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2025-2026学年福建省泉州市高一（下）期末数学模拟试卷（B卷）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知向量，则=（　　）
A. （0，7） B. （0，-5） C. （4，-5） D. （4，7）
2.在复平面内，复数z满足z（1+2i）=5，则z对应的点在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.某中学为了解高一年学生体育锻炼的情况，按性别分层，采用比例分配的分层随机抽样的方法进行抽样调查.已知高一年学生的人数为900，其中男生的人数为500，若女生抽取的人数为20，则男生抽取的人数为（　　）
A. 15 B. 18 C. 25 D. 35
4.若一列数1，2，3，a,7，9的中位数是3.5，则该列数的第60百分位数是（　　）
A. 3 B. 4 C. 3或4 D. 5
5.具身智能是前沿人工智能技术，以此为核心研发的智能机器人有望成为服务人类的可靠助手.如图，质点O受到两个力F1和F2的作用，已知F1与F2的夹角为60°，|F1|=|F2|=20N，则F1与F2的合力大小为（　　）
A. 20N
B. N
C. N
D. N
6.已知复数z满足条件|z-3-4i|=1，则|z|的最小值为（　　）
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
7.已知点G是△ABC的重心，且，.若E，F，G三点共线，则m+n的最小值为（　　）
A. B. C. 4 D. 12
8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2=a2+bc，A=，则内角C=（　　）
A. B. C. D. 或
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列命题错误的是（　　）
A. 一条直线和一个点可以确定一个平面
B. 用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
C. 长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体
D. 正四棱柱一定是直四棱柱，直平行六面体一定是长方体
10.四名同学各自进行5次射击测试，分别记录每次射击的结果.根据四名同学的统计结果，可以判断一定没有命中10环的是（　　）
A. 中位数为5，众数为5 B. 平均数为7，众数为9
C. 中位数为5，极差为3 D. 平均数为7，方差为1.6
11.如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，，AA1=2，（λ∈[0，1]），则（　　）
A. 三棱锥D1-ACE的体积是定值
B. 当λ=1时，平面ACE∥平面A1C1D
C. 当时，直线AE与平面BCC1B1所成的角最大
D. 存在λ，使得平面A1CE⊥平面ACC1A1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数z满足，则z的虚部为 .
13.已知平面向量满足，则与的夹角为 .
14.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AD的中点，过M，C，B1三点的截面将正方体分为两部分，则较小部分几何体的体积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，一个多面体的上面部分是一个正四棱锥，下面部分是一个长方体，两部分的高都是1，且AB=2.
（1）求该多面体的体积；
（2）若平面PAD与平面PBC的交线为l,证明：l∥BC.
16.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知2ccosA=acosB+bcosA.
（1）求A；
（2）若，求cos2B.
17.(本小题15分)
某电视台为了解一档节目在某地区的满意度情况，随机向该地市民分发满意度调查问卷，共收集统计了1000份问卷，并将满意度得分按区间[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]分为六组，绘制如下频率分布直方图：
（1）补全频率分布直方图；
（2）将参与问卷调查的市民分为老年人、中年人、年轻人三个群体，其人数之比为3：3：4.统计得到老年人的满意度平均数为88.3，年轻人的满意度平均数为84.3.
（i）估计该地市民的满意度平均数；
（ii）估计中年人的满意度平均数.
（参考数据：72.5×0.012+77.5×0.016+82.5×0.038+87.5×0.06+97.5×0.024=12.835）
18.(本小题17分)
如图，四边形ABCE中，AB∥CE，，∠E=60°，CE上的点D满足DE=2，以AD为折痕将△ADE折起，使点E到达点P的位置，且.
（1）证明：AD⊥PB；
（2）求二面角P-CD-B的正切值；
（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.
19.(本小题17分)
若△ABC内的点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCA，则称P为△ABC的布洛卡点.记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知a2+bc=b2+c2.
（1）若asinA=bsinC，证明：△ABC的内心为布洛卡点；
（2）已知P为△ABC的布洛卡点.
（i）若，求tan∠PAB；
（ii）若，证明：a2=bc.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】CD
11.【答案】ACD
12.【答案】4
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
在正方形ABCD中，BC∥AD，
因为BC 平面PAD，AD 平面PAD，
所以BC∥平面PAD．
因为BC 平面PBC，平面PBC∩平面PAD=l，
所以l∥BC
16.【答案】

17.【答案】
（i）87.3；（ii）90.3
18.【答案】证明：取AD的中点M，连结PM，BM．
∵AB∥CE，AB=AE=DE=2，∠E=60°，
∴△ADE，△ABD均为等边三角形，
∴△ADP也是等边三角形，
∴AD⊥PM，
AD⊥BM，
又PM∩BM=M，PM，BM 平面PBM，
∴AD⊥平面PBM，
又PB 平面PBM，
∴AD⊥PB
2

19.【答案】在△ABC中，若asinA=bsinC，则由正弦定理可得：a2=bc，
又因为a2+bc=b2+c2，所以b2+c2=2bc，即b=c．
代入a2+bc=b2+c2，可得a2=b2，即a=b，
所以△ABC为等边三角形．
若点P是△ABC的内心，则AP，BP，CP分别是角平分线，
即，所以点P是△ABC的布洛卡点
（i）
（ii）法一：若，则，所以，
设∠ABP=α，则，
在△PBC中，由正弦定理得：，即，
所以，①
在△ABC中，由正弦定理得：，即，
所以，②
由①×②得：a2=bc．
法二：若，则，所以PA=PC，
在△BPC中，，
由正弦定理得，，即，
在△PAC中，，
由正弦定理得：，即，
由PA=PC得：asin∠BAC=bsin∠ACB，即a2=bc．
法三：若，则，所以，
设∠BCP=φ，则，，
在△BCP中，由正弦定理得：，即，
在△ABC中，由正弦定理得：，即，
上面两式相除得：，
化简得：，
因为，所以，
所以△ABC为等边三角形，
显然满足a2=bc
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