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第四章 三角形
课题13　等腰三角形的性质
知识回顾
1．等腰三角形是有____相等的三角形，其中相等的两边都叫作____，另外一边叫作____，两腰的夹角叫作____，腰和底边的夹角叫作____．
两边
腰
底边
顶角
底角
线段是轴对称图形吗？
情景导入
等腰三角形
自学互研
知识模块一　探究等腰三角形的性质
思考：在等腰△ABC 中，已知 AB = AC，AD 是∠ABC 的中线，则∠B =∠C 吗 ∠BAD =∠CAD 吗 AD 是△ABC 的高线吗？
解：如图，由于 AD 是等腰△ABC 的底边 BC 上的中线，则 BD = CD.
在△ABD 和△ACD 中，
A
B
C
D
AB = AC，
BD = CD，
AD = AD，
因此∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°.
所以△ABD≌△ACD (边边边).
即 AD 是△ABC 的顶角∠BAC 的平分线，
是底边 BC 上的高线.
A
B
C
D
等腰三角形的性质定理：
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.
等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等
角”).
等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”).
归 纳
画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？
不重合！
三线合一
为什么不一样
例1 如图，在△ABC 中，AB = AC，D 为 AB 的中点，点 E 在 AC 上，且 BE = BC = AE.
(1) 求证：ED丄AB；
解：(1) 因为 BE = AE，D 为 AB 的中点，
A
B
C
D
E
1
2
知识模块二　等腰三角形性质的运用
从而ED丄AB (三线合一)
所以 ED 是等腰△EAB 的边 AB 上的中线，
解：因为 AB = AC，BE = BC = AE，
A
B
C
D
E
1
2
(2) 求△ABC 各角的度数.
所以∠ABC =∠C，∠C =∠1，∠A =∠2
(等边对等角).
于是∠1 =∠A +∠2 = 2∠A，
从而∠ABC =∠C =∠1 = 2∠A.
又∠A +∠ABC +∠C = 180°，
于是∠A + 2∠A + 2∠A = 180°，
从而∠A = 36°，
因此∠A，∠ABC，∠C 的度数分别为36°，72°，72°.
A
B
C
D
E
1
2
例2 如图，在△ABC 中，AB = AD = DC，∠BAD = 26°，求∠B 和∠C 的度数.
解：∵ AB = AD = DC，
∴∠B = ∠ADB，∠C= ∠DAC.
设∠C = x°，则 ∠DAC = x°，
∠ADB +∠ADC = 180°，
∠C +∠DAC+∠ADC = 180°，
∴∠ABD =∠ADB =∠C +∠DAC = 2x°.
在△ABC 中，根据三角形内角和定理，得
2x + x + 26 + x = 180，
解得 x = 38.5.
∴∠C = x° = 38.5°，
∠B = 2x° = 77°.
例3 等腰三角形的一个内角是 50°，求这个三角形的底角的度数.
解：当 50° 的角是底角时，三角形的底角就是 50°；
当 50° 的角是顶角时，由于两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是 65°.
方法总结
等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角为锐角时，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．
1．如图，AB＝AC，F为AC上一点，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD＝155°.求∠EDF的度数．
练 习
解：∵AB＝AC，
∵DE⊥AB，FD⊥BC，
∴∠B＋∠1＝∠EDF＋∠1＝90°，
∴∠B＝∠C.
A
B
C
E
F
D
1
∴∠B＝∠EDF＝∠C.
A
B
C
E
F
D
1
又∵∠C＝∠AFD－∠FDC＝155°－90°＝65°，
∴∠EDF＝65°.
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠CAD是外角，AE是∠CAD的平分线．
求证：AE∥BC.
证明：∵AB＝AC，
B
C
A
E
D
∴∠B＝∠C(等边对等角).
∵AE是∠CAD的平分线，
∴∠DAE＝∠CAE(角平分线的定义).
由三角形外角的性质知∠CAD＝∠B＋∠C＝2∠B.
又∵∠CAD＝∠DAE＋∠CAE＝2∠DAE，
∴∠DAE＝∠B，
∴AE∥BC.
B
C
A
E
D
课堂小结
等腰三角形的性质
等边对等角
三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.
推论
等边三角形三个内角相等，且均等于 60°
随堂检测
1. 等腰三角形有一个角是 90°，则另两个角的度数分别是 （ 　　）
A. 30°，60° B. 45°，45°
C. 45°，90° D. 20°，70°
B
2. 如图，在△ABC 中，AB = AC，过点 A 作 AD∥BC，若∠1 = 70°，则∠BAC 的大小为（　　）
A．30° B．40°
C．50° D．70°
B
A
B
C
D
1
⌒
3. (1) 等腰三角形一个底角为 75°，它的另外两个角为 ___________；
(2) 等腰三角形的一个角为 36°，它的另外两个角为____________________；
(3) 等腰三角形的一个角为 120°，它的另外两个角为________.
75°，30°
72°，72° 或 36°，108°
30°，30°
4. 如图，已知△ABC 为等腰三角形，AB＝AC，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求
证：EC∥DF.
证明：∵△ABC 为等腰三角形，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
又∵ BD、CE 为底角的平分线，
A
B
C
D
E
F
∴∠DBC＝∠ABC,
∠ECB＝∠ACB.
∴∠DBC＝∠ECB.
∵∠DBC＝∠F，
∴∠ECB＝∠F.
∴ EC∥DF.
A
B
C
D
E
F
完成对应课时练习
作业布置

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