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第四章 三角形
课题7 全等三角形的判定定理（边角边）
情景导入
如图，A，B两点分别位于池塘两端，小伙伴们用下面的方法测量点A，点B间的距离：先在地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝AC，连接BC并延长到E，使CE＝BC，连接DE，那么量出DE的长，就是点A，点B间的距离，他们的测量方法对不对？为什么？
E
A
C
B
D
自学互研
知识模块一　探索发现全等三角形的判定定理1“边角边”定理
探究活动1：一个相等的条件可以吗？
（1）有一条边相等的两个三角形
不一定全等
（2）有一个角相等的两个三角形
不一定全等
结 论：
只有一个相等条件不能保证两个三角形全等.
不一定全等
探究活动2：两个相等的条件可以吗？
3 cm
4 cm
不一定全等
3 cm
4 cm
(1) 有两个角分别相等的两个三角形
(2) 有两条边分别相等的两个三角形
60°
30°
30°
60°
有两个分别相等的条件也不能保证三角形全等.
不一定全等
30°
6 cm
结 论：
(3) 有一个角和一条边分别相等的两个三角形
6 cm
30°
当两个三角形只有一条边(或一个角)相等时，两个三角形不一定全等；
总 结
当只有两条边(或一边一角、两个角)分别对应相等时，两个三角形也不一定全等．
做一做
每位同学在纸上的两个不同位置分别画两个三角形，使它们都有一个角等于50°，且夹这个角的两条边分别是2 cm和2.5 cm.将这两个三角形剪下来叠在一起，你发现了什么？
50°
2 cm
2.5 cm
50°
2 cm
2.5 cm
完全重合
得出全等三角形的判定定理(边角边)：
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简写为“边角边”或SAS．
利用平移、旋转、轴对称知识来证明三角形判定定理的成立
设在△ABC 和△A′B′C′ 中，∠ABC =∠A′B′C′，
A
B
C
AB = A′B′，BC = B′C′.
A′
B′
C′
第一步，如图，将△ABC 沿射线 BB′ 的方向平移，平移的距离等于线段 BB' 的长度.
A
B
C
A1
B'
C1
在这个平移下，将△ABC 的像记为△A1B1C1，则点 B 的像（点B1）与点B 重合，且△A1B1C1≌△ABC，
从而 B1C1 = BC，B1A1 = BA，∠A1B1C1 = ∠ABC.
A′
C′
(B1)
A
B
C
A1
C1
A2
B'(B1)(B2)
A′
C′(C2)
第二步，如图，将△A1B1C1 绕点 B' 旋转，旋转角的大小等于∠C1B'C'.在这个旋转下，将△A1B1C1 的像记为△A2B2C2 ，则点 B1 的像（点B2）与点 B' 重合，点 C1 的像 (点C2) 在射线 B'C' 上，且△A2B2C2 ≌△A1B1C1，
从而 B2A2 = B1A1，B2C2 = B1C1. 又 B1C1 = BC，BC = B'C'，
A
B
C
A1
C1
A2
B'(B1)(B2)
A′
C′(C2)
则 B'C2 = B'C'，于是点 C2 与点 C' 重合.
又∠A2B2C2 =∠A1B1C1，∠A1B1C1 =∠ABC，
∠ABC =∠A'B'C'，
所以∠A2B2C2 =∠A'B'C'.
A
B
C
A1
C1
A2
B'(B1)(B2)
A′
C′(C2)
(C3)
(B3)
(A3)
第三步，如图，作△A2B2C2 关于直线 B'C' 成轴对称的图形，将其像记为△A3B3C3 ，由于点 B2 与点 B' 重合，且均在对称轴 B'C' 上，因此点 B2 的像（点B3 ）与点 B' 重合. 同理可得，点 C2 的像（点C3）与点 C' 重合.
又 △A3B3C3 ≌△A2B2C2 ，于是∠A3B3C3 =∠A2B2C2 .
又点 B3，C3 分别与点 B'，C' 重合，从而∠A3B3C3 =∠A3B'C'，
A
B
C
A1
C1
A2
B'(B1)(B2)
A′
C′(C2)
(C3)
(B3)
(A3)
又∠A2B2C2 = ∠A'B'C'，所以∠A3B3C3 =∠A'B'C'.
于是∠A3B'C' =∠A'B'C'，
因此射线 B'A3与射线 B'A' 重合.
又 B3A3 = B2A2，B2A2 = B1A1，B1A1 = BA，BA = B'A'，
A
B
C
A1
C1
A2
B'(B1)(B2)
A′
C′(C2)
(C3)
(B3)
(A3)
于是 B3A3 = B'A' = B'A3，
因此点 A3 与点 A' 重合.
所以△A3B3C3 与△A′B′C′ 重合，
即△A3B3C3 ≌△A′B′C′ .
上述猜测称为全等三角形的判定定理（边角边)
又△ABC≌△A1B1C1，△A1B1C1≌△A2B2C2，△A2B2C2≌△A3B3C3 ，
因此△ABC≌△A'B'C'.
A
B
C
A1
C1
A2
B'(B1)(B2)
A′
C′(C2)
(C3)
(B3)
(A3)
1．利用平移旋转、轴对称知识证明“情景导入”中测量方法的原理．
解：由作图可知，在△ACB和△DCE中，
练 习
AC＝DC
BC＝EC
∠ACB= ∠DCE
E
A
C
B
D
∴△ACB≌△DCE(SAS).
∴AB＝DE，即量出DE的长就可得AB的长．
2．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE.
求证：△ABD≌△ACE.
证明：如图，∵∠BAC＝∠1＋∠2，
∠DAE＝∠3＋∠2且∠BAC＝∠DAE，
∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2，
∴∠1＝∠3.
A
B
C
E
D
1
2
3
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS).
AB＝AC
AD＝AE
∠1= ∠3
A
B
C
E
D
1
2
3
知识模块二　“边角边”定理的运用
例1 如图，AB 和 CD 相交于 O，且 AO = BO，CO = DO. 求证：△ACO≌△BDO.
证明：在△ACO 和△BDO 中，
∴△ACO≌△BDO (边角边).
AO = BO，
∠AOC =∠BOD (对顶角相等)，
CO = DO，
方法总结
证明三角形全等时，如果题目所给条件不充足，我们要充分挖掘图形中所隐含的条件，如对顶角相等、公共角（边）相等这些.
如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，连接BM，AN.求证：AN＝MB.
练 习
证明：∵△ACM，△CBN都是等边三角形，
∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.
A
C
B
N
M
在△ACN和△MCB中，
∴△ACN≌△MCB(SAS).
∴AN＝MB.
AC = MC，
∠ACN=∠MCB ，
CN = CB，
∴∠ACM＋∠MCN＝∠BCN＋∠MCN，即∠ACN＝∠MCB.
A
C
B
N
M
课堂小结
边角边
内容
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等[简写成“边角(SAS)”]
应用
为证明线段和角相等提供了新的证法
注意
1. 已知两边，可以找“夹角”；
2. 已知一角和这角的一夹边，可找这角的另一夹边
随堂检测
∴ AE + EF = CF + EF，即 AF = CE.
1.如图，点 E、F 在 AC 上，AD∥BC，AD = CB，AE = CF. 求证：△AFD≌△CEB.
F
A
B
D
C
E
证明：∵ AD∥BC，
∴ ∠A =∠C.
∵ 点 E、F 在 AC 上，AE = CF，
在△AFD 和△CEB 中，
AD = CB (已知)，
∠A = ∠C (已证)，
AF = CE (已证)，
∴△AFD≌△CEB (边角边).
2. 如图，AC = BD，∠CAB = ∠DBA，求证：BC = AD.
A
B
C
D
证明：在△ABC 与△BAD 中
AC = BD (已知)
∠CAB =∠DBA(已知)，
AB = BA (公共边)
∴△ABC≌△BAD(边角边).
，
∴ BC = AD
(全等三角形的对应边相等).
完成对应课时练习
作业布置

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