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小结与评价
因式分解
第1章
（湘教版）八年级
上
知识图谱
思考回顾
1. 什么叫作多项式的因式分解？
一般地，把一个多项式表示成若干个整式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式.
例 x2-1=(x+1)·(x-1)
思考回顾
2. 多项式的因式分解与多项式的乘法有什么关系？
整式乘法与因式分解一个是积化和差，另一个是和差化积，是两种互逆的变形。
即：多项式 整式的积
思考回顾
3. 如何找出多项式各项的公因式？
1. 定系数：对于整数系数的多项式来说，公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；
3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即同字母的最低次数.
思考回顾
4. 举例说明如何利用提公因式法进行因式分解.
提公因式法因式分解的步骤：
（1）确定应提取的公因式；
（2）用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；
（3）把多项式写成这两个因式的积的形式.
例 8a3b2 + 12ab3c
=4ab2·2a2+4ab2 ·3bc
=4ab2(2a2+3bc)
思考回顾
5. 举例说明如何利用平方差公式进行因式分解.
1.若多项式中有公因式，应先提取公因式，再进一步分解因式；
2.剩余因式若有两项，异号，两项是平方差，则用平方差公式继续分解因式.
例
思考回顾
6. 举例说明如何利用完全平方公式进行因式分解.
一提：先考虑用提公因式法(公因式可以是单项式或多项式)；
二套：然后考虑用公式法(平方差公式或完全平方公式)，能连续用公式分解的要继续分解；
三查：检查每个因式是否被分解彻底．
例
注意事项
多项式因式分解的结果一定是乘积形式.
2.多项式的乘法运算可以检验因式分解的结果是否正确.
3.提公因式法是把多项式的乘法对加法的分配律从右到左使用，首先要找出多项式各项的公因式，然后把公式提到括号外面.
4.公式法是把乘法公式从右到左使用，从而把多项式因式分解.
5. 在进行因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止.
如x4 - 1 可以分解为(x2 +1)(x2 -1)，但是 x2 - 1 还可以分解为
(x+1) (x-1)，于是x4 - 1 =(x2+1)(x+1)(x-1).
下列各式从左到右的变形中,属于因式分解的是（ ）
A.m(x+y)=mx+my .
B.x2+16x+64=(x+8)2
C.x2+y2-36=x2+(y+6)(y-6)
D.ay+by+c=y(a+b)+c
典例精讲
题型一：因式分解的相关概念
例1
B
多项式39x2+5x-14可因式分解成(3x+a)(bx+c),其中a,b,c均.
为整数,则a+2c的值为( )
A. -12 B.-3
C.3 D.12
典例精讲
题型一：因式分解的相关概念
例2
A
典例精讲
题型二：用提公因式法因式分解
例3
把多项式8a3b2+12ab3c 因式分解时，应提取的公因式是（ ）
A.4ab B.4ab2c
C.4ab2 D.8ab2
C
典例精讲
题型二：用提公因式法因式分解
例4
因式分解：
（1）2m(a-b)-3n(b-a) (2)(2x-y)(x+3y)-(x+y)(y-2x)
解：（1）2m(a-b)-3n(b-a)
=2m(a-b)+3n(a-b)
=(a-b)(2m+3n).
（2）(2x-y)(x+3y)-(x+y)(y-2x)
=(2x-y)(x+3y)+(x+y)(2x-y)
=(2x-y)(x+3y+x+y)
=(2x-y)(2x+4y)
=2(2x-y)(x+2y)
典例精讲
题型三：用公式法因式分解
例5
把多项式(a+b)2- 100进行因式分解，( )
A. (a+b- 10)2 B. (a+b+ 10)2
C. (a+b-10)(a-b+10) D. (a+b-10)(a+b+10)
D
典例精讲
题型三：用公式法因式分解
例6
因式分解:(x-8)(x+2)+6x= .
(x+4)(x-4)
典例精讲
题型三：用公式法因式分解
例7
因式分解：
（1）
解：(1)
=
.
典例精讲
题型三：用公式法因式分解
例7
因式分解：
（2）9(x+y)2-(x-y)2
解：(2)9(x+y)2-(x-y)2
=(3x+3y+x-y)(3x+3y-x+y)
=(4x+ 2y)(2x+4y)
=4(2x+y)(x+2y)
下列等式正确的是（ ）
A.2482+ 248×52+522 = 3002
B.2482- 248×48- 482 = 2002
C.2482+2×248×52+522 = 3002
D.2482- 2×248×48- 482 = 2002
典例精讲
题型四：因式分解的应用
例8
C
已知x2- 2ax+b=(x-3)2,则b2-a2的值是( )
A.-72 B. -45
C.45 D. 72
典例精讲
题型四：因式分解的应用
例9
D
已知x-y=l,xy=-3,求下列各式的值:
(1)x2y-xy2; (2)x2 +y2.
典例精讲
题型四：因式分解的应用
例10
解:(1)原式=xy(x-y)=-3×1=-3;
(2)原式=(x-y)2+2xy=12+2×(-3)= -5.
典例精讲
拓展提升
例11
如图，大小不一的两个等腰直角三角形用两种方式摆放,其中AB= 15,CD=4.设两个三角形的直角边长分别为x和y(x> y> 0).
(1)x2- y2= .
60
典例精讲
拓展提升
例11
如图，大小不一的两个等腰直角三角形用两种方式摆放,其中AB= 15,CD=4.设两个三角形的直角边长分别为x和y(x> y> 0).
(2)[拓展设问]图中阴影部分的面积为 .
30
作业布置
完成本单元测试卷
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