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第1章 有理数
第1章小结与复习
湘教版 七年级 数学（上）
负数的引入，
有理数的分类
相关概念
乘方的意义
数轴
有理数
有理数的大小比较
加、减运算
有理数的运算
相反数
绝对值
乘、除运算
乘方运算
混合运算
科学记数法
与有理数有关的概念
2. 用正、负数表示具有相反意义的量.
1. 大于 0 的自然数和分数（或小数）就是正数；
在正数前面添上“-”(读作“负号”) 的数叫做负数；
0 既不是正数，也不是负数；
正数和 0 统称为非负数.
一、正数和负数
二、有理数
1. 正整数、零和负整数统称为整数；
正分数和负分数统称为分数；
整数和分数统称为有理数.
有理数
正整数
负整数
负分数
正有理数
负有理数
正分数
零
有理数
正整数
正分数
整数
分数
零
负整数
自然数
2. 有理数的分类
负分数
(1) 按定义分类
(2) 按符号分类
3. 数轴
(4) 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴.
(5) 任何一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点 来表示.
(1) 画一条直线（通常把它水平放置），在直线上取一点 O ，把点 O 叫作原点，用原点表示数 0.
(2) 选定直线的正方向（标上箭头）.
(3) 选择适当的长度为单位长度.
4. 相反数
(1) 两个数只有符号不同，那么其中一个数叫作另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数.
(2) 表示互为相反数的两个数的点，在数轴上分别位于原点的两侧，并且到原点的距离相等.
0 的相反数是 0.
5.绝对值
(1) 一个数的绝对值表示这个数在数轴上的对应点与原点之间的距离. 数 a 的绝对值，记作 |a|.
(2) 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0. 互为相反数的两个数的绝对值相等.
(3) 一般地，如果 a 表示一个数，则
①当 a 是正数时，|a| = a；
②当 a = 0 时，|a| = 0；
③当 a 是负数时，|a| = -a.
6. 倒数
若两个有理数的乘积等于 1，则把其中一个数叫作另一个数的倒数，也称它们互为倒数，0 没有倒数.
7. 有理数大小的比较
(2) 在以向右为正方向的数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大．
(1) 正数大于负数，0 大于负数；
两个负数，绝对值大的反而小．
有理数的运算
1. 有理数的加法
(1) 加法法则
两个负数相加，结果是负数，并且把它们的绝对值相加.
异号两数相加，当正数的绝对值较大时，得正数，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；当负数的绝对值较大时，得负数，并用较大的绝对值减去较小.
互为相反数的两个数相加得 0；
一个数与 0 相加，仍得这个数.
(2) 加法的运算律
交换律 a+b = b+a
结合律 a+b+c = (a+b)+c = a+(b+c)
2. 有理数的减法
减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数.
3. 有理数的乘法
(1) 乘法法则
异号两数相乘得负数，并且把绝对值相乘.
任何数与 0 相乘，仍得 0.
同号两数相乘得正数，并且把绝对值相乘.
(2) 几个不等于 0 的数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.
(3) 乘法的运算律
乘法交换律:a×b=b×a
乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c)
乘法的分配律:a×(b+c)=a×b+a×c
(2) 同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，并把它们的绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数都得 0.
4. 有理数的除法
(3) 除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数.
(1) 对于两个有理数 a，b，其中 b ≠ 0，如果有一个有理数c，使得 cb = a，那么规定 a÷b = c，且把 c 叫作 a 除以 b 的商.
5. 有理数的乘方
(1) 求 n 个相同因数的积的运算，叫作乘方. 乘方的结果叫作幂. 在 an 中，a 叫作底数，n 叫作指数.
幂
指数
底数
(2) 正数的任何正整数次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的任何正整数次幂都是 0.
特别地，a2 通常读作 a 的平方，a3 通常读作 a 的立方.
规定 a1 等于 a.
(1)先算乘方，再算乘除，最后算加减；
(2)同级运算，从左到右进行；
(3)如果有括号，就先进行括号里面的运算 (先小括号，再中括号，最后大括号).
6. 有理数的混合运算
科学记数法
(2) n 为原数的整数位数减去 1.
(1) 把一个大于 10 (小于 -10) 的数表示成 a×10n 的形式，其中 a 大于或等于 1 且小于 10 (a 大于 -10 且小于或等于 -1 )，n 是正整数，这种记法就是科学记数法.
有理数的有关概念
【例1】　分类：在1，－0.1，－789，25，9%，0，－3.14，－2，－1，，
正整数有：________；负整数有：___________；整数有：________________________；正分数有：______；负分数有：____________________；负有理数有：________________________________．
1，25
－789，－1
1，－789，0，25，－1
9%，
－0.1，－3.14，－2
－0.1，－789，－3.14，－1，－2
有理数的大小比较
【例2】　在数轴上标出下列各点：－2.5，|－2.5|，－1，0，1，并用“<”把它们连起来．
－2.5<－1<0<1<|－2.5|.
【例3】　有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，用“<”将a，b，c三个数连接起来___________．
c注意：
(1)0即不是正数也不是负数；
(2)数轴是一条直线，由原点、正方向、单位长度三要素确定，三者缺一不可；
(3)把一个绝对值大于10的数用科学记数法表示成a×10n的形式时，一定要注意1≤|a|<10.
(4)有理数的减法可以转化为加法，有理数的除法可以转化为乘法，有理数的乘方实质是求几个相同因数的乘积．
有理数的运算
【例4】　计算：
（1）－0.5+（－15）－（－17.5）－|－12|；
解：原式=－0.5+（－15）+17.5+（－12）
=（－0.5+17.5）+[（－15）+（－12）]
=17+(－28)
=－11
（2）－－(1－0.5)××[2－(－3)2]；
解：原式=－1－×（2－9）
=－1－×（－7）
=－1+
=
（3）×－2÷
解：原式=27×（－）－2×（－8）
=－1+16
=15
有理数的混合运算要先算乘方，再算乘除，最后算加减．
(1)交换加数的位置时，要连同符号一起交换；
(2)在运用有理数的加法运算律简化运算时，一般先考虑凑零，再考虑同号结合，同类结合，最后考虑凑整．如果能兼顾，则计算更加简便．
方法指导：
【例5】　用简便方法计算下列各题：
(1)24－(－16)＋(－25)－15；
解：原式＝(24＋16)＋[(－25)＋(－15)]
＝40＋(－40)
＝0；
（2）（－++）×（－12）；
解：原式=（-）×（-12）+×（-12）+×（-12）
=6－8－3
=－5
（3）（－）×（－）+（）×（－）；
解：原式=（－）×（－+）
=（－）×
=－
（4）19×（－）；
解：原式=（20－）×（－10）
=－200+2
=－198
【例6】　定义一种新运算：a※b＝(a－b)－ab，则(－4)※2＝_____．
2
科学记数法
【例7】　用科学记数法填空：
(1)70600＝____________；
(2)－3480000＝ ____________ ．
方法指导：a×10n，n的取值与整数位有关，n＝整数位－1.
7.06×104
－3.48×106
【例8】　有关资料表明，一个人在刷牙过程中如果一直打开水龙头，将浪费大约7杯水(每杯水约250mL)，我们某市人口除婴幼儿外，约有100万人口，如果所有的人在刷牙过程中都不关水龙头，则刷牙一次将浪费多少mL水？(用科学记数法表示)
解：浪费的水为：
250×7×1000000＝1750000000＝1.75×109(mL)．
答：刷牙一次将浪费水1.75×109mL.

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