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三线八角中的截线问题
一．选择题（共 22 小题）
1 ．如图，直线 a ，b 被直线 c 所截，下列条件中，不能判定 a ∥b 的是 ( )
A ． ∠2 = ∠5 B ． ∠1 = ∠3
C ． ∠5 = ∠4 D ． ∠1+∠5 ＝180 °
2 ．如图，直线 a 、b 被直线所截，下列条件能使 a ∥b 的是 ( )
A ． ∠1 = ∠3 B ． ∠6 = ∠8
C ． ∠7+∠8 ＝180 ° D ． ∠2+∠7 ＝180 °
3 ．如图，直线 l1 、l2 被直线 l3 所截，下列选项中能得到 l1 ∥l2 的是 ( )
A ． ∠1 = ∠2 B ． ∠3 = ∠5
C ． ∠2 = ∠5 D ． ∠2+∠4 ＝180 °
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4 ．如图，直线AB ，CD 被直线 EF 所截，AB∥CD ， ∠1 ＝60 ° , 则∠2 的度数为 ( )
A ．100 ° B ．110 ° C ．120 ° D ．130 ° 5 ．如图，直线AD 、BE 被直线 BF 和 AC 所截，下列说法正确的是 ( )
A ． ∠3 与∠4 是同旁内角 B ． ∠2 与∠5 是同位角
C ． ∠6 与∠1 是内错角 D ． ∠2 与∠6 是同旁内角
6 ．已知如图，直线AB 、CD 被直线 AC 所截，AB∥CD ，点 P 是平面内任意一点（注：点 P 不在直线 AB、 CD 及 AC 上）．设∠BAP ＝x ° , ∠DCP＝y ° , 则∠APC 的度数可能是：①x °+y ° ; ②x °﹣y ° ; ③y ° ﹣x ° ; ④360 °﹣x °﹣y ° ；其中正确的是 ( )
A ． ①②③④ B ． ①②④ C ． ①②③ D ． ①③④
7 ．如图，直线 a ，b 被直线 c 所截，则∠1 与∠2 的位置关系是 ( )
A ．同位角 B ．对顶角 C ．同旁内角 D ．内错角
8 ．如图，已知直线 a ，b 被直线 c 所截，下列属于同旁内角是 ( )
A ． ∠1 和∠4 B ． ∠3 和∠5 C ． ∠2 和∠3 D ． ∠1 和∠3
9 ．如图，直线 a ，b ，c 被射线 l 和 m 所截，则下列关系正确的是 ( )
A ． ∠1 与∠2 是对顶角 B ． ∠1 与∠3 是同旁内角
C ． ∠3 与∠4 是同位角 D ． ∠2 与∠3 是内错角
10 ．下列命题是真命题的有（ ）个．
①对顶角相等，邻补角互补；
②两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行；
③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3
11．如图，直线 a ，b 被 c 所截，则∠1 与∠2 是 ( )
A ．同位角 B ．内错角 C ．同旁内角 D ．邻补角
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12 ．如图，直线 b ，c 被直线 a 所截，则∠1 与∠2 是 ( )
A ．同位角 B ．内错角 C ．同旁内角 D ．对顶角
13 ．如图，平行线 AB ，CD 被直线 AE 所截， ∠1 ＝110 ° , 则下列结论正确的是 ( )
A ． ∠2 ＝110 ° B ． ∠3 ＝70 ° C ． ∠4 ＝70 ° D ． ∠5 ＝70 °
14 ．如图，直线 AB 、CD 被直线 EF 所截，交点为 P 、Q ，若∠1 ＝50 ° , 则∠2 的同位角等于 ( )
A ．50 ° B ．120 ° C ．130 ° D ．150 °
15 ．如图，已知直线AB 、CD 被直线 AC 所截，AB∥CD ，E 是平面内任意一点（点 E 不在直线 AB 、CD 、 AC 上），设∠BAE = α , ∠DCE = β . 下列各式： ①α+β , ②α﹣ β , ③β ﹣α , ④360 ° ﹣α﹣ β , ∠AEC的度数可能是 ( )
A ． ①②③ B ． ①②④ C ． ①③④ D ． ①②③④
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16 ．如图，直线 a ，b 被直线 c 所截，若 a ∥b ， ∠1 ＝56 ° , 则∠2 是 ( )
A ．56 ° B ．114 ° C ．134 ° D ．124 °
17 ．以下说法中：
（1）同角或等角的余角相等；
（2）两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等；
（3）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．其中正确的有 ( )
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
18 ．数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角 ”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示 ( )
A ．同位角、内错角、同旁内角 B ．同旁内角、同位角、 内错角
C ．同位角、对顶角、同旁内角 D ．同位角、内错角、对顶角
19 ．如图，直线 b ，c 被直线 a 所截，若∠1+∠6 ＝180 ° , 则图中与∠3 互补的角有 ( )
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
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20 ．如图， ∠2 与∠4 的位置关系是 ( )
A ．同位角 B ．内错角 C ．对顶角 D ．同旁内角21 ．三条直线两两相交如图所示， ∠1 与∠2 是 ( )
A ．对顶角 B ．内错角 C ．同位角 D ．同旁内角
22 ．如图，下列叙述不正确的是 ( )
A ． ∠1和∠4 是内错角 B ． ∠4 和∠5 是同位角
C ． ∠2 和∠4 是同旁内角 D ． ∠2 和∠3 是邻补角
二．填空题（共 6 小题）
23．如图 1，这是一款便携式折叠椅，图 2 为其截面示意图．若 AB∥CD ，∠1 ＝35 ° , ∠2 ＝4∠A，则∠ABC
°
=
.
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24 ．如图，直线 a ，b 被直线 c 所截，添加一个条件 ，使 a ∥b．
25 ．如图两条直线被第三条直线所截， ∠2 是∠3 的同旁内角， ∠1 是∠3 的内错角，若∠2 ＝4∠3 ， ∠3 ＝2 ∠1 ，则∠1 的度数是 ．
26 ．如图，直线 a ，b 被 c 所截， ∠1 ＝130 ° , 当∠2 = °时，a ∥b．
27 ．如图，是小明学习三线八角时制作的模具，经测量∠2 ＝100 ° , 要使木条 a 与 b 平行，则∠1 的度数必须是 ．
28 ．如图，将木条 a ，b 与 c 钉在一起， ∠1 ＝88 ° , ∠2 ＝50 ° , 要使木条 a 与 b 平行，木条 a 旋转的度数至少是 ．
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三．解答题（共 7 小题）
29 ．已知，如图，直线 AB ，CD 被直线 EF 所截，H 为 CD 与 EF 的交点，GH⊥CD 于点 H， ∠2 ＝30 ° , ∠1 ＝60 ° . 求证：AB∥CD．
30 ．如图所示，直线 AB∥CD ，直线 AB 、CD 被直线 EF 所截，EG 平分∠BEF，FG 平分∠DFE，
（1）若∠AEF＝50 ° , 求∠EFG 的度数．
（2）判断 EG 与 FG 的位置关系，并说明理由．
31 ．如图 1 ，对于两条直线 l1 ，l2 被第三条直线 l3 所截的同旁内角∠α , ∠β满足∠β = ∠α+30 ° , 则称∠β是∠α 的关联角．
（1） 已知∠β是∠α 的关联角．
①当∠α =50 °时， ∠β = ° ;
②当 2∠α﹣ ∠β =45 °时，直线 l1 ，l2 的位置关系为 ；
（2）如图 2 ，已知∠AGH 是∠CHG 的关联角，点 O 是直线 EF 上一定点．
①求证： ∠DHG 是∠BGH的关联角；
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②过点 O 的直线 MN 分别交直线 CD，AB 于点 P ，Q ，且∠CHG ＝80 ° . 当∠EOP 是图中某角的关联角时，写出所有符合条件的∠EOP 的度数为 ．
32 ．如图，直线 AB 和直线 CD 被直线 EF 所截， ∠BMN= ∠DNF， ∠1 = ∠2 ，那么 MG 与 NP 平行吗？请说明理由．
33 ．已知：如图，AB∥CD ，MN 截 AB 、CD 于 E、F，且 EG∥FH，求证： ∠1 = ∠2．
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34 ．如图 1 、图 2 ，直线 AB ，CD 被射线 MN 所截，且 AB∥CD ，P 是射线 NB 上的定点，点 Q 在射线 MN上，连接 PQ ，过点 Q 作 QE⊥PQ ，与直线 CD 交于点 E ，且∠NMD ＝50 ° .
（1）如图 1 ，当点 Q 与点 N 重合时，求∠MQE 的度数；
（2）若点 Q 在线段 MN 上（点 Q 不与点 M，N 重合）．
①依题意，在图 2 中补全图形；
②猜想∠NPQ 与∠MEQ 之间的数量关系，并证明；
（3）当点 Q 在线段 MN 的延长线上，且∠MQE ＝15 °时，求∠NPQ 的度数．
35 ．问题情景：
如图，AB∥CD ，直线 EF 与直线 CD 、直线 AB 分别交于点 P 点 Q ，构成“三线八角 ”．
探究：（1）在图中，作“三线八角 ”中任意两个角的角平分线，试判断这两条角平分线的位置关系．请你画出其中四种不同情况的图形，并选择一种进行证明；
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发现：（2）把你的发现用一句话概括出来；
拓展：（3）在备用图中，请你在直线 EF 的右侧平面内任取一点 M，连结 MP，MQ，探究∠MPD，∠MQB， ∠PMQ 之间的关系．请你画出所有不同的情况对应的图形，并直接写出结论．
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三线八角中的截线问题
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B D A C D A D D C B A
题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
答案 A C C D D B A D A D C
一．选择题（共 22 小题）
1 ．如图，直线 a ，b 被直线 c 所截，下列条件中，不能判定 a ∥b 的是 ( )
A ． ∠2 = ∠5 B ． ∠1 = ∠3
C ． ∠5 = ∠4 D ． ∠1+∠5 ＝180 °
【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．
【解答】解： ∵ ∠2 = ∠5，
∴a ∥b，
∵ ∠4 = ∠5，
∴a ∥b，
∵ ∠1+∠5 ＝180 ° , ∴a ∥b，
故选：B．
【点评】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2 ．如图，直线 a 、b 被直线所截，下列条件能使 a ∥b 的是 ( )
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A ． ∠1 = ∠3 B ． ∠6 = ∠8
C ． ∠7+∠8 ＝180 ° D ． ∠2+∠7 ＝180 °
【分析】根据题意结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法判断．
【解答】解：根据平行线的判定定理，
A 、 ∠1 与∠3 是对顶角，它们相等，不能判定 a ∥b ．故本选项错误，不符合题意；
B 、 ∠6 与∠8 是对顶角，它们相等，不能判定 a ∥b ．故本选项错误，不符合题意；
C、 ∠7 与∠8 互为补角，不能根据∠7+∠8 ＝180 °判定 a ∥b ．故本选项错误，不符合题意；
D 、若∠2+∠7 ＝180 ° , 根据“ 同旁内角互补，两直线平行 ”可以判定 a ∥b ．故本选项正确，符合题意；故选：D．
【点评】本题考查了平行线的判定．解题的关键是要判定两直线平行，可围绕截线找同位角、 内错角和同旁内角．
3 ．如图，直线 l1 、l2 被直线 l3 所截，下列选项中能得到 l1 ∥l2 的是 ( )
A ． ∠1 = ∠2 B ． ∠3 = ∠5
C ． ∠2 = ∠5 D ． ∠2+∠4 ＝180 ° 【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【解答】解： ∵ ∠1 = ∠2， ∴l1 ∥l2，
故 A 符合题意；
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由∠3 = ∠5 ，不能判定 l1 ∥l2，故 B 不符合题意；
由∠2 = ∠5 ，不能判定 l1 ∥l2，
故 C 不符合题意；
由∠2+∠4 ＝180 ° , 不能判定 l1 ∥l2，故 D 不符合题意；
故选：A．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
4 ．如图，直线AB ，CD 被直线 EF 所截，AB∥CD ， ∠1 ＝60 ° , 则∠2 的度数为 ( )
A ．100 ° B ．110 ° C ．120 ° D ．130 °
【分析】先根据对顶角的性质得出∠3 = ∠1 ＝60 ° , 再根据平行线的性质可得出∠3+∠2 ＝180 ° , 据此可求出∠2 的度数．
【解答】解：如图， ∵ ∠1 ＝60 ° , ∴ ∠3 = ∠1 ＝60 ° ,
∵AB∥CD，
∴ ∠3+∠2 ＝180 ° ,
∴ ∠2 ＝180 °﹣ ∠3 ＝180 °﹣60 ° = 120 ° .
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质、对顶角相等，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
5 ．如图，直线AD 、BE 被直线 BF 和 AC 所截，下列说法正确的是 ( )
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A ． ∠3 与∠4 是同旁内角 B ． ∠2 与∠5 是同位角
C ． ∠6 与∠1 是内错角 D ． ∠2 与∠6 是同旁内角
【分析】根据同位角、同旁内角、内错角和邻补角的概念解答即可．
【解答】解：A 、 ∠3 与∠4 是内错角，故选项 A 错误；
B 、 ∠2 与∠5 不是同位角，故选项 B 错误；
C、 ∠1 与∠6 不是同旁内角，故选项 C 错误； D 、 ∠2 与∠6 是同旁内角，正确；
故选：D．
【点评】此题考查同位角、同旁内角、内错角，关键是根据同位角、同旁内角、内错角和邻补角的概念解答．
6 ．已知如图，直线AB 、CD 被直线 AC 所截，AB∥CD ，点 P 是平面内任意一点（注：点 P 不在直线 AB、 CD 及 AC 上）．设∠BAP ＝x ° , ∠DCP＝y ° , 则∠APC 的度数可能是：①x °+y ° ; ②x °﹣y ° ; ③y ° ﹣x ° ; ④360 °﹣x °﹣y ° ；其中正确的是 ( )
A ． ①②③④ B ． ①②④ C ． ①②③ D ． ①③④
【分析】根据点 E 有 6 种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．
【解答】解：（1）如图 1 ，由 AB∥CD ，可得∠AOC = ∠DCP1＝y ° , ∵∠AOC = ∠BAP1+∠AP1C，
∴∠AP1C＝y °﹣x ° ;
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（2）如图 2 ，过 P2作 AB 平行线，则由AB∥CD ，可得∠1 = ∠BAP2 ＝x ° , ∠2 = ∠DCP2＝y ° , ∴∠AP2C ＝x °+y ° ,
（3）如图 3 ，由 AB∥CD ，可得∠BOP3 = ∠DCP3＝y ° , ∵∠BAP3 = ∠BOP3+∠AP3C，
∴∠AP3C ＝x °﹣y ° ,
（4）如图 4 ，由 AB∥CD ，可得∠BAP4+∠AP4C+∠DCP4 ＝360 ° , ∴∠AP4C ＝360 °﹣x °﹣y ° ,
(
+
∠
P
＝
180
°
;
) (
x
°
+
y
°
﹣
x
°
.
﹣
x
°﹣
) (
y
°
,
180
°﹣
x
°﹣
y
°
.
)（5）当点 P 是∠BAC 和∠ACD 的交点时，x °+y ° = ∠P ＝90 ° , （6）当点 P 在 CD 的下方时，同理可得， ∠APC ＝x °﹣y °或y °综上所述， ∠APC 的度数可能为y °﹣x ° , x °+y ° , x﹣y ，360 °故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，
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内错角相等．
7 ．如图，直线 a ，b 被直线 c 所截，则∠1 与∠2 的位置关系是 ( )
A ．同位角 B ．对顶角 C ．同旁内角 D ．内错角【分析】根据两角在截线的两旁，在两条被截线的内侧，即可得出结论．
【解答】解： 由图可知： ∠1 与∠2 的位置关系是内错角；
故选：D．
【点评】本题考查三线八角．找准截线，确定角的位置关系，是解题的关键．
8 ．如图，已知直线 a ，b 被直线 c 所截，下列属于同旁内角是 ( )
A ． ∠1 和∠4 B ． ∠3 和∠5 C ． ∠2 和∠3 D ． ∠1 和∠3
【分析】根据对顶角、邻补角，同位角、 内错角、同旁内角的意义，逐一判断即可解答．
【解答】解：A 、 ∠1 与∠4 属于同位角，故 A 不符合题意；
B 、 ∠3 与∠5 属于对顶角，故 B 不符合题意； C、 ∠2 与∠3 属于内错角，故 C 不符合题意； D 、 ∠1 与∠3 属于同旁内角，故 D 符合题意；故选：D．
【点评】本题考查了对顶角、邻补角，同位角、 内错角、同旁内角，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
9 ．如图，直线 a ，b ，c 被射线 l 和 m 所截，则下列关系正确的是 ( )
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A ． ∠1 与∠2 是对顶角 B ． ∠1 与∠3 是同旁内角
C ． ∠3 与∠4 是同位角 D ． ∠2 与∠3 是内错角
【分析】根据对顶角的定义可得 A 说法错误，根据同旁内角的定义可得 B 说法错误，根据同位角的定义可得 D 说法正确，根据内错角的定义可得 C 说法错误．
【解答】解：A 、 ∠1 与∠2 不是对顶角，原说法错误，故此选项不符合题意；
B 、 ∠1 与∠3 不是同旁内角，原说法错误，故此选项不符合题意； C、 ∠3 与∠4 是同位角，原说法错误，故此选项不符合题意；
D 、 ∠2 与∠3 不是内错角，原说法错误，故此选项不符合题意；故选：C．
【点评】此题主要考查了对顶角、邻补角、同位角、内错角，解题的关键是掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形．
10 ．下列命题是真命题的有（ ）个．
①对顶角相等，邻补角互补；
②两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行；
③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3
【分析】根据平行线的性质定理、平行公理、对顶角和邻补角的概念判断即可．
【解答】解： ①对顶角相等，邻补角互补，原说法正确，故①是真命题；
②两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线平行，原说法错误，故②是假命题
③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，原说法错误，故③是假命题；
④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，故④是假命题；所以真命题的有 1 个．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，对顶角和邻补角的概念．熟练掌握平行线的性质、对顶角定义、邻补角定义是解题的关键．
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11．如图，直线 a ，b 被 c 所截，则∠1 与∠2 是 ( )
A ．同位角 B ．内错角 C ．同旁内角 D ．邻补角
【分析】根据同位角、 内错角、同旁内角、邻补角的定义解答即可．
【解答】解：如图所示， ∠1和∠2 两个角都在被截直线 a 和 b 的同侧，并且在第三条直线 c（截线）的同旁，故∠1 和∠2 是直线 a 、b 被 c 所截而成的同位角．
故选：A．
【点评】本题考查了同位角，内错角，同旁内角，邻补角，熟练掌握同位角、 内错角、同旁内角、邻补角的定义是解题的关键．
12 ．如图，直线 b ，c 被直线 a 所截，则∠1 与∠2 是 ( )
A ．同位角 B ．内错角 C ．同旁内角 D ．对顶角
【分析】利用同位角定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，得出即可．
【解答】解：利用同位角的定义得出： ∠1 与∠2 是同位角．
故选：A．
【点评】此题主要考查了同位角的定义，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
13 ．如图，平行线 AB ，CD 被直线 AE 所截， ∠1 ＝110 ° , 则下列结论正确的是 ( )
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A ． ∠2 ＝110 ° B ． ∠3 ＝70 ° C ． ∠4 ＝70 ° D ． ∠5 ＝70 °
【分析】利用平行线的性质，可以分别求出∠2 ， ∠3 ， ∠4 ， ∠5 的度数，由此可以判断哪个选项是错误的．
【解答】解： ∵AB∥CD ， ∠1 ＝110 ° , ∴ ∠5 = ∠3 ＝110 ° , ∠1+∠2 ＝180 °
∴ ∠4 = ∠2 ＝70 ° ,
即只有选项 C 答案正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意对顶角相等以及邻补角互补的灵活运用．
14 ．如图，直线 AB 、CD 被直线 EF 所截，交点为 P 、Q ，若∠1 ＝50 ° , 则∠2 的同位角等于 ( )
A ．50 ° B ．120 ° C ．130 ° D ．150 °
【分析】 由图可知， ∠2 的同位角为∠EPC ，而∠EPC 与∠1 互为邻补角，根据∠1 求出∠EPC 即可． 【解答】解： ∵ ∠1 ＝50 ° ,
∴ ∠EPC ＝180 °﹣50 ° = 130 ° , ∴ ∠2 的同位角∠EPC 为 130 ° ,故选：C．
【点评】本题考查了同位角以及邻补角，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
15 ．如图，已知直线AB 、CD 被直线 AC 所截，AB∥CD ，E 是平面内任意一点（点 E 不在直线 AB 、CD 、 AC 上），设∠BAE = α , ∠DCE = β . 下列各式： ①α+β , ②α﹣ β , ③β ﹣α , ④360 ° ﹣α﹣ β , ∠AEC的度数可能是 ( )
A ． ①②③ B ． ①②④ C ． ①③④ D ． ①②③④
【分析】根据点 E 有 6 种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算
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求解即可．
【解答】解：（1）如图， 由 AB∥CD ，可得∠AOC = ∠DCE1 = β , ∵∠AOC = ∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C = β ﹣α .
（2）如图，过 E2作 AB 平行线，则由AB∥CD ，可得∠1 = ∠BAE2 = α , ∠2 = ∠DCE2 = β , ∴∠AE2C = α+β .
（3）如图， 由 AB∥CD ，可得∠BOE3 = ∠DCE3 = β , ∵∠BAE3 = ∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C = α﹣β .
（4）如图， 由 AB∥CD ，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4 ＝360 ° , ∴∠AE4C ＝360 °﹣α﹣β .
∴∠AEC 的度数可能为β ﹣α , α+β , α﹣ β , 360 °﹣α﹣ β .
（5）当点 E 在 CD 的下方时，同理可得， ∠AEC = α﹣β或β ﹣α .故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等．
16 ．如图，直线 a ，b 被直线 c 所截，若 a ∥b ， ∠1 ＝56 ° , 则∠2 是 ( )
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A ．56 ° B ．114 ° C ．134 ° D ．124 ° 【分析】先根据补角的定义求出∠3 的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解： ∵ ∠1 ＝56 ° ,
∴ ∠3 ＝180 °﹣56 ° = 124 ° , ∵a ∥b，
∴ ∠2 = ∠3 ＝124 ° .
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线的性质，余角和补角，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．
17 ．以下说法中：
（1）同角或等角的余角相等；
（2）两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等；
（3）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．其中正确的有 ( )
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
【分析】根据余角的性质判断（1）；根据平行线的性质可判断（2）；根据垂线的性质判断（3）；根据点到这条直线的距离判断（4）．
【解答】解：同角或等角的余角相等，则（1）正确；
两条平行的直线被第三条直线所截，截得的同位角相等，则（2）错误；
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故（3）正确；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故（4）错误；
正确的有 2 个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了点到直线的距离、余角的性质、垂线段最短、平行线的性质等知识点，掌握从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离是解题的关键．
18 ．数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角 ”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表
第 22 页 共 39 页
截线）．从左至右依次表示 ( )
A ．同位角、内错角、同旁内角
B ．同旁内角、同位角、 内错角
C ．同位角、对顶角、同旁内角
D ．同位角、内错角、对顶角
【分析】两条线 a 、b 被第三条直线 c 所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．
【解答】解：根据同位角、 内错角、同旁内角的概念，可知第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．
故选：A．
【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键．
19 ．如图，直线 b ，c 被直线 a 所截，若∠1+∠6 ＝180 ° , 则图中与∠3 互补的角有 ( )
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个【分析】根据补角及对顶角的性质即可得到结论．
【解答】解：从图中可以看出， ∠2 、 ∠4 与∠3 互为邻补角， ∵ ∠1+∠6 ＝180 ° , ∠6 = ∠8 ， ∠1 = ∠3，
∴ ∠3+∠8 ＝180 ° , ∠3+∠6 ＝180 ° ,
∴图中与∠3 互补的角有∠2 ， ∠4 ， ∠8 ， ∠6 共 4 个．故选：D．
【点评】本题考查了补角及对顶角的性质，熟练掌握对顶角的性质是解题的关键．
第 23 页 共 39 页
20 ．如图， ∠2 与∠4 的位置关系是 ( )
A ．同位角 B ．内错角 C ．对顶角 D ．同旁内角【分析】根据∠2 和∠4 的位置，结合同位角的定义可得答案．
【解答】解：如图所示，∠2 和∠4 两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，所以∠2 和∠4 是同位角．
故选：A．
【点评】本题考查的是同位角的识别，掌握同位角的含义是解题的关键．
21 ．三条直线两两相交如图所示， ∠1 与∠2 是 ( )
A ．对顶角 B ．内错角 C ．同位角 D ．同旁内角
【分析】两边互为反向延长线的两个角是对顶角，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若不共顶点的两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若不共顶点的两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断．
【解答】解：直线 a ，c 被直线 b 所截，则∠1 与∠2 是同旁内角；
故选：D．
【点评】本题考查了对顶角、同位角、内错角、同旁内角，熟记定义是解题的关键．
22 ．如图，下列叙述不正确的是 ( )
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A ． ∠1和∠4 是内错角 B ． ∠4 和∠5 是同位角
C ． ∠2 和∠4 是同旁内角 D ． ∠2 和∠3 是邻补角
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角， 由此即可判断．
【解答】解： 由同位角，内错角定义，得到选项 A 、B 正确，故 A 、B 不符合题意；
由同旁内角的定义知选项 C 错误，故 C 符合题意；
由邻补角的定义，得到选项 D 正确，故 D 不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查同位角， 内错角，同旁内角，邻补角，关键是掌握同位角， 内错角，同旁内角，邻补角的定义．
二．填空题（共 6 小题）
23．如图 1，这是一款便携式折叠椅，图 2 为其截面示意图．若 AB∥CD ，∠1 ＝35 ° , ∠2 ＝4∠A，则∠ABC = 40 ° .
【分析】首先根据平行线的性质得到∠A = ∠1 ＝35 ° , 然后求出∠2 ＝4∠A ＝140 ° , 然后利用邻补角互补求解即可．
【解答】解： ∵AB∥CD ， ∠1 ＝35 ° , ∴ ∠A = ∠1 ＝35 °
∴ ∠2 ＝4∠A ＝140 °
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∴ ∠ABC ＝180 °﹣ ∠2 ＝40 ° .
故答案为：40．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是熟练掌握平行线的性质．
24 ．如图，直线 a ，b 被直线 c 所截，添加一个条件 ∠2 = ∠3（答案不唯一） ，使 a ∥b．
【分析】根据平行线的判定定理分析即可得解．
【解答】解： ∵ ∠2 = ∠3，
∴a ∥b，
故答案为： ∠2 = ∠3（答案不唯一）．
【点评】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键，
25 ．如图两条直线被第三条直线所截， ∠2 是∠3 的同旁内角， ∠1 是∠3 的内错角，若∠2 ＝4∠3 ， ∠3 ＝2
∠1 ，则∠1 的度数是 20 ° .
【分析】设∠1 ＝x ° , 则∠3 ＝2x ° , ∠2 ＝8x ° , 根据邻补角互补可得方程，求解即可． 【解答】解：如图，设∠1 ＝x ° , 则∠3 ＝2x ° , ∠2 ＝4∠3 ＝8x ° ,
∵ ∠1+∠2 ＝180 ° , ∴x °+8x ° = 180 ° ,解得：x ＝20，
∴ ∠1 ＝20 ° .
故答案为：20 ° .
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【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角以及角的计算，解决问题的关键是掌握： 内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．
26 ．如图，直线 a ，b 被 c 所截， ∠1 ＝130 ° , 当∠2 ＝ 50 °时，a ∥b．
【分析】根据“ 同旁内角互补，两直线平行 ”进行填空．
【解答】解：如图，当∠1+∠2 ＝180 ° , 即∠2 ＝180 °﹣ ∠1 ＝180 °﹣ 130 ° = 50 °时，a ∥b．故答案为：50．
【点评】本题考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、 内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养学生“执果索因 ”的思维方式与能力．
27 ．如图，是小明学习三线八角时制作的模具，经测量∠2 ＝100 ° , 要使木条 a 与 b 平行，则∠1 的度数必须是 80 ° .
【分析】先求出∠2 的对顶角的度数，再根据同旁内角互补，两直线平行解答． 【解答】解：如图， ∵ ∠2 ＝100 ° ,
∴ ∠3 = ∠2 ＝100 ° ,
∴要使 b 与 a 平行，则∠1+∠3 ＝180 ° , ∴ ∠1 ＝180 °﹣ 100 ° = 80 ° .
故答案为：80 ° .
【点评】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，
28 ．如图，将木条 a ，b 与 c 钉在一起， ∠1 ＝88 ° , ∠2 ＝50 ° , 要使木条 a 与 b 平行，木条 a 旋转的度数
至少是 38 ° .
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【分析】根据同位角相等，两直线平行，求解即可．
【解答】解：根据平行线的判定定理可知，当∠1 = ∠2 时，a ∥b，
∵ ∠1 ＝88 ° , ∠2 ＝50 ° ,
∴ ∠1﹣ ∠2 ＝88 °﹣50 ° =38 ° ,
所以要使木条 a 与 b 平行，木条 a 旋转的度数至少是 38 °时，a ∥b，故答案为：38 ° .
【点评】此题考查了平行线判定，解题的关键是掌握平行线判定的方法．
三．解答题（共 7 小题）
29 ．已知，如图，直线 AB ，CD 被直线 EF 所截，H 为 CD 与 EF 的交点，GH⊥CD 于点 H， ∠2 ＝30 ° , ∠1 ＝60 ° . 求证：AB∥CD．
【分析】要证 AB∥CD ，只需证∠1 = ∠4 ，由已知条件结合垂线定义和对顶角性质，易得∠4 ＝60 ° , 故本题得证．
【解答】证明： ∵GH⊥CD ，（已知）
∴ ∠CHG ＝90 ° . （垂直定义）
又∵∠2 ＝30 ° , （已知）
∴ ∠3 ＝60 ° .
∴ ∠4 ＝60 ° . （对顶角相等）
又∵∠1 ＝60 ° , （已知）
∴ ∠1 = ∠4．
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
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【点评】准确把握平行线的判定定理，是解本题的关键．
30 ．如图所示，直线 AB∥CD ，直线 AB 、CD 被直线 EF 所截，EG 平分∠BEF，FG 平分∠DFE，
（1）若∠AEF＝50 ° , 求∠EFG 的度数．
（2）判断 EG 与 FG 的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）先根据平行线的性质得出∠EFD = ∠AEF＝50 ° , 再由 FG 平分∠DFE 即可得出结论；
（2）先由 AB∥CD 得出∠BEF+∠EFD ＝180 ° , 再根据 EG 平分∠BEF，FG 平分∠DFE 可得出∠GEF+ ∠GFE 的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：（1） ∵AB∥CD ∴ ∠EFD = ∠AEF＝50 ° ,
∵FG 平分∠DFE，
∵ ∠EFG ∠DFE×50 ° =25 ° ;
（2）EG⊥FG．
理由： ∵AB∥CD，
∴ ∠BEF+∠EFD ＝180 ° ,
∵EG 平分∠BEF，FG 平分∠DFE，
∴ ∠GEF ∠BEF， ∠GFE ∠DFE，
∴ ∠GEF+∠GFE ∠BEF ∠DFE，
(∠BEF+∠DFE）
×180 °
第 29 页 共 39 页
=90 ° ,
∴ ∠G ＝180 °﹣ (∠BEF+∠DFE）＝90 °
∴EG⊥FG．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
31 ．如图 1 ，对于两条直线 l1 ，l2 被第三条直线 l3 所截的同旁内角∠α , ∠β满足∠β = ∠α+30 ° , 则称∠β是∠α 的关联角．
（1） 已知∠β是∠α 的关联角．
①当∠α =50 °时， ∠β = 80 ° ;
②当 2∠α﹣ ∠β =45 °时，直线 l1 ，l2 的位置关系为 平行 ；
（2）如图 2 ，已知∠AGH 是∠CHG 的关联角，点 O 是直线 EF 上一定点．
①求证： ∠DHG 是∠BGH的关联角；
②过点 O 的直线 MN 分别交直线 CD，AB 于点 P ，Q ，且∠CHG ＝80 ° . 当∠EOP 是图中某角的关联角时 ， 写 出 所 有 符 合 条 件 的 ∠ EOP 的 度 数 为 140 °、145 °或155 ° .
【分析】（1） ①根据关联角所满足的关系式∠β = ∠α+30 ° 即可解答，
②解∠β = ∠α+30 °与 2∠α﹣ ∠β =45 °构成的方程组，根据∠α和∠β的关系来确定直线 l1 ，l2 的位置关系．
（2） ①由∠AGH 与∠BGH、 ∠CHG 与∠DHG 的互补关系，求出∠DHG 与∠BGH 之间的大小关系，进而命题得以证明．
②根据直线 MN 过点 O 的形式可分 4 种情况，每种情况均有 2 个角与∠EOP 互为同旁内角，因此共有 4种情况，分别解出∠EOP 的度数即可．
【解答】解：（1） ①∵∠β是∠α 的关联角， ∠α =50 ° , ∴∠β = ∠α+30 ° =50 °+30 ° = 80 ° .
故答案为：80．
第 30 页 共 39 页
②由题意可得方程组 ，解得 ，
∴∠α+∠β =75 °+105 ° = 180 ° , ∴l1 ∥l2．
故答案为：平行．
（2） ①证明： ∵∠AGH 是∠CHG 的关联角，
∴ ∠AGH= ∠CHG+30 ° ,
又∵∠DHG ＝180 °﹣ ∠CHG ， ∠BGH＝180 °﹣ ∠AGH，
∴ ∠DHG﹣ ∠BGH＝180 °﹣ ∠CHG﹣（ 180 °﹣ ∠AGH）= ∠AGH﹣ ∠CHG ＝30 ° , ∴ ∠DHG = ∠BGH+30 ° ,
∴∠DHG 是∠BGH的关联角．
②当直线 MN 位于如图所示位置时：
∵∠AGH 是∠CHG 的关联角， ∠CHG ＝80 ° , ∴ ∠AGH= ∠CHG+30 ° = 80 °+30 ° = 110 ° .
若∠EOP 是∠AGO 的关联角，则∠EOP = ∠AGO+30 ° = 110 °+30 ° = 140 ° .
若∠EOP 是∠CPO 的关联角，则∠EOP = ∠CPO+30 ° = 80 °+180 °﹣ ∠EOP+30 ° =290 °﹣ ∠EOP，得∠EOP ＝145 ° .
当直线 MN 位于如图所示位置时：
第 31 页 共 39 页
丫LAGH＝110 o ，LCHG ＝80 o ，
：LBGH＝180 o _ LAGH＝180 o _ 110 o ＝70 o ，LGHD ＝180 o _ LCHG ＝180 o _ 80 o ＝100 o若LEOP 是LBGO 的关联角，则LEOP ＝LBGO+30 o ＝70 o +30 o ＝100 o ．
丫LEOP ＝LGHD+LOPH＝100 o + LOPH＞100 o ，
：LEOP ＝100 o （舍去）．
若LEOP 是LDPO 的关联角，则LEOP ＝LDPO+30 o ＝100 o +180 o _ LEOP+30 o ＝310 o _ LEOP，得LEOP ＝155 o ．
故答案为：140 o 、145 o 或 155 o ．
【点评】本题考查了同旁内角及角的计算，难度不大，注意分情况讨论．
32 ．如图，直线 AB 和直线 CD 被直线 EF 所截，LBMN＝LDNF，L 1 ＝L2 ，那么 MG 与 NP 平行吗？请说明理由．
【分析】 由已知结合等式的性质，可得LPNF＝LGMN，根据同位角相等，两直线平行可得 MG聂NP． 【解答】解：MG聂NP．
理由： 丫LBMN＝LDNF，L 1 ＝L2（已知），
：LBMN+L 1 ＝LDNF+L2 ，即LPNF＝LGMN
：MG聂NP（同位角相等，两直线平行）．
【点评】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：同位角相等，两直线平行．
33 ．已知：如图，AB聂CD ，MN 截 AB 、CD 于 E、F，且 EG聂FH，求证：L 1 ＝L2．
第 32 页 共 39 页
【分析】先利用平行线的性质， 由 AB∥CD 得到∠MEB = ∠MFD ， 由 EG∥FH 得到∠MEG = ∠MFH，然后根据等量代换即可得到结论．
【解答】证明： ∵AB∥CD，
∴ ∠MEB = ∠MFD，
∵EG∥FH，
∴ ∠MEG = ∠MFH，
∴ ∠MEB﹣ ∠MEG = ∠MFD﹣ ∠MFH，
即∠1 = ∠2．
【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
34 ．如图 1 、图 2 ，直线 AB ，CD 被射线 MN 所截，且 AB∥CD ，P 是射线 NB 上的定点，点 Q 在射线 MN上，连接 PQ ，过点 Q 作 QE⊥PQ ，与直线 CD 交于点 E ，且∠NMD ＝50 ° .
（1）如图 1 ，当点 Q 与点 N 重合时，求∠MQE 的度数；
（2）若点 Q 在线段 MN 上（点 Q 不与点 M，N 重合）．
①依题意，在图 2 中补全图形；
②猜想∠NPQ 与∠MEQ 之间的数量关系，并证明；
（3）当点 Q 在线段 MN 的延长线上，且∠MQE ＝15 °时，求∠NPQ 的度数．
【分析】（1）根据 QE⊥PQ 得∠PQE ＝90 ° , 再根据 AB∥CD ， ∠NMD ＝50 °得∠BQM＝130 ° , 然后根据∠MQE = ∠BQM﹣ ∠PQE 可得出答案；
（2） ①依题意补全图形即可；
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②过点 Q 作 QF∥AB ，想证明 AB∥QF∥CD ，则∠NPQ = ∠PQF， ∠MEQ = ∠EQF，进而得∠NPQ+ ∠ MEQ = ∠PQF+∠EQF= ∠PQE ＝90 ° , 由此可得∠NPQ 与∠MEQ 之间的数量关系；
（3）当点 Q 在线段 MN的延长线上，且∠MQE ＝15 °时，有以下两种情况： ①当 E 在点 M 的右侧时，过点 Q 作 QG∥AB ，先求出∠MQP ＝105 ° , 再证 QG∥AB∥CD 得∠NPQ = ∠PQG ， ∠GQM＝130 ° ,然后根据∠PQG = ∠GQM﹣ ∠MQP 可得出答案； ②当点 E 在点 M 的左侧时，过点 Q 作 QG∥AB ，先求出∠MQP ＝75 ° , 同理∠NPQ = ∠PQG ， ∠GQM＝130 ° , 然后根据∠PQG = ∠GQM﹣ ∠MQP 可得出答案，综上所述即可得出∠NPQ 的度数．
【解答】解：（1） ∵QE⊥PQ，
∴∠PQE ＝90 ° ,
又∵AB∥CD，
∴∠NMD+∠BQM＝180 ° ,
∵ ∠NMD ＝50 ° ,
∴∠BQM＝180 °﹣ ∠NMD ＝130 ° ,
∴∠MQE = ∠BQM﹣ ∠PQE ＝130 °﹣90 ° =40 ° ;
（2） ①依题意补全图形如图2 所示：
②∠NPQ 与∠MEQ 之间的数量关系是： ∠NPQ+ ∠MEQ ＝90 ° .证明如下：过点 Q 作 QF∥AB ，如图2 所示：
∵QE⊥PQ，
∴∠PQE ＝90 ° ,
∵AB∥CD ，QF∥AB，
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：AB聂QF聂CD，
：LNPQ ＝LPQF，LMEQ ＝LEQF， ：LNPQ+ LMEQ ＝LPQF+LEQF，丫LPQF+LEQF＝LPQE ＝90 o ，
：LNPQ+ LMEQ ＝90 o ；
（3）当点 Q 在线段 MN 的延长线上，且LMQE ＝15 o 时，有以下两种情况：
①当 E 在点 M 的右侧时，过点 Q 作QG聂AB ，如图 4 所示：
丫QE丄PQ，
：LPQE ＝90 o ，
丫LMQE ＝15 o ，
：LMQP ＝LPQE+LMQE ＝105 o ，
丫AB聂CD ，QG聂AB，
：QG聂AB聂CD，
：LNPQ ＝LPQG ，LGQM+LNMD ＝180 o ，
丫LNMD ＝50 o ，
：LGQM＝180 o _ LNMD ＝180 o _ 50 o ＝130 o ， ：LPQG ＝LGQM _ LMQP ＝130 o _ 105 o ＝25 o ；
②当点 E 在点 M 的左侧时，过点 Q 作 QG聂AB ，如图 5 所示：
丫QE丄PQ，
：LPQE ＝90 o ，
丫LMQE ＝15 o ，
：LMQP ＝LPQE _ LMQE ＝90 o _ 15 o ＝75 o ，
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同理： ∠NPQ = ∠PQG ， ∠GQM＝130 ° ,
∴∠PQG = ∠GQM﹣ ∠MQP ＝130 °﹣75 ° =55 ° ,
∴∠NPQ = ∠PQG ＝45 ° .
综上所述： ∠NPQ 的度数为 25 °或 55 ° .
【点评】此题主要考查了平行线的性质，垂直定义，角的计算，熟练掌握平行线的性质，垂直定义，角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，漏解是易错点．
35 ．问题情景：
如图，AB∥CD ，直线 EF 与直线 CD 、直线 AB 分别交于点 P 点 Q ，构成“三线八角 ”．
探究：（1）在图中，作“三线八角 ”中任意两个角的角平分线，试判断这两条角平分线的位置关系．请你画出其中四种不同情况的图形，并选择一种进行证明；
发现：（2）把你的发现用一句话概括出来；
拓展：（3）在备用图中，请你在直线 EF 的右侧平面内任取一点 M，连结 MP，MQ，探究∠MPD，∠MQB， ∠PMQ 之间的关系．请你画出所有不同的情况对应的图形，并直接写出结论．
【分析】（1）利用平行线的性质及判定求解；
（2）语言通顺即可；
（3）利用平行线的性质求解． 【解答】解：（1）
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证明
（第 3 个图形）
已知：AB∥CD ，PG ，QH 分别平分∠CPF， ∠EQB ，求证：PG∥QH．
证明： ∵PG ，QH 分别平分∠CPF， ∠EQB，
∴∠QPF ∠CPF， ∠PQH ∠PQB，
∵AB∥CD，
∴∠CPF= ∠PQB，
∴∠QPF= ∠PQH， ∴PG∥QH；
（第 1 个图形）
已知：AB∥CD ，PG ，PH 分别平分∠CPQ ， ∠EPD ，求证：P ，Q ，H 三点共线．
证明： ∵PG ，PH 分别平分∠CPQ ， ∠EPD，
∴∠QPF ∠CPF， ∠EPH ∠EPD，
∵ ∠CPF= ∠EPD，
∴∠QPF= ∠EPH，
∴∠EPH+∠EPG = ∠QPG+∠EPG ＝180 ° ,
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∴P ，Q ，H 三点共线． （第 2 个图形）
已知：AB∥CD ，GQ ，QH 分别平分∠AQP ， ∠EQB ，求证：QG⊥QH．
证明： ∵QG ，PH 分别平分∠AQP ， ∠EQB ， ∴∠GQP ∠AQP ， ∠EQH ∠EQB，
∵∠AQP+∠EQB ＝180 ° , ∴∠GQP+∠EQH＝90 ° ,即： ∠GQH＝90 ° ,
∴QG⊥QH．
（第 4 个图形）
已知：AB∥CD ，PN，QM 分别平分∠CPQ ， ∠AQP ，求证：QM⊥PN．
证明： ∵PN，QM 分别平分∠CPQ ， ∠AQP，
∴ ∠NPF ∠CPF， ∠MQE ∠PQA，
∵AB∥CD，
∴∠CPF+∠AQE ＝180 ° , ∴∠NPF+∠MQE ＝90 °
∴∠PIQ ＝90 ° , ∴QM⊥PN．；
（2）对顶角的角平分线在一条直线上；邻补角的角平分线互相垂直；
两平行线构成的同位角的角平分线平行；
两平行线构成的内错角的角平分线平行；
两平行线构成的同旁内角的角平分线垂直； （3）
第 38 页 共 39 页
对顶角的角平分线在一条直线上；
邻补角的角平分线互相垂直；
两平行线构成的同位角的角平分线平行；
两平行线构成的内错角的角平分线平行；
两平行线构成的同旁内角的角平分线垂直；
【点评】本题考查了平行线性质和判定，分类讨论是解题的关键．
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