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第四章 三角形
课题1　认识三角形
旧知回顾
线段AB
(1)一条线段有____个端点，如图，线段有端点A和B，可表示________或________，也可表示为________．
(2)线段的中点：点在线段上，这个点把线段分成______________，这个点叫作线段的中点．
(3)两点之间，______最短．
A
B
a
两
线段BA
线段a
两条相等的线段
线段
情景导入
观察下列图形，在图形中找出三角形。
自学互研
知识模块一　探究三角形中的基本概念
问题1：观察三角形的形成过程，说一说什么叫三角形
定义：不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形.
A
B
C
有三条线段，三个角
问题2：三角形中有几条线段 有几个角
A
B
C
边：
线段 AB，BC，CA 是三角形的边.
顶点：
角：
点 A，B，C 是三角形的顶点.
∠A,∠B,∠C 叫作三角形的内角，简称三角形的角.
记法：三角形 ABC 用符号表示为△ABC.
边 c
边 b
边 a
顶点 C
角
角
角
顶点 A
顶点 B
边的表示：三角形 ABC 的边 AB、AC 和 BC 可用小写字母分别表示为c，b，a.
①位置关系：不在同一直线上；
三角形应满足以下两个条件：
注 意
②连接方式：首尾相接.
表示方法：
三角形用符号“△”表示，如三角形 ABC 可记作“△ABC”，读作“三角形 ABC”，此外 △ABC 还可记作 △BCA，△CAB，△ACB 等.
A
B
C
三角形的分类
观察下列三角形，说一说，按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类？
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三角形的定义
有两条边相等的三角形叫作等腰三角形；
三边都相等的三角形叫作等边三角形(或正三角形)．
等边三角形和等腰三角形之间有什么关系？
三角形按边分类
三边各不相等的三角形
等腰三角形
三角形按照三边情况进行分类：
腰和底不相等的等腰三角形
等边三角形（三边都相等的三角形）
等边三角形是特殊的等腰三角形—腰和底边相等的等腰三角形．
判断：
（1）等边三角形是等腰三角形.（ ）
√
（2）等腰三角形的腰和底一定不相等.（ ）
×
（3）三角形按边可分为等腰三角形、等边
三角形和不等边三角形.（ ）
×
练 习
知识模块二　三角形三边的不等关系
C
A
B
AC + CB ＞ AB（两点之间线段最短）
做一做 如图，在 A 点的小狗，为了尽快吃到 B 点的香肠，它选择了 A B 的路线，而不选择 A C B 的路线，难道小狗也懂数学？
A
B
C
路线1：从 A 到 C 再到 B 的路线走；
路线2：沿线段 AB 走.
请问：路线 1、路线 2哪条路程较短？你能说出根据吗？
解：路线 2 较短；
两点之间线段最短.
A
B
C
AB－BC＜AC
AC－BC＜AB
BC－AB＜AC
由此，能得出什么结论？
AC+BC AB
AB+BC AC
AC+AB BC
三角形的任意两边之和大于第三边.
利用不等式的基本性质，对上面的不等式进行移项变形，还可以得到：
归 纳
三角形的任意两边之差小于第三边.
如图，请量出线段AB，BC，AC的长度(精确到1mm)，根据测量结果填空
(选填“>”或“<”)：
AB＋BC____AC，BC＋AC____AB，
AB＋AC____BC. AB－BC____AC，
BC－AC____AB，
AB－AC____BC.
练一练
A
B
C
>
>
>
<
<
<
例1 如图，D 是△ABC 的边 AC 上一点，AD = BD，试判断 AC 与 BC 的大小.
在△BDC 中，BD + DC > BC
(三角形的任意两边之和大于第三边).
又 AD = BD，
则 AC = BD + DC.
所以 AC > BC.
解：因为 AC = AD + DC，
例题与练习
有下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
(1)4 cm，5 cm，10 cm；
(2)5 cm，6 cm，11 cm；
(3)6 cm，7 cm，12 cm.
练 习
解：(1)因为4＋5<10，所以它们不能组成三角形；
(2)因为5＋6＝11，所以它们不能组成三角形；
(3)因为6＋7>12，所以它们能组成三角形．
知识模块三　三角形中的高线、角平分线、中线
定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.
A
B
C
H
垂足
注意：标明垂直记号和垂足的字母.
高
三角形的高线
由三角形的高你能得到什么结论？
∠AHB = ∠AHC = 90°
A
B
C
H
② AH⊥BC，垂足为 H；
③ 点 H 在 BC 上，且∠AHB = 90° (或∠AHC = 90°).
① AH 是△ABC 的高；
高的描述方法（如图）：有三种
A
B
C
H
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系
(3) 锐角三角形的三条高是在三角形
的内部还是外部
锐角三角形的三条高交于同一点.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
锐角三角形的三条高
如图所示.
O
A
B
C
D
E
F
A
B
C
(1) 画出直角三角形的三条高；
它们有怎样的位置关系
D
直角三角形的三条高交于直角顶点.
(2) 斜边 AC 上的高是BD；
直角边 BC 上的高是AB；
直角边 AB 上的高是CB
直角三角形的三条高
(1) 能画出钝角三角形的三条高吗？
A
B
C
D
E
F
(2) AC 边上的高是哪条线段？
AB 边上的高是哪条线段？
BC 边上的高是哪条线段？
BF
CE
AD
钝角三角形的三条高
三角形的角平分线
在一张纸上画出一个一个三角形并剪下来，将它的一个角对折，使其两边重合.
折痕 AD 所在的射线即为∠BAC 的平分线.
A
B
C
D
在一张薄纸上任意画一个三角形，你能通过折纸的方法得到它吗
三角形的角平分线的定义：
在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.
1
2
A
B
C
D
“三角形的角平分线”是线段，不是射线.
∠1 =∠2 = ∠BAC
例题1 如图，CD 平分∠ACB，DE∥BC，∠AED = 80°，求∠ECD 的度数.
解：∵ CD 平分∠ACB，
又 DE∥BC，
∴∠ACB =∠AED = 80°.
∴∠ECD = 40°.
∴∠ECD =∠BCD = ∠ACB.
A
B
C
E
D
定义：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线.
由三角形的中线能得到什么结论？
BE = CE = BC
A
B
C
E
如图，BE = CE，则线段 AE
是△ABC 的 BC 边上的中线．
三角形的角平分线
例题2 如图，AD 是△ABC 的中线， AE 是△ABC 的高.
（1）图中共有几个三角形？请分别列举出来；
解：图中有 6 个三角形，
它们分别是：
△ABD，
△ADE，
△AEC，
△ABE，
△ADC，
△ABC.
（2）其中哪些三角形的面积相等？
解：因为 AD 是△ABC 的中线，
所以 BD = DC.
因为 AE 是△ABC 的高，也是△ABD 和△ADC 的高，
因此 S△ABD = S△ADC .
所以 S△ABD = BD AE，
S△ADC = DC AE，
解：∵AD 是△ABC 的中线，
例5 如图，△ABC 中，AB > AC，AD 是 BC 边上的中线，若△ABC 的周长为 35 cm，BC = 11 cm，且△ABD 与△ACD 的周长差为 3 cm，求 AB 与 AC 的长.
A
C
D
B
∵△ABC 的周长为 35 cm，
BC = 11 cm，
∴AC + AB = 35 - 11 = 24 (cm).
∴CD = BD.
又∵△ABD 与△ACD 的周长差为 3 cm，
A
C
D
B
∴AB - AC = 3 cm.
∴AB = 13.5 cm，AC = 10.5 cm.
1．如图，在图①中，∠BAD＝∠CAD，那么线段AD叫作△ABC的一条________．在图②中，AF＝FC，那么线段BF叫作△ABC的一条________．在图③中，BH⊥AC，垂足为H，那么线段BH叫作△ABC的一条____．
练 习
A
B
C
F
图②
B
C
A
图①
D
A
C
B
图③
H
角平分线
中线
高
2．如图：
(1)AD是△ABC的角平分线，则∠____＝∠____＝∠____；
(2)AE是△ABC的中线，则____＝____＝____；
BC
BAD
DAC
BAC
BE
EC
A
B
C
F
E
D
(3)AF是△ABC的高，则∠____＝∠____＝90°.
A
B
C
F
E
D
AFB
AFC
课堂小结
三角形的概念及三边关系
三角形
按边分类
三边各不相等的三角形
等腰三角形(包括等边三角形)
三角形的三边关系
任意两边之和大于第三边
三角形的定义：不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形
任意两边之差小于第三边
随堂检测
1. 下列长度的三条线段能否组成三角形？
（1） 3，4，8 （ ）
（2） 2，5，6 （ ）
（3） 5，6，10 （ ）
（4） 3，5，8 （ ）
不能
能
能
不能
2. 一个三角形的三边长分别为 4，7，x，那么
x 的取值范围是(　　)
A．3＜x＜11 B．4＜x＜7
C．－3＜x＜11 D．x＞3
A
3．下列说法正确的是 （　　）
A．三角形三条高都在三角形内
B．三角形三条中线相交于一点
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外
D．三角形的角平分线是射线
B
5. 若等腰三角形的一边长是 4 cm，另一边长是 9 cm， 则这个等腰三角形的周长为______cm.
4. 若等腰三角形的一边长是 5 cm，另一边长是 8 cm， 则这个等腰三角形的周长为_____________.
22
18 cm 或 21 cm
6. 如图，AD 是△ABC 的中线，CE 是△ACD 的中线，S△AEC = 3 cm2，则 S△ABC =_____cm2.
12
作业布置
完成对应课时练习

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