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2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.命题“ x∈R，x2-2x-1≥0”的否定是（　　）
A. x∈R，x2-2x-1≤0 B. x∈R，x2-2x-1＜0
C. x∈R，x2-2x-1＞0 D. x∈R，x2-2x-1≥0
2.已知集合A={x∈Z||x-1|≤2}，B={y|y=2cosx+1}，则（　　）
A. A∪B=[-1，3] B. A∩B={1，2，3} C. A=B D. B A
3.已知正数a,b满足，则的最大值为（　　）
A. B. C. D.
4.函数f（x）=x-的图象大致为（　　）
A. B. C. D.
5.已知函数在定义域内存在单调递减区间，则a的取值范围是（　　）
A. （-∞，0） B. （-∞，4） C. （-∞，9） D. （-∞，12）
6.已知实数a,b,c满足a=0.3a，，c=lna,则a,b,c的大小关系为（　　）
A. a＜c＜b B. b＜a＜c C. c＜a＜b D. c＜b＜a
7.已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，f（x）+f（x-2）=0，且当时，f（x）=x2+2ax+b,则（　　）
A. a=-2，b=-3 B. a=-2，b=3 C. a=-4，b=-3 D. a=-4，b=3
8.已知函数，若的零点个数为4，则实数a取值范围为（　　）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法正确的有（　　）
A. 若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，1]
B. 函数的最小值为2
C. 函数的递减区间是（-∞，2）
D. 若幂函数f（x）=mxα过点，则
10.已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）f（x-y）=f2（x）-f2（y），，f（2）=2，则（　　）
A. f（x）为奇函数 B.
C. f（-1）=f（5） D.
11.已知函数，下列说法正确的是（　　）
A. 当a=e,m=1时，函数f（x）的极大值为-1
B. 当，m=2时，函数f（x）存在零点
C. 当a=e,不等式f（x）≤0恒成立，则m的取值范围为
D. 若函数y=ax与y=logax的图象有交点，则a的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数，在x=1时取得极大值，则实数a的值为 .
13.函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f′（x），f（x）+xf'（x）＞0，并且f（1）=1，则不等式（x-4）f（x-4）＜1的解集为 .
14.已知函数有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则实数a的取值范围为 ；若2x1≥x2＞0，则lnx1+lnx2+2a的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1，且f（x+1）-f（x）=2x.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）+x-2mx+1，x∈[1，2]，记函数g（x）的最小值h（m），求h（m）的解析式.
16.(本小题15分)
已知函数为奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）设函数.
①求g（1）+g（-1）的值：
②证明函数g（x）的图象关于点（0，2）对称.
17.(本小题15分)
数列{an}的前n项和为Sn，已知2n-2，Sn，4an成等差数列.
（1）证明数列{an-1}是等比数列；
（2）若bn=log2（1-an）从数列{bn}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，按原来顺序组成新数列{cn}，求使得不等式c1+c2+c3+…+cn＞2027成立的最小正整数n的值.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=ex-ax2-a,其中e为自然对数的底数，f′（x）为函数f（x）的导函数.
（1）当a=1时，求f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若f′（x）在区间（1，2]上不是单调函数，求a的取值范围；
（3）若当x≥0时，f（x）≥x恒成立，求a的取值范围.
19.(本小题17分)
已知函数，a∈R.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）既有极大值又有极小值，且极大值与极小值之和小于a+1，求a的取值范围；
（3）证明：当a=2时，.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】AD
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】-2
13.【答案】（-∞，5）
14.【答案】（1，+∞）
3ln2

15.【答案】f（x）=x2-x+1
h（m）=
16.【答案】a=1 ①4；②证明：因为，其定义域为（-2，2），
所以，
所以，
所以函数g（x）的图象关于点（0，2）对称
17.【答案】由2n-2，Sn，4an成等差数列，
可得2Sn=2n-2+4an，
当n=1时，2a1=2S1=2-2+4a1，解得a1=0，
当n≥2时，由2Sn=2n-2+4an，可得2Sn-1=2n-4+4an-1，
两式相减可得2an=2+4an-4an-1，
化为an=2an-1-1，
即为an-1=2（an-1-1），
则数列{an-1}是首项为-1，公比为2的等比数列
10
18.【答案】y=（e-2）x；
；
．
19.【答案】当a＜-1时，函数f（x）在（1，-a）上单调递减，在（0，1）和（-a，+∞）上单调递增；当a=-1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当-1＜a＜0时，f（x）在（-a，1）上单调递减，在（0，-a）和（1，+∞）上单调递增；当a≥0时，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增
（-∞，-1）
要证xex-1＞lnx+sinx，且x∈（0，+∞），即证xex-1-lnx-sinx＞0，
又因为xex-1-lnx-sinx=ex+lnx-1-lnx-sinx=ex+lnx-（x+lnx）-1+x-sinx（x＞0），
故只需证明ex+lnx-（x+lnx）-1+x-sinx＞0在（0，+∞）上恒成立．
令h（x）=ex-x-1，则h'（x）=ex-1，
当x∈（-∞，0）时，0＜ex＜1，h'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，ex＞1，h'（x）＞0，
所以h（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
所以h（x）min=f（0）=0，所以ex-x-1≥0，当且仅当x=0 时等号成立，
所以ex+lnx-（x+lnx）-1≥0，当且仅当x+lnx=0时取等号，
由x+lnx=0得lnx=-x，由对数函数y=lnx及y=-x可知，函数y=lnx与y=-x有唯一交点，
因此方程x+lnx=0有唯一解x0，
所以不等式ex+lnx-（x+lnx）-1≥0在（0，+∞）上恒成立．
令φ（x）=x-sinx（x＞0），所以φ'（x）=1-cosx≥0，
所以φ（x）在（0，+∞）上单调递增，所以φ（x）＞φ（0）=0，即x-sinx＞0在（0，+∞）上恒成立，
所以ex+lnx-（x+lnx）-1+（x-sinx）＞0，因此不等式xex-1＞lnx+sinx成立
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