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2025-2026学年福建省漳州市华安县第一中学高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知f（x）=lnx,则f′（3）=（　　）
A. 3 B. C. e2 D. ln3
2.对四组样本数据进行统计获得如下散点图，则对应样本相关系数最大的是（　　）
A. B.
C. D.
3.已知向量=（1，1，0），=（0，2，1），则 等于（　　）
A. 2 B. 1 C. -1 D. 0
4.已知事件A，B满足P（A）=0.2，P（B）=0.7，若A与B相互独立，则=（　　）
A. 0 B. 0.1 C. 0.14 D. 0.24
5.已知曲线y=x+alnx在点（1，1）处的切线为3x-2y-1=0，则a=（　　）
A. 2 B. 1 C. D.
6.若函数f（x）=ax-lnx在区间上存在减区间，则实数a的范围是（　　）
A. （-∞，2] B. C. D. （-∞，2）
7.某知识题库中有三种难度的题目，数量分别为600，400，200.已知小明做对A，B，C型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（　　）
A. B. C. D.
8.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，F为线段BC1的中点，E为线段A1C1上的动点，则下列四个结论正确的是（　　）
A. 存在点E，使EF∥平面ABCD
B. 三棱锥B1-ACE的体积随动点E变化而变化
C. 直线EF与AD1所成的角不可能等于30°
D. 存在点E，使EF⊥平面AB1C1D
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费x（单位：万元）与销售利润y（单位：万元）之间的关系，由收集的数据，计算得出线性回归方程为=2+bx.已知投入的广告费，销售利润，则（　　）
A. 线性回归方程过点（5，9）
B. b=1.4
C. x与y呈正相关
D. 当投入的广告费为6万元时，销售利润一定为10.4万元
10.已知X N（μ，σ2），则（　　）
A. E（X）=μ B. D（X）=σ
C. P（X≤μ+σ）+P（X≤μ-σ）=1 D. P（X≥μ+2σ）＞P（X≤μ-σ）
11.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=AA1=1，F是棱CC1的中点，P在底面A1B1C1内（包括边界），则下列说法正确的是（　　）
A. PA+PF的最小值为
B. 当AP⊥B1F时，点P的轨迹长度为
C. 存在唯一P，使PA⊥PF
D. 若PA⊥PF，则三棱锥P-ABF外接球的半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数在x=-2处有极值，则实数a= .
13.已知事件A和B满足，，，则P（A|B）= .
14.跑步是不少中学生锻炼身体的运动方式之一，学校作了一次调查，已知被调查的女生人数是被调查的男生人数的，热爱跑步的男生人数占男生人数的，热爱跑步的女生人数占女生人数的，若根据α=0.05的独立性检验，认为中学生热爱跑步与性别有关，则男生至少有 人.
附：，其中n=a+b+c+d,P（χ2≥3.841）≈0.05.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=（x+1）ex-a.
（1）当a=0时，若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，求点P的坐标；
（2）若f（x）≥0恒成立，求a的取值范围.
16.(本小题15分)
在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=2，AA1=1，D，E，D1，E1分别是棱AC，BC，A1C1，B1C1的中点.
（1）证明：平面C1DE∥平面ABE1D1；
（2）求二面角C1-DE-C的余弦值.
17.(本小题15分)
某商场推出消费抽奖活动，顾客到店消费100元及以上，可参加一次抽奖活动，抽奖规则如下：从装有15张形状大小完全相同的卡片（5张红卡，10张黑卡）的抽奖箱中，一次取出1张卡片，若取到红卡，则享受8折优惠，否则不享受优惠.若某时间段内有5位消费者参加抽奖，且每位消费者抽奖结果互不影响.
（1）求该时间段内恰好有2位消费者获得8折优惠的概率；
（2）该时间段内的这5位消费者每人通过抽奖，若他获得8折优惠，则售货员可获得3元奖金，求售货员获得奖金金额的数学期望和方差.
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥C-ABED中，四边形ABED是边长为2的正方形，平面ABC⊥平面ABED，
（1）证明：AC⊥平面EBC；
（2）线段CD上是否存在一点P，使得直线BP与平面ABC所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
19.(本小题17分)
已知函数.
（1）当a＞0时，讨论f（x）的单调性；
（2）设g（x）=f（x）+ax,若x1，x2为g（x）的两个极值点，求g（x1）+g（x2）的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】ABC
10.【答案】AC
11.【答案】BCD
12.【答案】-1
13.【答案】
14.【答案】30
15.【答案】
（-∞，-e-2]
16.【答案】证明：在矩形BCC1B1中，E，E1分别为BC，B1C1的中点，
连接BE1，则BE1∥EC1，
在△ABC与△A1B1C1中，易得DE∥AB，D1E1∥A1B1，
因为AB∥A1B1，所以DE∥D1E1，
因为DE 平面ABE1D1，D1E1 平面ABE1D1，
所以DE∥平面ABE1D1，
同理，DC1∥AD1，因为DC1 平面ABE1D1，AD1 平面ABE1D1，
所以DC1∥平面ABE1D1，
又因为DC1∩DE=D，DC1，DE 平面C1DE，
故平面C1DE∥平面ABE1D1.

17.【答案】
数学期望5；方差10
18.【答案】因为四边形ABED是正方形，所以EB⊥AB，
因为平面ABC⊥平面ABED，且平面ABC∩平面ABED=AB，EB 平面ABED，
所以EB⊥平面ABC，又因为AC 平面ABC，所以EB⊥AC，
在△ABC中，，
因为，所以AC⊥BC，
又因为EB∩BC=B，且EB，BC 平面EBC，
所以AC⊥平面EBC 存在
19.【答案】当0＜a＜1时，f（x）在（0，a）和（1，+∞）上单调递增，在（a，1）上单调递减；当a=1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞1时，f（x）在（0，1）和（a，+∞）上单调递增，在（1，a）上单调递减
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