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北京市东直门中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题（区统一试题校本题）
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.若是函数的导函数，则的值为（ ）
A. B. C. D.
2.公益劳动小组有甲、乙、丙三人，他们平均每日公益劳动时间（单位：分钟）分别为48，82，100．从这三人中随机选出两人，记为选出的两人中平均每日公益劳动时间大于60分钟的人数，则（ ）
A. B. C. D.
3.下列两个函数和，的图象不可以由的图象经过平移得到的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.已知函数的定义域为，则“，，且，都有”是“是奇函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知函数在定义域内满足任意两点，（），总有．在下列四组点中，三个点全部在图象上的可能是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
6.已知函数若恰有三个极值点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.设集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|－1A. {x|x>－1} B. {x|x≥1} C. {x|－18.若，则下列各式中正确的是
A. B. C. D.
9.下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（　　）
A. f（x）= B. C. f（x）=x2+1 D. f（x）=lg|x|
10.设，且，则m=（　　）
A. 6 B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.在的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）
12.某款扫地机器人根据接收语音指令完成扫地任务．若语音指令接收清晰，则成功完成扫地任务的概率为0.9；若语音指令接收不清晰，则成功完成扫地任务的概率为0.5．设语音指令接收清晰的概率为，若该款机器人成功完成扫地任务的概率为0.8，则的值为 ．
13.已知函数．设是曲线在点处的切线，过点的直线与垂直，，与轴分别交于点，，则 ．
14.已知点（），（）分别在函数，的图象上，若轴，则的最小值为 ，此时 ．
15.已知函数的定义域为．对，定义集合，．给出下列四个结论：
①存在上的单调递增函数，对，有；
②存在上的单调递增函数，对，有；
③若对，都有，则是偶函数；
④若是偶函数，则对，都有．
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
在中，，．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
17.(本小题12分)
已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求的单调区间，并求其最大值与最小值．
18.(本小题12分)
体能赛有“引体向上”和“障碍跑”两个项目，甲、乙两名选手参加．已知甲选手参加“引体向上”和“障碍跑”结果优秀的概率分别为和，乙选手参加“引体向上”和“障碍跑”结果优秀的概率分别为和．每次体能赛，两名选手参加“引体向上”和“障碍跑”两个项目各一次．
假设一名选手参加两个项目的结果是否优秀相互独立，两名选手参加相同或不同项目的结果是否优秀相互独立．
(1)进行1次体能赛，
（i）求甲选手恰有一个项目结果优秀的概率；
（ii）设为甲选手结果优秀的项目数，为乙选手结果优秀的项目数，令求的分布列与数学期望；
(2)进行次体能赛．用“”表示这次体能赛中甲选手结果优秀的项目总数多于乙选手结果优秀的项目总数，“”表示这次体能赛中甲选手结果优秀的项目总数不多于乙选手结果优秀的项目总数．比较与的大小关系．（结论不要求证明）
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥中，，点在上，，，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)已知，．若为的中点，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥存在且唯一确定，求直线与平面所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
20.(本小题14分)
已知函数的定义域为，导函数．设是曲线在点处的切线．
(1)比较与的大小关系，并说明理由；
(2)求的最小值；
(3)已知点，，，比较与的大小关系，并说明理由．
21.(本小题15分)
已知有限数列：，，…，．对于，，，设，记非空集合，满足，非空集合，，满足．
(1)若数列：，，，，，直接写出集合和；
(2)已知为非空集合，若，记为满足的所有（，）的最小值，求证：；
(3)若有限数列：，，…，，非空集合和，满足，有，，且，求的最小值．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】 /
13.【答案】 /0.5
14.【答案】1 ； 1
15.【答案】②④
16.【答案】解：（1）在中，，，所以,
因为，所以,解得：
（2）若，由，可得，
所以，即，解得或，
当时，，当时，.

17.【答案】解：（1）已知，所以，
，
切线斜率，
则曲线在点处的切线方程为，即.
（2）因为，
令，解得或，列表如下：
0 0
极大值 极小值
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为，
又因为所以的最大值为，最小值为.

18.【答案】解：（1）（i）设“甲选手‘引体向上’结果优秀”为事件，
“甲选手‘障碍跑’结果优秀”为事件，则，
所以甲选手恰有一个项目优秀的概率为，
因为，
所以，代入上式得.
（ii）为甲选手结果优秀的项目数，则可能取值为0，1，2，
则，，
.
设“乙选手‘引体向上’结果优秀”为事件，“乙选手‘障碍跑’结果优秀”为事件，则，为乙选手结果优秀的项目数，则可能取值为0，1，2，
则，，.
因为，所以的可能取值为0，1，2.
当时，，
所以
；
当时，，即或，
所以；
当时，，即，
所以，
所以的分布列为：
0 1 2
数学期望.
（2）
服从两点分布，，，
所以；
设第一次甲项目优秀数为，乙项目优秀数为，
第二次甲项目优秀数为，乙项目优秀数为，
两次甲总优秀数为，乙项目总优秀数为，
则.且的可能取值均为0，1，2，3，4，
又，，
，
，
，
，
，
，
，
，
所以
，
则，
所以，
而，所以.

19.【答案】解(1)取的中点，连接、，
因为是的中点，所以，且，
且，所以，即且，
因此，四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，所以平面.
（2）选条件①，因为，，为中点，所以，
因为，，所以是矩形，所以，
因为，，平面，所以平面，
因平面，所以，
以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线作为轴，
则轴在平面内，
因为，所以，
由，，得，则，
因为，，所以，
因为，所以恒成立，
则条件①不能确定，故不唯一，则条件①不符合“唯一确定”的要求，
从而得到条件①不符合要求.
选条件②：因为为中点，，，
所以，
因为，所以，
所以，解得，
因为，所以，解得，
有一个高度，几何体唯一，故条件②符合要求，
则，故以为轴建立空间直角坐标系，
因为，所以，，，
设平面的法向量为，
则，即，则令，得，
设直线与平面所成角为，
则：，
，
，
.
选条件③：因为，所以，
因为，，所以，
因为，所以，
，
则，
因为，所以，解得，
有一个高度，几何体唯一，故条件③符合要求，
则，故为轴建立空间直角坐标系，
因为，所以，，，
设平面的法向量为，
则，即，则令，得，
设直线与平面所成角为，
则：，
，
，
.

20.【答案】解：(1)，理由如下：
由可得，
当时，，当时，，
故函数在上单调递增，在上单调递减.
因，而函数在上单调递增，故，
即，因在上单调递减，则.
（2）设，则，
由得，由得，
即函数在上单调递减，在上单调递增；
故当时，，即的最小值为；
(3)①当时，；
②当时，；
③当时，.
理由如下：
因，
则曲线在点处的切线为，即，
设，则，
由（2）得，
故当时，都有，即，当且仅当时取等，
故函数在上单调递增，且，
①当时，，即；
②当时，，即；
③当时，，即.

21.【答案】解：（1）数列为．
以第项为起点的连续和依次为其中存在正数，所以；
以第项为起点时，，所以；
以第项为起点的连续和均不大于，所以；
又，而，所以，．
因此.
由可知；
不存在以第项或第项为终点的正连续和，所以
(2)任取，并任取整数．
当时，由，结论显然成立．
以下设．
由的定义，是满足的最小下标，所以，而
因此
于是存在下标，使，故，所以.
（3）记数列中所有正项之和为，值为的项数为．
因为非空，所以数列中至少有一个正项，从而
令
若，则
从左向右考察前缀和．
以每次前缀和取得严格新最小值后的时刻为一段的起点，在下一次取得严格新最小值之前结束，最后一段延续到．
在每一段内，前缀和均不低于该段起点处的值．
设该段所有正项之和为．
每个满足且的下标，都对应前缀和在该段最低值上方下降的一步．
若该段最后仍在最低值上方，则这类下降步至多有步；
若该段回到最低值，则最后回到最低值的下降步不属于，这类下降步仍至多有步．
只有含正项的段才可能出现上述下标．
设这样的段数为，则．
记满足且的项数为，将各段相加可得
将数列倒序后作同样讨论．
原数列中的下标属于，当且仅当它在倒序数列中对应的下标属于．
记满足且的项数为，则．
又因为，每一个值为的项的下标至少属于上述两个集合之一，
故
于是
因为为整数，所以
取其余各项均为．
当时，，所以；
当时，所以．
因此该数列满足题设条件，且
所以所求最小值为．

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