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2025-2026学年福建省漳州市高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.复数z=1+i,则在复平面内z的共轭复数位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.漳州市平和县某蜜柚种植合作社，种植的琯溪蜜柚、红肉蜜柚、三红蜜柚的果树数量之比为2：3：4，现采用分层抽样的方法抽取45棵果树进行产量估测，则红肉蜜柚果树被抽取的数量为（　　）
A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
3.已知正四面体ABCD，则直线AC与BD所成角为（　　）
A. B. C. D.
4.已知一组数据的频率分布直方图分布形态如图所示，则该组数据的平均数a、中位数b、众数c的大小关系为（　　）
A. a＜b＜c B. a＜c＜b C. b＜a＜c D. b＜c＜a
5.甲、乙两款AI软件进行强基数学解题测试，每轮测试中两款软件各独立解一道题.已知甲软件每轮答对的概率为，乙软件每轮答对的概率为，且两款软件答对与否互不影响，各轮测试结果也相互独立，则两款软件在两轮测试中共答对3道题的概率为（　　）
A. B. C. D.
6.‘方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知AB=4，A1B1=2，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米38kg,则该“方斗”可盛米的总质量为（　　）
A. 74kg B. 114kg C. 76kg D. 112kg
7.已知圆O的半径为2，弦AB长度为2，C为圆O上的动点，则的取值范围为（　　）
A. [0，3] B. [-1，3] C. [-2，6] D. [-3，9]
8.漳州是中国女排的摇篮，城中三连冠纪念碑顶端有一颗排球形雕塑，民间俗称“定风珠”，如图1.现利用人工智能视觉测量系统测量该“定风珠”最高点A到地面的距离AB.如图2，人工智能设备自动在地面选取两个测量基点C与D，测得CD=s,传感器自动识别并输出角度数据∠ACB=α，∠BCD=β，∠BDC=γ，则距离AB为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.经过简单随机抽样获得的样本数据为x1，x2，…，xn，且数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则下列说法正确的是（　　）
A.
B. 若s2=0，则所有的数据xi（i=1，2，…，n）都为0
C. 若，则yi=2xi+1（i=1，2，…，n）的平均数为7
D. 若s2=3，则yi=2xi+1（i=1，2，…，n）的方差为12
10.已知△ABC的角A，B，C对应的边为a,b,c,且，，则△ABC可能是（　　）
A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形
11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AD1，BD1上的动点，则（　　）
A. BD1⊥平面A1DC1
B. 直线DD1与平面A1DC1所成角的正弦值为
C. 当BD1⊥平面A1EF时，△A1EF的面积为
D. △A1EF的周长最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数z满足（i-2）z=5，则|z|= .
13.已知事件A和事件B相互独立，B为事件B的对立事件，若P（A）=0.5，P（B）=0.4，则= .
14.已知向量，的夹角为，对任意的x,y∈R，不等式|x+2026y|≥3x恒成立，则||的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量，.
（Ⅰ）若，求x；
（Ⅱ）若，求向量与的夹角.
16.(本小题15分)
如图，直角梯形O′A′B′C′是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中.
（Ⅰ）求平面四边形OABC的面积和周长；
（Ⅱ）以四边形OABC的边OA所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围一个几何体，求该几何体的表面积.
17.(本小题15分)
抛掷一颗质地均匀的骰子两次，记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,若复数z=a+bi.
（Ⅰ）求事件“z-4i为实数”的概率；
（Ⅱ）求事件“|z-2|≤4”的概率.
18.(本小题17分)
已知△ABC的角A，B，C对应的边为a,b,c,且.
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=2，D为△ABC所在平面内一点，A，D位于直线BC两侧，满足BD=1且∠CBD=2∠ACB.
（i）设S1，S2分别为△ABC和△BCD的面积，且2（S2-S1）=1，求∠ACB；
（ii）设G1，G2分别为△ABC和△BCD的重心，求的最小值.
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PA=PD，PA⊥PD，E为线段AD的中点，F为线段PC的中点，平面PAD∩平面BDF=l.
（Ⅰ）求证：
（i）PA∥平面BDF；
（ii）PA∥l；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面BDF，求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅲ）过点E作EG⊥PB，G为垂足，设四面体BDEG的外接球半径为R，内切球半径为r,求证：.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】CD
10.【答案】ACD
11.【答案】ABC
12.【答案】
13.【答案】0.8
14.【答案】6
15.【答案】x=-4

16.【答案】平面四边形OABC的面积为6，周长为6+4
20π+16π
17.【答案】

18.【答案】（I）；
（Ⅱ）（ⅰ）；（ⅱ）．
19.【答案】（ⅰ）连接AC，交BD于点O，连接OF，因为底面ABCD是边长为2的菱形，则O是AC的中点，又因为F为线段PC的中点，所以PA∥OF，又因为PA 平面BDF，OF 平面BDF，所以PA∥平面BDF；（ⅱ）因为平面PAD∩平面BDF=l，PA 平面PAD，PA∥平面BDF，所以PA∥l
由
，知ED⊥平面PEB，又BG 平面PEB，所以ED⊥BG，又因为EG⊥PB（即EG⊥BG），EG∩ED=E，EG，ED 平面DEG，所以BG⊥平面DEG，因为DG 平面DEG，所以BG⊥DG，所以，因为AD⊥EB，即ED⊥EB，所以，所以OE=OB=OD=OG=1，所以R=1，设四面体BDEG体积为V，表面积为S，则，所以，即EG BG DE=r（EG BG+DE EG+DE BE+BG DG），因为，，所以，所以，在Rt△EDG，Rt△EBG中，有DG＞EG，，所以，，所以．因为R=1，所以
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