合一”.
知识模块二　等边三角形的判定
由上可知，等边三角形的三个角相
等，其逆命题成立吗？
逆命题成立. 如图，在△ABC 中，由于∠A =∠B，则 AC = BC.同理可由∠B =∠C 得 AB = AC.于是AB = AC = BC.
因此△ABC 是等边三角形.
A
B
C
说一说
等边三角形的判定定理1：
归 纳
三个角都相等的三
角形是等边三角形．
思考 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形吗
如图，在△ABC 中，AB＝AC.
情形1 设∠A＝60°.
A
B
C
根据三角形内角和定理得
∠B+∠C＝180°－∠A=180°－60°＝120°.
由于AB＝AC，因此∠B＝∠C＝60°
于是△ABC 是等边三角形.
情形2 设∠B＝60°.
情形3 设∠C＝60°.
A
B
C
由于AB＝AC，因此∠C＝∠B＝60°，
从而∠A＝180°－∠B－∠C=180°－60°－60°＝60°
因此△ABC 是等边三角形.
与情形2 类似，
同理可证△ABC 是等边三角形.
归 纳
等边三角形的判定定理2：
有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
例1 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC.
求证：△ADE 是等边三角形.
A
C
B
D
E
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A =∠B =∠C.
∵ DE∥BC，
∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
∴∠A =∠ADE =∠AED.
∴△ADE 是等边三角形.
想一想：本题还有其他证法吗？
例题与练 习
证明：∵△ABC 是等边三角形，
变式1　若点 D、E 分别在边 AB、AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？
A
D
E
B
C
∴∠A =∠ABC =∠ACB = 60°．
∵ DE∥BC，
∴∠ABC =∠ADE，
∠ACB =∠AED.
∴∠A =∠ADE =∠AED.
∴△ADE 是等边三角形.
变式2 若点 D、E 分别在边 AB、AC 的反向延长线上，且 DE∥BC，结论依然成立吗？
证明：∵△ABC 是等边三角形，
A
D
E
B
C
∴∠BAC =∠B =∠C = 60°．
∵ DE∥BC，
∴∠B =∠D，∠C =∠E．
∴∠EAD =∠BAC =∠D =∠E．
∴△ADE 是等边三角形．
变式3 上题中，若将条件 DE∥BC 改为 BD = CE，△ADE 还是等边三角形吗 试说明理由.
A
C
B
D
E
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A = 60°，AB = AC.
∵ BD = CE，
∴ AB－BD = AC－CE，即 AD = AE.
又∵∠A = 60°，
∴△ADE 是等边三角形.
1.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，过底边BC上一点D作BC的垂线交AC于E，交BA的延长线于点F，则△AEF是 ( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰但非等边三角形
练 习
B
D
C
E
F
A
A
解析：∵AB＝AC，
∵FD⊥BC，
∴∠F＝90°－∠B，∠DEC＝90°－∠C，
∴∠F＝∠DEC.
∵∠DEC＝∠AEF(对顶角相等)，
∴∠F＝∠AEF，
∴∠B＝∠C.
∴∠FDB＝∠EDC＝90°，
B
D
C
E
F
A
∴AE＝AF(等角对等边).
B
D
C
E
F
A
又∵∠BAC＝120°，
∴∠FAE＝180°－∠BAC＝180°－120°＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
2．如图，△ABC为等边三角形，∠1＝∠2＝∠3，试判断△DEF的形状，并说明理由.
解：△DEF是等边三角形．
理由：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
∵∠FDB＝∠FDE＋∠1＝∠A＋∠2，∠1＝∠2，
A
B
E
C
D
F
2
1
3
∴∠FDE＝∠A＝60°.
同理：∠DEF＝60°，∠DFE＝60°.
∴∠FDE＝∠DEF＝∠DFE＝60°，
∴△DEF是等边三角形．
A
B
E
C
D
F
2
1
3
课堂小结
等边
三角形
定义
底 = 腰
特殊性
性质
特殊性
边
三边相等
角
三个角都等于 60°
轴对称性
轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质
判定
特殊性
三边法
三角法
等腰三角形+60°角
随堂检测
1. 等边三角形的两条高线相交所成钝角的度数是 ( )
A．105° B．120°
C．135° D．150°
B
2. 如图，等边三角形 ABC 的三条角平分线交于点 O，过点 O 作 DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有 ( )
A. 4 个 B. 5 个
C. 6 个 D. 7 个
D
A
C
B
D
E
O
3. 如图，在等边△ABC 中，BD 平分∠ABC，BD = BF，则∠CDF 的度数是（　　）
A．10° B．15°
C．20° D．25°
B
C
D
A
F
B
4. 如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，已知△ABC 的周长为 18 cm，EC = 2 cm，则△ADE 的周长是_____cm.
A
C
B
D
E
12
证明：∵△ABD 是等边三角形，
5. 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，∠CAB = 30°，以 AB 为边在△ABC 外作等边△ABD，E 是 AB 的中点，连接 CE 并延长交 AD 于 F．
求证：△AEF≌△BEC．
B
C
D
A
F
E
∴∠DAB＝60°.
∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠CBE＝180°－90°－30°＝60°．
∴∠FAE＝∠CBE．
∵ E 为 AB 的中点，
∴ AE＝BE．
又∵∠AEF＝∠BEC，
∴△AEF≌△BEC (ASA)．
B
C
D
A
F
E
完成对应课时练习
作业布置

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