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第一章 预备知识（高效培优单元测试·强化卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，所以.
故选：C.
2．下列语句不是全称量词命题的是（ ）
A．任何一个实数乘以零都等于零 B．素数都是奇数
C．高一（）班绝大多数同学是团员 D．凡是过去，皆为序章
【答案】C
【分析】由全称命题的定义，全称命题为含有全称量词的命题，由此对四个选项进行分析，即可得到答案．
【解析】命题“任意一个实数乘以零都等于零”，含有全称量词，故A是全称量词命题；
B中命题可改写为：任意的素数都是奇数，含有全称量词，故B是全称量词命题；
C中命题可改写为：高一()班存在部分同学是团员，不含全称量词，C不是全称量词命题；
D中命题可改写为：所有已经发生的事，都是过去的事，含全称量词，故D是全称量词命题．
故选：C.
3．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解分式不等式，首先移项，通分，整理为，再转化为二次不等式，即可求解.
【解析】由原不等式可得，即，解得，
故原不等式的解集为.
故选：C．
4．已知集合，．若，则实数m的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】由集合相等得，解方程即可求解.
【解析】因为集合，，且，所以，解得.
故选：D
5．已知、，则“”是“”的（　　）条件
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要
【答案】B
【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断即可.
【解析】当时，满足，但，
所以由不能得到.
当时，由不等式的基本性质得，
所以由能推出.
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
6．已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质求解．
【解析】因为，又，，所以的取值范围是．
故选：C．
7．已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用恒成立等价条件转化，再利用不等式即可求得结果
【解析】因为，所以恒成立等价于恒成立，
又，当且仅当时取等号，
故.
故选：A
8．某公司共有50人，此次组织参加社会公益活动，其中参加项公益活动的有28人，参加项公益活动的有33人，且，两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人，则只参加项不参加项的有（ ）
A．7人 B．8人 C．9人 D．10人
【答案】D
【分析】设，两项公益活动都参加的有人，得出仅参加，项和两项公益活动都不参加的人数，列出方程，即可求解.
【解析】如图所示，设，两项公益活动都参加的有人，
则仅参加项的有人，仅参加项的有人，
，两项公益活动都不参加的有人，
由题意得，解得，
所以只参加项不参加项的有人）.
故选D．
二 选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9.下列说法正确的有（ ）
A．某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合
B．集合与集合是相同的集合
C．由，，，，这些数组成的集合有4个元素
D．在平面直角坐标系中，第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合
【答案】CD
【分析】A选项：集合中元素需要具备确定性，而视力差标准不确定；B选项：点集和数集无法相等；C选项：集合中相同的元素算做1个；D选项：可以判断出和异号.
【解析】对于选项A，视力差标准不确定，所以某校高一年级视力差的学生不能构成集合，故选项A错误，
对于选项B，其中集合是数集，集合是点集，
所以集合与集合不是同一集合，故选项B错误，
对于选项C，因为，由集合中元素的互异性知这些数组成的集合有4个元素，所以选项C正确，
对于选项D，因为第二或第四象限内的点横纵坐标异号，即，
所以第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合，故选D正确，
故选：CD.
10．使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】先求出不等式对一切实数都成立时的取值范围，然后再看各个选项是否在这个取值范围内.
【解析】当时，此时不等式变为，这个不等式对于一切实数恒成立.
当时，不等式是一个二次不等式，要使其对一切实数都成立，则二次函数的图象需开口向下，且与轴无交点.开口向下：二次项系数，即. 与轴无交点：判别式.此种情况，解得.
综合两种情况
不等式对一切实数都成立时的取值范围是.
分析各个选项：
A选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件.
B选项：不满足，所以不是不等式成立的充分条件.
C选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件.
D选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件.
故选：ACD.
11．若，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用基本不等式和重要不等式逐个计算判断即可.
【解析】因为（），
所以可变形为，，
解得，
当且仅当时，，
当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，
解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
由可变形为，所以，所以D错误.
故选：BC.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．（2025·江西·模拟预测）已知集合，则的真子集个数为 ．
【答案】7
【分析】由交集的运算可得，即可得到结果.
【解析】对于集合，当是，，当时，，
当时，，所以，
则其真子集的个数为.
13．若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】当时，原不等式为，符合题意；当时，要使关于的不等式的解集为，只需解得．综上，．
14．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由于，当且仅当，即时取等号，而不等式有解，所以，即，解得或．
三、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（13分）
用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集.
(1)由大于且小于的偶数组成的集合；
(2)所有被除余的整数所构成的集合；
(3)平面直角坐标系中第四象限的全体点的坐标构成的集合；
【解析】（1）有限集.（5分）
（2），无限集.（10分）
（3），无限集.（15分）
16．（15分）
已知，命题：，；命题：，.
(1)若为真命题，求实数的取值范围；
(2)若，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围.
【分析】（1）利用一元二次型不等式恒成立，分分类求解.
（2）由存在量词命题真求出命题，再利用两个命题一真一假求出范围.
【解析】（1），，而；
则，（4分）
解得，
所以实数的取值范围是.（7分）
（2），，而，因此，（10分）
即命题：，由（1）知，命题：，
由，中有且仅有一个为真命题，得真假或假真，（12分）
若真假，则；若假真，则，
所以实数的取值范围是.（15分）
17．（15分）
某企业研发的一条生产线生产某种产品，据测算，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系式为y=ax2+3000，且当年产量是100吨时，总成本为6000万元．平均成本=．
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求出这个最低成本；
(2)若企业每吨产品的出厂价为90万元，当年利润不少于3000万元时，则该生产线年产量的最小值应为多少吨？（利润=销售额-成本）
【分析】（1）由题意可知，当x=100时，y=6000，由此可求出a的值，再利用基本不等式求解即可；
（2）由题意可知，年利润，令，求出x的取值范围即可．
【解析】（1）当年产量是100吨时，总成本为6000万元，
所以，解得，
所以，
所以生产每吨产品的平均成本为，（6分）
当且仅当，即x=100，
所以当年产量为100吨时，生产每吨产品的平均成本最低，最低成本为60万元.(8分)
（2）由题意可知，年利润，
令，得，（12分）
解得：，
所以该生产线年产量的最小值应为100吨．（15分）
18．（17分）
已知集合．
(1)若，求;
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【分析】 利用交集运算即可；
利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可；
把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围.
【解析】（1）当时，，
所以.(4分)
（2）因为，
所以由，得， （6分）
当时，，解得，满足题意；（8分）
当时，则，解得，
综上，，故实数的取值范围为.(12分)
（3）由是的充分不必要条件，可得 ，
又，
则，且式等号不同时成立，解得，
故实数的取值范围是．（17分）
19.(17分)
已知函数.
(1)关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集;
(2)已知，当时，，
①若存在正实数a，b，使不等式有解，求的取值范围;
②求的最小值.
【分析】（1）由根与系数的关系求出关系，代入所求不等式，分类讨论解集；
（2）由条件得，再利用基本不等式求解问题.
【解析】（1）因为关于的不等式的解集为，
所以，即（3分）
所以不等式可转化为，
又，所以，即，
当，即时，解得;
当，即时，解得;
当，即时，解得，
综上所述:当时，不等式的解集为;
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.(7分)
（2）因为当时，，所以，
即，所以，（9分）
①若存在正实数a，b，使不等式有解，则，
，
当且仅当，即时，，
所以，解得或，
即的取值范围是.（12分）
②由，可得，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为36.（17分）
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第一章 预备知识（高效培优单元测试·强化卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列语句不是全称量词命题的是（ ）
A．任何一个实数乘以零都等于零 B．素数都是奇数
C．高一（）班绝大多数同学是团员 D．凡是过去，皆为序章
3．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合，．若，则实数m的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
5．已知、，则“”是“”的（　　）条件
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要
6．已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．某公司共有50人，此次组织参加社会公益活动，其中参加项公益活动的有28人，参加项公益活动的有33人，且，两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人，则只参加项不参加项的有（ ）
A．7人 B．8人 C．9人 D．10人
二 选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9.下列说法正确的有（ ）
A．某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合
B．集合与集合是相同的集合
C．由，，，，这些数组成的集合有4个元素
D．在平面直角坐标系中，第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合
10．使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
11．若，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．（2025·江西·模拟预测）已知集合，则的真子集个数为 ．
13．若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是
14．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是 ．
三、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（13分）
用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集.
(1)由大于且小于的偶数组成的集合；
(2)所有被除余的整数所构成的集合；
(3)平面直角坐标系中第四象限的全体点的坐标构成的集合；
16．（15分）
已知，命题：，；命题：，.
(1)若为真命题，求实数的取值范围；
(2)若，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围.
17．（15分）
某企业研发的一条生产线生产某种产品，据测算，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系式为y=ax2+3000，且当年产量是100吨时，总成本为6000万元．平均成本=．
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求出这个最低成本；
(2)若企业每吨产品的出厂价为90万元，当年利润不少于3000万元时，则该生产线年产量的最小值应为多少吨？（利润=销售额-成本）
18．（17分）
已知集合．
(1)若，求;
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
19.(17分)
已知函数.
(1)关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集;
(2)已知，当时，，
①若存在正实数a，b，使不等式有解，求的取值范围;
②求的最小值.21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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