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人教版（新教材）2026年九年级上册第27章《反比例函数》单元测试卷
满分100分 时间90分钟
一、选择题（共30分）
1．在下列函数表达式中，x均表示自变量．①；②；③；④；⑤；⑥其中反比例函数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．反比例函数的图象一定经过下列哪个点（ ）
A． B． C． D．
3．已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（ ）
A． B． C． D．
4．已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（ ）
A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限
5．酒精会麻痹人的神经系统，酒后驾车极易造成重大交通事故，我国法律严厉禁止酒驾、醉驾行为．在交通执法中，呼气式酒精检测仪是排查酒驾的常用设备，它内部利用了特殊的气敏电阻——酒精气体传感器．这类电阻的阻值会跟随空气中酒精气体的浓度变化而变化，其阻值与呼气酒精浓度之间的关系如图所示．下列说法中不正确的是（ ）
A．当时， B．随的增大而减小
C．是的函数 D．图中曲线是反比例函数的图象
6．已知反比例函数的图象经过点，下面说法错误的是（ ）
A．反比例函数的关系式为 B．点在反比例函数图象上
C．反比例函数的图象在第二、四象限 D．当时，y随x增大而减小
7．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（ ）
A． B．或 C．或 D．
8．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（ ）
A．与的函数关系式是 B．当时，
C．当时， D．当时，的取值范围是
9．如图，四边形中，，交x轴正半轴于点A，反比例函数经过点C，交的中点于D，平分，若，则k的值为（ ）
A．12 B． C．8 D．
10．一次函数与反比例函数的部分图象如图所示，M是它们的一个交点，N是它们所围成的区域（不含边界）内的一点．过点M作轴，轴，垂足分别为A，B；过点N作轴，轴，垂足分别为C，D．记矩形的面积为，周长为，记矩形的面积为，周长为，下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题（共18分）
11．反比例函数的解析式有三种表现形式，分别是_______，________，______．（为常数，且）．
12．若函数的图象经过点，则________．
13．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系____．（用“”连接）
14．如图，在平面直角坐标系中，点A、C关于坐标原点对称，且均在反比例函数 图象上，轴于点B，轴于点 D，连结、，则四边形的面积为_______．
15．如图，双曲线经过正方形的顶点，已知，则________．
16．如图，一组等腰三角形的底边均在轴的非负半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若，，，…的面积分别为，，，…，，则的值_________．
三、解答题（共52分）
17．（8分）已知反比例函数的图象经过点．
(1)求这个反比例函数的表达式．
(2)判断点是否在这个反比例函数的图象上．
18．（8分）某气球内充满了一定的质量的气体，当温度不变时，气球内的压力P（千帕）是气球的体积V（立方米）的反比例函数，其图象如图所示（注：千帕是一种压强单位）．
(1)求这个函数的解析式；
(2)当气球的体积为0.8立方米时，气球内的压力是多少千帕？
19．（8分）教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于到校接通饮水机电源，记接通电源后第分钟时对应的水温为，水温随时间变化的测量数据如表所示：
（分钟） 0 2 5 7 10 14 16 20 …
（） 30 50 80 100 70 50 43.75 35 …
请根据上述信息解决下列问题：
(1)根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点；
(2)选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量的取值范围；
(3)上午第一节下课时间为，同学们能不能喝到不超过的水？请通过计算说明．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第二象限内的图象相交于点．
(1)求的值；
(2)将直线向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点，与轴交于点，且的面积为，求直线的解析式．
21．（10分）若关于的函数，当时，函数的最大值为，最小值为，令函数，我们不妨把函数称之为函数的“合体函数”．
(1)①若函数，当时，则函数的“合体函数” ；
②若函数，为常数，求函数的“合体函数”的表达式；
(2)若函数 ，求函数的“合体函数”的最大值．
22．（10分）如图1，的边在轴的正半轴上，，反比例函数（）的图象经过点．
(1)求反比例函数的关系式和点B的坐标；
(2)如图2，过的中点D作轴交反比例函数图象于点P，连接、．
①求的面积；
②M是边上的一点，N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形，若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A B D D C C B B
1．B
【详解】解：①，符合反比例函数定义，是反比例函数；
②，是正比例函数，不符合反比例函数定义，不是反比例函数；
③可变形为，符合反比例函数定义，是反比例函数；
④可变形为，符合反比例函数定义，是反比例函数；
⑤，分母为不是，不符合定义，不是反比例函数；
⑥，符合反比例函数定义，是反比例函数；
∴符合条件的反比例函数共有4个．
2．D
【分析】反比例函数图象上的点，满足横纵坐标的乘积等于，计算各选项点的横纵坐标乘积，即可判断正确选项．
【详解】解：∵ 反比例函数解析式为，
∴ 对图象上任意一点，都满足．
A、，不满足，故此选项不符合题意；
B、，不满足，故此选项不符合题意；
C、，不满足，故此选项不符合题意；
D、，满足条件，故此选项符合题意．
3．A
【分析】利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，分别用表示出和，再整理得到二者的关系式即可．
【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上，
∴将点坐标代入解析式得：，，
由变形得，
又∵，
∴，
移项得．
4．B
【分析】根据反比例函数的性质，先由已知反比例函数的象限位置得到k的取值范围，再判断所求反比例函数比例系数的正负，即可确定其图象所在象限．
【详解】解：∵函数的图象位于第二 四象限，
∴，
解得，
∴，
根据反比例函数性质，当比例系数大于0时，反比例函数图象位于第一 三象限，
∴反比例函数的图象位于第一 三象限．
5．D
【详解】解：A、由图象得，当时，，故A正确；
B、图象整体呈下降趋势，随的增大而减小，故B正确；
C、图象中每一个值都有唯一确定的值与之对应；是的函数，故C正确；
D、当、时，；当、时，，不为定值，该曲线不是反比例函数的图象，故D不正确．
6．D
【分析】根据题意求得反比例函数的解析式，根据k的值，判断函数的图象所在象限以及增减性即可求解．
【详解】解：A、∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为y，正确，不符合题意；
B、∵反比例函数的解析式为，
∴当时，y，
∴点在反比例函数图象上，正确，不符合题意；
C、∵反比例函数的解析式为，
∴反比例函数的图象在第二、四象限，正确，不符合题意；
D、∵反比例函数的解析式为y，
∴此函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，
∴当时，y随x增大而增大，原说法错误，符合题意．
7．C
【详解】解：由函数图象可知：不等式的解集为或．
8．C
【分析】先求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、设与的函数关系式是，
∵图象经过点，
∴，解得，
∴与的函数关系式是，故A正确，不符合题意；
B、当时，，解得，故B正确，不符合题意；
C、 ∵反比例函数图象在第一象限，随的增大而减小，
∴当时，，故C错误，符合题意；
D、当时，，
当时，，
∴当时，的取值范围是，故D正确，不符合题意．
9．B
【分析】作交于，证明得到，再证明DE为图形的中位线得到，设，则，，，把代入中求出，所以，，则，根据两点间的距离公式得到，然后解方程可得到满足条件的的值．
【详解】解：作的中点E，连接，如图，
∴，
点为的中点，
为图形的中位线，
∴，
平分，
，
∵
，
，
，
，
设，则，，，
在的图象上，
，
解得，
经检验，是原方程的解，
，，
，
即，
解得（负值已舍去）．
10．B
【分析】设点坐标为，点坐标为，根据点在反比例函数图象上可得的值，根据点在反比例函数图象上方可得与的关系；根据点在一次函数图象上可得的值，根据点在一次函数图象下方可得与的关系．
【详解】设，
点在反比例函数图象上
点在反比例函数图象的上方
，即
点在一次函数图象上
，即
∵矩形
∴，
点在一次函数图象的下方
，即
∵矩形
∴，
∴
综上所述，，．
11．
【分析】本题考查反比例函数的概念，只需根据反比例函数的定义整理出其三种常见的表现形式即可．
【详解】解：根据反比例函数的定义，反比例函数是形如（为常数，）的函数，
对该式变形可得到另外两种表现形式，
将根据负整数指数幂的定义变形可得（为常数，）；
将两边同乘变形可得（为常数，）．
12．
【分析】函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将点代入反比例函数解析式，即可求出的值．
【详解】解：函数的图象经过点，
将，代入得：．
13．
【分析】将三个点的纵坐标代入反比例函数解析式，求出，，的值，再比较大小即可得到结果．
【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴分别将三点纵坐标代入解析式：
代入点得，解得，
代入点得，解得，
代入点得，解得，
∵，
∴．
14．
【分析】设，由关于原点对称得由轴得，由轴得，则，高，再由四边形是平行四边形，则面积．
【详解】解：由题意，可设，
关于原点对称，
∴，
轴，
，
轴，
，
，
∴，且，
四边形是平行四边形，且，
四边形的面积为．
15．
【分析】根据反比例函数的“”的几何意义求解即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵点在双曲线上，
∴，
又∵双曲线在第三象限，
∴．
16．
【分析】分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，，设，则，，，，，分别求出，，，…，总结得出，最后将代入即可解题．
【详解】解：分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，．
设，则，，，，，
，
，
，
，
…，依次类推，
，
∴．
17．(1)
(2)点不在这个反比例函数的图象上
【分析】（1）将点代入即可求出反比例函数表达式；
（2）将点的横坐标代入解析式，解出纵坐标看是否与点一致即可．
【详解】（1）将点代入，解得：
，
，
所以反比例函数解析式是：．
（2）将点的横坐标代入，解得：
，
，
所以点不在这个反比例函数的图象上．
18．(1)
(2)120千帕
【分析】（1）设反比例函数为，将A点坐标代入求解即可；
（2）把立方米代入计算即可．
【详解】（1）解：设反比例函数为，
将代入得，
解得：，
即；
（2）解：把立方米代入中，得千帕．
19．(1)
(2)第一次加热：；第一次降温：
(3)能，计算过程如下：
由题意得，由到，共计时长为1小时25分钟，即85分钟，
对于第一次降温过程的函数解析式，
当时，可得，解得，
∴饮水机一个完整工作周期（加热降温）的时间为分钟，
∴85分钟，可经过3次完整工作循环，且剩余15分钟，此时水温与第15分钟的水温相同，
∴，
∵，
∴同学们能喝到不超过的水．
【详解】（1）略
（2）解：第一次加热：是关于的一次函数，设，
将点代入，可得，解得，
∴第一次加热过程的函数解析式为；
第一次降温：是关于的反比例函数，设，
将点代入，可得，解得，
当时，则，解得，
∴第一次降温过程的函数解析式为；
（3）略
20．(1)
(2)
【分析】（1）把代入，即可求出的值；
（2）根据，设直线的解析式为，根据平行线间距离相等得出，结合的面积为求出的值即可得出答案．
【详解】（1）解：∵直线过点，
，
解得：．
（2）解：如图，连接，
∵将直线向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点，
∴，
∴设直线的解析式为，，
当时，，
∴，，
∵的面积为，
∴，即，
，
，
直线的解析式为．
21．(1)①；②
(2)
【分析】本题考查了一次函数的性质，反比例数的性质；
（1）①根据题意求得，根据新定义，即可求解；
②分分别求得的值，根据新定义，即可求解；
（2）分，，，分别讨论分别求得的值，根据新定义，即可求解．
【详解】（1）解：①当时，
，当时，，当时，
∴，
∴，
故答案为：．
②当时，函数在的最大值，最小值
∴
当时，，
∴
综上所述，
（2）∵，
∴分情况讨论，
①当即时，，
∴函数的最大值为，最小值
∵，
∴当时，最小，最大，则的最大值为
②当，即，则，
∴函数的最大值为，最小值
∵，
∴
∴最小值
∴
即，
③当时，
∵
∴
∴此情形不存在，
综上所述，的最大值为
22．(1)（）；点
(2)①3；存在，点M的坐标为或
【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数关系式，再根据平行四边形的性质结合点A、O、C的坐标即可求出点B的坐标；
（2）①延长DP交OA于点E，由点D为线段BC的中点，可求出点D的坐标，再令反比例函数关系式中y＝2求出x值即可得出点P的坐标，作AE⊥x轴，PF⊥x轴，由此即可得出AE，PF，EF的长度，根据反比例中的模型：三角形的面积公式等于梯形面积，即可得出结论；
②首先，由于四边形是矩形，其邻边必然垂直，即，过作的垂线分别交，于点，，已知点，所以可以求出直线的解析式；接下来，因为点必须落在平行四边形的边上，所以需要分情况讨论：分别令直线与平行四边形的两条边（、）所在的直线方程联立求解，最后，通过验证求出的交点是否在线段范围内，即可筛选出所有符合条件的点的坐标．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的关系式为.
四边形为平行四边形，且点，，点，
点，点.
（2）解：①作轴于点E，作轴于点F，如图3所示，
点为线段的中点，点、，
点，
令中，则，
点，
根据反比例函数的几何意义得，
，
②假如四边形是矩形，则，过作的垂线分别交，于点，，作轴于点，如下图：
点，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
把，代入，得，
解得，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
把代入得，
，
直线的关系式为，
联立，
解得，
；
∴点的坐标为或．

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