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2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市第十二中学高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合M={x|-1＜x＜3}，N={x|x2=1}，则M∪N=（　　）
A. {-1，1} B. {1} C. {x|-1＜x＜3} D. {x|-1≤x＜3}
2.在等比数列{an}中，公比为q.则0＜q＜1是数列{an}单调递减的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3.下列幂函数中，既是奇函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的是（　　）
A. y=x B. y=x-1 C. y=x3 D. y=x2
4.若正实数a，b满足a+b=1，则+的最小值是（　　）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 9
5.已知关于x的一元二次不等式x2+bx+c≤0的解集为{x|2≤x≤3}，则关于x的不等式cx2+bx+1≤0的解集为（　　）
A. B. {x|2≤x≤3}
C. {x|-3≤x≤-2} D.
6.在等差数列{an}中，a1+3a7+a13=15，则3a9-a13的值为（　　）
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
7.函数f（x）=x4-2x3在点（1，f（1））处的切线方程为（　　）
A. 2x+y-1=0 B. 2x+y+1=0 C. x-2y-3=0 D. x+2y-3=0
8.已知函数（a＞0且a≠1）在区间（2，+∞）上单调递增，则a的取值范围为（　　）
A. （1，4] B. （1，4） C. （1，2] D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法错误的是（　　）
A. 若a＞b,则ac2＞bc2 B. 若a＞b,则
C. 若a＞b,c＞d,则a+c＞b+d D. 若b＞a＞0，m＞0，则
10.已知在数学测试中，某校学生的成绩ξ服从正态分布N（70，16），其中60分为及格线，则（　　）
（参考数据：P（μ-σ＜ξ＜μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ＜ξ＜μ+2σ）≈0.9545）
A. 该校学生成绩的均值为70 B. 该校学生成绩的标准差为4
C. P（66＜ξ＜78）≈0.9545 D. 该校学生成绩及格率超过95%
11.已知定义在R上的函数f（x）为偶函数，且满足f（1+x）+f（x-1）=0，当x∈[1，2]时，f（x）=x2-4x+3，则下列说法正确的是（　　）
A. f（x）是周期为2的周期函数 B. f（x）的图象关于x=2对称
C. 当x∈[-1，1]时，f（x）=1-x2 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域是 .
13.若复数，则= .
14.设函数，则满足f（x+1）＜f（2x）的x的取值范是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
甲罐中有5个红球，2个白球，乙罐中有4个红球，3个白球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐；再从乙罐中随机取出一球.
（1）求在甲罐中取出白球的条件下，乙罐中取出红球的概率；
（2）求乙罐中取出红球的概率.
16.(本小题15分)
已知等差数列{an}的公差为2，且a2，a3，a5-1成等比数列，
（1）求{an}的通项公式；
（2）记-1，若数列{bn}的前n项和Tn.
17.(本小题15分)
近期热播电影《给阿嬷的情书》非常火爆，某影评网站统计了30名观众对该电影的评分情况，得到如下表格：
评价等级 ★ ★★ ★★★ ★★★★ ★★★★★
人数 1 2 4 8 15
以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立.现从全国所有观众中随机抽取4名.
（1）求恰有3人评价为五星，1人评价为四星的概率；
（2）记其中评价为五星的观众人数为X，求X的分布列与数学期望、方差.
18.(本小题17分)
已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an-1.
（1）证明{an-1}为等比数列；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=alnx+x2-ax,定义域为（0，+∞）.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）求当函数f（x）有且只有一个零点时，a的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】AB
10.【答案】ABD
11.【答案】BCD
12.【答案】
13.【答案】3-i
14.【答案】（-∞，0）
15.【答案】

16.【答案】解：（1）由题意得等差数列{an}的公差d=2，
∵a2，a3，a5-1成等比数列，
∴=a2（a5-1），即（a1+4）2=（a1+2）（a1+8-1），解得a1=2，
∴an=a1+（n-1）d=2n；
（2）由（1）得an=2n,则，
则=．
17.【答案】
X的分布列如下表所示：
X 0 1 2 3 4
P
期望为E（X）=2，方差为D（X）=1
18.【答案】数列{an}中，由an+1=2an-1，得an+1-1=2（an-1），
而a1-1=1≠0，所以，
因此{an-1}为等比数列，其首项为1，公比为2

19.【答案】解：（1）因为，
（i）当Δ=a2-8a≤0，即0≤a≤8时，则f′（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，
可知f（x）在（0，+∞）内单调递增；
（ii）当Δ=a2-8a＞0，即a＞8或a＜0时，可知2x2-ax+a=0有两个不相等的根x1，x2，
不妨令，，可知x1＜x2，
①若a＜0，因为，可知x1＜0＜x2，令f'（x）＞0，解得x＞x2，
令f'（x）＜0，解得0＜x＜x2；可知f（x）在（0，x2）内单调递减，
在（x2，+∞）内单调递增；
②若a＞8，因为，可知0＜x1＜x2，令f'（x）＞0，解得x＞x2或0＜x＜x1；
令f'（x）＜0，解得x1＜x＜x2，可知f（x）在（x1，x2）内单调递减，
在（0，x1），（x2，+∞）内单调递增；
综上所述：当0≤a≤8时，f（x）在（0，+∞）内单调递增；
当a＜0时，f（x）在内单调递减，内单调递增；
当a＞8时，f（x）在内单调递减，
在内单调递增；
（2）若a=0，可知f（x）=x2在（0，+∞）内无零点，不合题意，
可知a≠0，令f（x）=alnx+x2-ax=0，整理得，
构造，原题意等价于y=g（x）与有且仅有一个交点，
因为，x＞0，构造h（x）=-x-1+2lnx,x＞0，
则，令h'（x）＞0，解得0＜x＜2；
令h'（x）＜0，解得x＞2；可知h（x）在（0，2）内单调递增，
在（2，+∞）内单调递减，则h（x）≤h（2）=-3+2ln2＜0，
即g'（x）＜0在（0，+∞）内恒成立，可知g（x）在（0，+∞）内单调递减，
且当x趋近于0时，g（x）趋近于+∞；当x趋近于+∞时，g（x）趋近于0；
可得，即a＞0，所以a的取值范围为（0，+∞）．
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