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第四章 三角形
课题16　线段的垂直平分线的性质和判定
知识回顾
1．下面图形中，哪些是轴对称图形？如果是，请说出它的对称轴．
图①
A
O
B
l
图③
图②
A
B
C
A′
C′
B′
M
N
2．如果两个图形成轴对称，那么这两个图形有什么关系？(如图②，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称)
图②
A
B
C
A′
C′
B′
M
N
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区 A、B、C 之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
B
A
C
情景导入
自学互研
知识模块一　探究线段垂直平分线的性质定理及判定定理
观察：已知点 P 与点 P′ 关于直线 l 对称，如果将线段 PP′ 沿直线 l 折叠，那么点 P 与点 P′ 重合，PD = P′D，∠1 =∠2 = 90°，即直线 l 既平分线段 PP′，又垂直于线段 PP′.
l
D
2
1
(P′)
P
P′
垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.(或中垂线)
由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
l
P
P′
直线 l 就是线段 PP' 的垂直平分线.
归 纳
如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，…是 l 上的点，请你量一量线段 P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B 的长，你能发现什么？请猜想点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离之间的数量关系．
A
B
l
P1
P2
P3
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
＝
＝
＝
探 究
P
A
B
D
l
于是∠ADP =∠BDP = 90°.
设 D 是线段 AB 的中点，根据线段的垂直平分线的定义可知，点 D 在直线 l 上，并且 PD⊥AB，
所以△PAD≌△PBD (边角边).
在△PAD 和△PBD 中，
因此 PA＝PB.
AD＝BD，
∠ADP＝∠BDP，
PD＝PD，
线段垂直平分线的性质定理：
归 纳
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
说一说：线段垂直平分线的性质定理的条件是什么？结论是什么？它的逆命题是什么
条件是：一个点在一条线段的垂直平分线上.
结论是：这个点到这条线段两端的距离相等.
它的逆命题是：如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上.
这个逆命题是真命题吗
下面来证明上述逆命题是真命题，
M
A
B
D
如图，当点 M 不在线段 AB 上时，连接 MA，MB，
取 AB 的中点 D，连接 MD，则 MD 是△MAB 的底边 AB 上的中线，也是 AB 上的高线.
由于 MA = MB，则△MAB 是等腰三角形.
因此，直线 MD 是线段 AB 的垂直平分线，
当点 M 在线段 AB 上时，则 M 就是 AB 的中点，因而点 M 在 AB 的垂直平分线上.
M
A
B
D
从而点 M 在线段 AB 的垂直平分线上.
线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
应用格式：
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
归 纳
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
因为 PA = PB，
所以点 P 在 AB 的垂直平分线上．
1．如图，在△ABC中，ED是BC的垂直平分
线，请写出图中两条相等的线段：_______，_________．　
练 习
A
E
B
D
C
BE＝CE
BD＝CD
2．如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接
OC，若∠AOC＝125°，则∠ABC＝____．
A
B
D
C
O
70°
知识模块二　运用线段的垂直平分线的判定定理解决问题
例2 如图，在△ABC 中，AB，BC 的垂直平分线相交于点 O，连接 OA，OB，OC.
求证：点 O 在 AC 的垂直平分线上.
证明：因为点O在线段AB的垂直平分线上，
所以OA = OB
同理 OB = OC.
于是OA = OC.
(线段垂直平分线的性质定理).
结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.
现在能想到方法确定导入里购物中心的位置，使它到三个小区的距离相等吗？
所以点 O 在 AC 的垂直平分线上
(线段垂直平分线的性质定理的逆定理).
1．如图，在△ABC中，OM是AB的垂直平分线，OA＝OC，求证：点O在BC的垂直平分线上．
证明：连接OB.
∵OM是AB的垂直平分线(已知)，
∴OA＝____(______________________________
__________).
∵OA＝OC(已知)，
练 习
OB
线段垂直平分线上的点到线段两端
的距离相等
A
B
C
M
O
∴____＝____(等量代换)．
∴点O在BC的垂直平分线上(________________
______________________________).
A
B
C
M
O
OB
OC
到线段两端距离
相等的点在线段的垂直平分线上
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC边于点E，垂足为D，AC的垂直平分线交BC边于点
N，垂足为M.
(1)求△AEN的周长；
(2)求∠EAN的度数；
(3)判断△AEN的形状．
A
D
B
E
N
C
M
解：(1)根据线段垂直平分线的性质定理得：AE＝BE，AN＝NC,
∴△AEN的周长＝AE＋EN＋AN＝BE＋EN＋NC＝BC＝
12，即△AEN的周长为12；
A
D
B
E
N
C
M
(2)在△ABC中，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°.
易得∠AEN＝2∠B＝60°，∠ENA＝2∠C＝60°，
∴∠EAN＝60°；
(3)由(2)易知△AEN是等边三角形．
A
D
B
E
N
C
M
课堂小结
线段的垂直平分线的性质和判定
性质
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
随堂检测
1. 如图所示，AC = AD，BC = BD，则下列说法正确的是（　　）
A. AB 垂直平分 CD
B. CD 垂直平分 AB
C. AB 与 CD 互相垂直平分
D. CD 平分∠ACB
A
B
C
D
A
2. 在锐角三角形 ABC 内一点 P，满足 PA = PB = PC，则点 P 是△ABC 的 ( ) A. 三条角平分线的交点
B. 三条中线的交点
C. 三条高的交点
D. 三边垂直平分线的交点
D
3. 已知线段 AB，在平面内找到三个点 D、E、F，使 DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，这样的点的组合共有_______种.
　　　
无数
4. 下列说法：
① 若点 P、E 是线段 AB 的垂直平分线上两点，则 EA = EB，PA = PB；
② 若 PA = PB，EA = EB，则直线 PE 垂直平分线段 AB；
③ 若 PA = PB，则点 P 必是线段 AB 的垂直平分线上
的点；
④ 若 EA = EB，则经过点 E 的直线垂直平分线段 AB．
其中正确的有 _________（填序号）.
①②③
5. 如图，△ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线交 AC于 E ，连接 BE，AB + BC = 16 cm，则 △BCE 的周长是______cm.
A
B
C
D
E
16
完成对应课时练习
作业布置

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