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第四章 三角形
课题17 线段的垂直平分线的作法
情景导入
1．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离____．
2．到线段两端距离相等的点在线段的________
______上．
相等
垂直平
分线
3．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠ A ＝20°.线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE的度数等于( )
A．80°　　　　　B．70°　　　　　
C．60°　　　　　D．50°
C
A
B
C
D
E
自学互研
知识模块一　利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线
说一说 已知线段 AB，如果要作线段 AB 的垂直平分线，可以怎样作？根据是什么？
根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可知，若能找出到线段 AB 两端距离相等的两个点，则这两点确定的直线就是线段 AB 的垂直平分线.
例1 作一条线段的垂直平分线.
如图，已知线段 AB.
求作线段 AB 的垂直平分线.
作法：
① 分别以点 A，B 为圆心， 以相同长度(大于 AB 的长)为半径画弧， 两弧相交于点 C 和点 D；
② 过点 C，D 作直线 CD，则直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线.
例题与练习
·
B
C
D
·
A
E
1．已知线段AB，求作线段AB的中点O.
练 习
·
B
C
D
·
A
0
作法：作线段AB的垂直平分线CD，交线段AB于点O.点O就是线段AB的中点．
分析：线段的垂直平分线经过线段的中点．
2.如图，已知点 A、点 B 以及直线 l. 用尺规作图的方法在直线 l 上求作一点 P，使 PA＝PB
(保留作图痕迹，不要求写出作法).
解：如图所示.
M
N
A
B
l
P
知识模块二　过已知点作已知直线的垂线
如何用尺规过一点 P 作已知直线 l 的垂线呢？
若能找到直线 l 上的一条线段 AB，使 AB 的垂直平分线经过点 P，则该垂直平分线就是所求作的直线.
由于点 P 与已知直线 l 的位置关系有两种，于是需分情况来作图.
① 以点 P 为圆心，以任意长为半径画圆弧，交直线 l 于点A，B.
(1) 点 P 在直线 l 上时.
② 分别以 A，B 为圆心，以相同长度(大于 AB 的长)为半径画弧，两弧交于点 C.
③ 过点 C，P 作直线 CP，则直线 CP 为所求作的直线.
A
B
C
l
·
P
(2) 当点 P 在直线 l 外时.
① 以点 P 为圆心，以大于点 P 到直线 l 的距离的长度为半径画弧，交直线 l 于点 A，B；
② 分别以 A，B 为圆心，以相同长度(大于 AB 的长)为半径画弧，两弧相交于点 C；
③ 过点 C，P 作直线 CP，
则直线 CP 为所求作的直线.
·
P
A
B
C
l
第一步的目的是什么？画弧的半径为什么要大于 P 到 l 的距离？
如图，已知线段 a，h．
求作△ABC，使 AB = AC，且 BC = a，高 AD = h．
思考：
① 所作的图形是什么？满足哪些条件？
② 根据条件，你认为先作出等腰三角形的哪部分？
③ 如何作底边上的高？底边上的高在什么线上？
底边 BC = a
底边的垂直平分线
·
·
·
·
h
a
例2 已知底边及底边上的高线作等腰三角形.
(1) 作线段 BC＝a；
(2) 作线段 BC 的垂直平分线 MN 交 BC 于点 D；
(3) 在射线 DM (或 DN) 上截取线段 DA，使 DA = h；
(4) 连接 AB，AC，
则△ABC 为所求作的三角形.
作 法：
A
D
C
B
N
M
·
·
·
·
h
a
本题应用了哪几种基本作图法？
分析：由于等腰三角形的顶角平分线也是底边上的垂直平分线，故先以∠AOB 的顶点 O 为顶点，两腰分别在射线 OA，OB 上，构造等腰△ODE，然后过点 O 作底边 DE 的垂直平分线 OC，则射线 OC 就是∠AOB 的平分线.
如图，已知∠AOB，求作∠AOB 的平分线.
A
B
O
例3 求作一个角的平分线.
(2) 分别以 D、E 为圆心，以相同长度(大于 DE 的长)为半径画弧，在∠AOB 内两弧交于点 C；
A
B
O
(1) 以点 O 为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别与 OA，OB 交于点 D、E，连接 DE；
(3) 作射线 OC，则 OC 为所求的∠AOB 的平分线.
D
E
C
作法：　　　
为什么 OC 是∠AOB 的平分线？
1．如图，已知直线l和l外一点P，利用尺规作l的垂线，使它经过点P.
练 习
作法：
(1)以点P为圆心，以大于点P到直线l的距离的长度为半径画圆弧，交直线l于A，B；
·
P
A
B
l
(2)分别以点A，B为圆心，以相同长度(大于AB)的长为半径画圆弧，两弧相交于点C；
(3)过点C，P作直线CP，则直线CP为所求作的直线．
·
P
A
B
C
l
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，用直尺和圆规在AC上求作一点P，使点P到A，B两点的距离相等．(保留作图痕迹，不写作法和证明)．
解：如图，点P即为所作．
·
P
A
B
C
课堂小结
方法与步骤
线段垂直平分线的作法
点在直线上
过一点作已知直线的垂线
点在直线外
应用作图
作角平分线
已知底边及底边上的高作等腰三角形
随堂检测
1. 如图，在△ABC 中，分别以点 A，B 为圆心，大于 AB 长为半径画弧，两弧分别交于点 D，E，则直 线 DE 是（　　）
A.∠A 的平分线
B. AC 边的中线
C. AB 边上的高线
D. AB 边的垂直平分线
A
B
C
D
2. 如图，已知线段 AB 的垂直平分线 CP 交 AB 于点 C，且 AP = 2PC，现欲在线段 AB 上求作两点 D，
E，使其满足 AD = DC = CE = EB，对于以下甲、乙两种作法：
甲：分别作∠APC、∠BPC 的平分线，
分别交 AB 于D、E，则 D、E 即为所求；
乙：分别作 AC、BC 的垂直平分线，
分别交 AB 于 D、E，则 D、E 两点即为所求．
P
A
B
C
下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙都正确
B．甲、乙都错误
C．甲正确，乙错误
D．甲错误，乙正确
P
A
B
C
D
3. 如图，作出△ABC 的 BC 边上的高.
A
B
C
完成对应课时练习
作业布置

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