资源简介

(共30张PPT)
授课教师：孙老师.班级：9年级（）班.时间：.第二十九章圆29.2.1垂直于弦的直径知识点汇总前言：本节核心为垂径定理，是圆几何第一条核心计算定理，中考必考题型！主要用于圆中求弦长、半径、圆心距、拱高，贯穿圆的计算与证明，是后续圆周角、切线问题的计算基础。一、圆的对称性（定理前提）圆是轴对称图形，任意一条经过圆心的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴。垂径定理本质：利用圆的轴对称性，实现直径、弦、弧的等量转化。二、垂径定理（核心必考·原话背诵）1.定理内容垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。2.几何语言（大题标准书写）已知：在$$\odot O$$中，直径$$AB \perp$$弦$$CD$$，垂足为$$E$$可得：$$CE=DE$$，$$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$$，$$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$$3.定理拆解三结论一条直径满足“垂直弦”，自动解锁三个结果：①平分弦（线段平分）；②平分弦所对的优弧；③平分弦所对的劣弧。三、垂径定理推论（考试高频）1.推论内容平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。2.超级关键易错前提被平分的弦不能是直径！原因：圆中两条直径互相平分，但不一定垂直，必须排除直径情况，推论才成立。3.五要素知二推三（终极模型）对于圆中直径与弦的关系，满足以下5个条件中任意2个，可推出剩余3个：①过圆心（是直径/半径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分劣弧；⑤平分优弧。四、垂径定理万能计算公式（秒杀公式）1.构造直角三角形模型做题必做辅助线：连接圆心与弦端点（作半径），构造Rt△。2.核心公式设：圆半径$$R$$，弦长$$L$$，圆心到弦的距离（弦心距）$$d$$$$\boldsymbol{R^2 = d^2 + \left(\dfrac{L}{2}\right)^2}$$口诀：半径斜边，距半弦为直角边3.拱高公式（弓形问题专用）拱高（弓形高）$$h = R - d$$已知拱高可快速求弦心距，常用于拱桥、隧道、圆弧形构件计算题。五、标准解题步骤（大题满分模板）1.过圆心作弦的垂线（或利用已知直径）；2.根据垂径定理得：弦被平分，写出半弦长；3.连接半径构造直角三角形；4.利用勾股定理$$R^2=d^2+(\frac L2)^2$$列方程求解。六、本节高频易错陷阱1.忽略推论前提：平分直径的直径不垂直，推论仅限“非直径弦”；2.计算时忘记取半弦长，直接用整弦长代入勾股定理；3.不会做辅助线：解题核心永远是作垂直、连半径；4.混淆弦心距与拱高：弦心距是圆心到弦的距离，拱高是弧到弦的距离。本节满分口诀直径垂直一条弦，平分弦弧两边全；平分弦非直径线，垂直弧分等价连；半径勾股是核心，距半弦方凑直角。29.2.1垂径定理问题情境
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题：1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2 m；你能根据已知数据求出它的半径吗？
　用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．圆有无数条对称轴　
探究
画一画:按照要求作图:
1.找出圆心，记为O
2.作出一条直径，与⊙交点为C、D
3.圆上找一点A，过点A作AB⊥CD，交⊙于点B，垂足为E
动手操作
B
O
A
C
D
E
左图是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？
CD所在的直线
证明：连结OA、OB.
则OA＝OB．
又∵CD⊥AB，
∴AE=BE
∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.
∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.
B
O
A
C
D
E
已知：如图，CD是⊙的一条直径，AB是的一条弦，并且AB⊥CD，垂足为E
求证：CD是⊙O的一条对称轴
自主探究
知识点2
垂径定理及其推论
显然，由上面的证明可知，如果⊙O的直径CD垂直于弦AB,垂足为E，那么点A、B是关于CD所在直线的对称点，则AE=BE.把⊙O沿CD对折时，AD与BD重合，即AD=BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
B
O
A
C
D
E
B
O
A
C
D
E
已知：如图，CD是⊙的一条直径，AB是的一条弦，并且AB⊥CD，垂足为E
求证：
AE＝BE AC＝BC AD＝BD
⌒
⌒
⌒
⌒
自主探究
垂直于弦的直径平分弦，并
且平分弦所对的两条弧．
知识要点
垂径定理
B
O
A
C
D
E
AE＝BE
AC＝BC
AD＝BD
⌒
⌒
⌒
⌒
CD是直径，AB是弦，
CD⊥AB
①过圆心（直径）
②垂直于弦
③平分弦
④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧
条件
结论
D
O
A
B
E
C
垂径定理
　　下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
D
O
C
A
E
B
D
O
C
A
E
B
图1
图2
图3
图4
O
A
E
B
D
O
C
A
E
B
AB是⊙O的一条弦(不是直径)，且AE=BE.过点E作直径CD.
1.这个图形是轴对称图形吗 如果是，它的对称轴是什么
2.你能发现图中有哪些相等的弧 CD与AB垂直吗 说说理由.
3."不是直径”这个条件能去掉吗 如果不能，请举出反例
D
O
A
B
E
C
合作要求: (计时2分钟)
1.先独立思考
2.根据问题记录结论
3.推荐一名代表发言
合作探究
议一议
N
O
A
B
M
C
D
注意
为什么强调这里的弦不是直径？
一个圆的任意两条
直径总是互相平分，
但它们不一定互相垂
直.因此这里的弦如
果是直径，结论不一
定成立．
推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备：
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任意 个条件都可以推出其他 个结论.
注意
两
三
知识点2 垂径定理及其推论
2. （1）、在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，
则圆心O到AB的距离为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
(2)、已知在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距
离为3，则⊙O的半径是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．8
A
C
3. 1．如图，在⊙O中，弦AB＝6，
半径OC⊥AB于P，且P为OC的中点，
则AC的长是（　　）
A
A. B. 3 C. 4 D.
垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形
d + h = r
d
h
a
r
有哪些等量关系？
在a，d，r，h
中，已知其中任意
两个量，可以求出
其它两个量．
4、如图，点P为⊙O内一点，且OP＝6，若⊙O的半径为10，
则过点P的弦长不可能为（　　）
A．15.5 B．330 C．16 D．17
A
【解答】解：过P作AB⊥OP，交⊙O于A、B，连接OA；
Rt△OAP中，OA＝10，OP＝6；
根据勾股定理，得：AP2=OA2 OP2=102 62=82；AP=8
∴AB＝2AP＝16；∴过P点的弦长应该在16～20之间．
故选：A．
例2 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥, 距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).
A
C
B
D
O
37
7.23
18.5
R
R-7.23
解：设赵洲桥主桥拱的半径为R.
则R2=18.52+(R-7.23)2
解得：R≈27.3
因此，赵州桥的主桥拱
半径约为27.3m.
A
C
B
D
O
37
7.23
18.5
R
R-7.23
随堂演练
基础巩固
1.如图是武汉某座天桥的设计图，设计数据如图所示，桥拱是圆弧形，则桥拱的半径为（　　）
A．13m B．15m C．20m D．26m
【解答】解：如图，桥拱所在圆心为E，
作EF⊥AB，垂足为F，并延长交圆于点H．
由垂径定理知，点F是AB的中点．由题意知，FH＝10﹣2＝8，
则AE＝EH，EF＝EH﹣HF．
由勾股定理知，AE2＝AF2+EF2＝AF2+（AE﹣HF）2，
解得AE＝13m．故选：A．
A
2.(1)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，AB=40 m，点C是弧AB 的中点，点D是AB的中点，且CD=10 m，则这段弯路所在圆的半径为( )
A. 25 m B. 24 m C. 30 m D. 60 m
(2)福州是一座蕴存着绚丽风光，并拥有深厚人文底蕴的城市．她散落分布着很多历史悠久的古村落．现福州某乡镇景区需要复原一个古代圆拱形木门(示意图)，已知木门半径OC=5 m，测得门槛CD=6 m，门的高AE⊥CD于点E，且AE过O点，则AE的长是 ．
【答案】(1)A
【答案】(2)9 m
知识点1 圆的轴对称性
1. 下列说法中，不正确的是( )
C
A. 圆是轴对称图形
B. 圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴
C. 圆的任意一条直径都是圆的对称轴
D. 经过圆心的任意直线都是圆的对称轴
2、(本小题8分)如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，AD=CD．
(1)求证：OD // BC；
(2)若AC=10，DE=4，求BC的长．
【答案】解：(1)证明：∵AD=DC，∴AD=CD，∴OD⊥AC，∴∠AEO=90°，∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，∴∠AEO=∠ACB，∴OD//BC．
(2)∵OD⊥AC，∴AE=EC=5，
设OA=OD=r，
在Rt△AOE中，OA2=AE2+OE2，∴r2=52+(r 4)2，∴r=
∴OE=r DE= 4=，
∵AE=EC，AO=OB，∴BC=2OE=．
知识点3 垂径定理的应用
3、如图，AB为⊙O的弦，点M在AB上，AM=2，
BM=8，MN⊥OM交⊙O于N点，求MN的长．
【答案】解：连接OB，ON，作OE⊥AB于点E，如图，
∵AM=2，BM=8，∴AB=AM+BM=10，则BE=AE=5，∵AM=2，
∴ME=AE AM=3，
设OE=x，ON=R，∵MN⊥OM，∴∠OMN=90°，
在Rt△MEO中，OM2=x2+32，在Rt△OEB中，OB2=x2+52，
∴MN2=R2 OM2=x2+52 (x2+32)=42， ∴MN=4．
课堂小结
垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
方法规律：利用垂径定理解决问题，通常是根据勾股定理作出辅助线，构造出直角三角形后利用勾股定理或者列出勾股方程解答.
课后作业
1.从圆——垂径定理的基础训练中选取；
2.完成勤学早本课时的习题.圆——垂径定理的基础训练
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，为内的一个定点，为上的一个动点，射线，分别与交于，两点．若的半径长为，，则弦的最大值为 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
2.如图，在中，半径弦，垂足为若，，则的长为 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
3.如图，弦垂直于的直径，垂足为，且，，则的长为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：连接．由垂径定理得，由勾股定理得，
设圆的半径为，在中，，，则，由此得，
所以．故选：．
4.已知的半径为，、是的两条弦，，，则的度数是 ( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】B
解：分为两种情况：
如图，弦和弦在直径的同旁，
过作于，于，
和都过圆心，，，，，
，，，
在中，，即， 解得， ，
在中，， ，则， ；
当弦和弦在直径的两旁时，
过作于，于， 同理可知：此时，
所以的度数是或， 故选B．
5.半径为的中，两条弦，，的度数为( )
A. 或 B. C. D. 或
【答案】D
解：分为两种情况：
如图，弦和弦在直径的同旁，
过作于，于，
和都过圆心，，，，，
，，，
，， ，，
；
当弦和弦在直径的两旁时，
过作于，于，同理可知：此时，
所以的度数是或，故选：．
6.如图，的半径为，弦，点是的中点，连接，则的长为 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
7.如图，在中，平分，交点为，且，，则的直径为 ．
【答案】
8.如图，已知的直径与弦相交于点若，，，则的长为 ．
【答案】
9.如图，的直径与弦相交于点，点是的中点，的半径是，若，则的长是 ．
【答案】
10.如图，中，，，，以点为圆心，长为半径画圆交于，则的长是 ．
【答案】
三、解答题：本题共27小题，共216分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11.本小题分如图，是的直径，弦于点，若，，求弦的长．
【答案】解：如图，连接
，，
在中，．
12.本小题分如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点，点是的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为( )
A. B. C. D.
福州是一座蕴存着绚丽风光，并拥有深厚人文底蕴的城市．她散落分布着很多历史悠久的古村落．现福州某乡镇景区需要复原一个古代圆拱形木门示意图，已知木门半径，测得门槛，门的高于点，且过点，则的长是 ．
【答案】(1)A
(2)
13.本小题分如图，一圆弧形桥拱的圆心为，拱桥的水面跨度，桥拱到水面的最大高度为．
求桥拱的半径；
若水面上涨后的水面跨度为，则水面上涨的高度为 ；
若有一艘宽为，船舱顶部高出水面且平行于水面的游船要经过此桥拱，该船 从此桥下经过填“能”或“不能”．
【答案】(1)解：由题意，得．设的半径是，则．，．则，解得．
答：桥拱的半径为．
(2)10
(3)能
14.本小题分如图，是的直径，弦于点，若，，求弦的长．
【答案】解：如图，连接
，，，，
在中，．
15本小题分如图，是的直径，、为上的点，且，过点作于点．
求证：平分；
若，，求的半径长．
【答案】证明：，，，
，，平分；
解：过点作于，如图，则，
，，，，， ，
在和中，
， ≌， ，
在中，， 即的半径长为．
16.本小题分如图，是的直径，点、在上，，，．
求证：平分；
求的长．
【答案】解：证明：，，，，，
平分；
作于，于，如图，则，
为直径，，，，
在中，，，
在和中
≌， ．
17.本小题分如图，点，，是上的三点，．
求证：平分；
过点作于点，交于点若，，求的长．
【答案】证明：，．，．．
即平分；
解：，．又，，
．，，即的长是．
18.本小题分如图，是的直径，四边形内接于，交于点，．
求证：；
若，，求的长．
【答案】解：证明：，，，，是直径，
，，．
，，
设，
在中，，，，，
，，．
19.本小题分如图，为的弦，且点在上，是的中点．若的半径为，，，求的长．
【答案】解：连接，，是的中点，，，
，，，，，
．

20.本小题分如图，是的直径，，为上的点，且，过点作于点．
求证：平分；
若，，求的半径长．
【答案】(1)解：∵OD // BC，∴∠ODB＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠OBD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC；
(2)解：过点O作OH⊥BC于点H，则，
∵DE⊥AB，OH⊥BC，∴∠DEO＝∠OHB＝90°，∵OD // BC，∴∠DOE＝∠OBH，
∵OD＝OB，∴△ODE△BOH（AAS），∴DE＝OH＝2，
在Rt△OBH中，，即⊙ O的半径长为．

21.本小题分如图，为的直径，，垂足为，，垂足为，．
求的长；
求的半径．
【答案】解：，，，，，
又，，≌，，即．
由知：
，
设半径为，
在中，由勾股定理即，
解得，即半径为．
22.本小题分教材习题变式如图，铁路和公路在点处交会，，在点处有一栋居民楼，如果火车行驶时，周围以内会受到噪声的影响，那么火车在铁路上沿方向行驶时，居民楼受噪声影响的时间约为秒，求火车行驶的速度约为多少结果保留小数点后一位？
【答案】解：过点作，
，， ，
居民楼会受到噪音的影响； 过点作，，，
在中，，
，居民楼受噪声影响的时间约为秒， ．
答：火车行驶的速度约为秒．
23.本小题分如图，有两条公路、相交成角，沿公路方向离点米处有一所学校当重型运输卡车沿道路方向行驶时，在以为圆心米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车与学校的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车沿道路方向行驶的速度为千米时．
求对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离；
求卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间．
【答案】解：作于，
，， ，
即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离．
如图以为圆心为半径画圆，交于、两点，
，，
在中，，，
重型运输卡车的速度为千米时米分钟，
重型运输卡车经过的时间分钟秒，
答：卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为秒．
24.本小题分如图，已知测速站到公路的距离为米，一辆汽车在公路上行驶，测得此车从点行驶到点所用的时间为秒，并测得，，计算此车从到的平均速度为每秒多少米结果保留四个有效字，并判断此车是否超过了每秒米的限制速度？
【答案】解：在直角三角形中，，，
设，则，
，解得，同理可得，
那么米，速度为米秒，
超过了米秒的限制速度．
25.本小题分如图，是的直径，弦于点，连接，．
若，，求的长度；
若平分，求证：．
【答案】解：是的直径，弦，
，，，，，
在中，，，；
过点作，垂足为，
平分，，．
26.本小题分如图，是的直径，是的弦，，垂足为，，求的直径．
【答案】解：
连接，设，则，
，，，，
在中，由勾股定理得：，，解得：，
即的直径为．
27.本小题分如图，直线经过圆心，交于，两点，弦所在直线交直线于点，，，，求的长．
【答案】解：如图，过点作于点，连接，则．
，，．．．
，．．
．

28.本小题分如图，是的直径上一点，，为上两点，且若，，，求的值．
【答案】解：如图，延长交于点，
则，由圆的对称性得，
．
过点作于点，连接，则．，，
．，．
在中，，，
故的值是．

29.本小题分如图，为的弦，点在上，，，交于点，求的长．
【答案】解：连接，，作于点，如图，
，，，则，，，
设，，，，
在中，，在中，，
，
．
30.本小题分已知：如图所示，，在射线上顺次截取，，以为直径作交射线于，两点，求圆心到的距离及的长．
【答案】解：如图，过点作于点，连接．
，，．，
．，．
，，
圆心到的距离为，的长为．
31.本小题分如图，是的直径，，弦，点是的中点，连接并延长交于点，连接，求的长．
【答案】解：点是的中点， ．
在中，，， ，
．
在中，．
32.本小题分如图，是的直径，为上一点，过作弦，，，，求的长．
【答案】解：作于，连接，如图则，
，，，，，
在中，，，
在中，，，，；
33.本小题分如图，已知的直径和弦相交于点，，，，求的长．
【答案】解：，， ， ，
过点作于，可得，即为直角三角形，
， ，
连接， 在中，根据勾股定理可得，
，．
34.本小题分如图，的直径和弦相交于点，，，，求弦的长．
【答案】解：如图，过作，交于点，连接，
为的中点，即，，，，
，
在中，，，由勾股定理得，
则．
35.本小题分如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为，半径为已知函数的图象被截得的弦的长为，求的值．
【答案】连接，过点作，轴，垂足分别为，，延长，交函数的图象于点
，由垂径定理，得由题意，得，
在中，易知，，
易得在中，
易得是等腰直角三角形，，即
36.本小题分在中，为直径，是上一点，．
如图，若点与圆心重合，直接写出的值．
如图，若，，求的值．
当点在上运动时，中的结论是否改变？若不变，求其值；若变化，求其变化的范围．
【答案】(1)
(2)如图①，作OH⊥MN于H，连接ON，∴，
∴ PH＝MH－MP＝4－1＝3．∵∠NPB＝45°，∴OH＝PH＝3．
在Rt△HON中，，∴ AB＝10，∴．
(3)（2）中的结论不改变．作OH⊥MN于H，连接OM，如图②，
设PM＝a，PN＝b，∴，∴．∵∠ NPB＝45°，∴∠OPH＝45°，
∴．
在 Rt△OMH中，，∴．
37、本小题分如图，的半径为，是直径上一点，弦经过点，，于，于，求的值．
【答案】解：如图，连接，延长交于点，连接；
过点作于点，交于点； 则，，
为的直径，；，；，，
设为；，，为的中位线，
，即，；
由勾股定理得：，，；
．
第1页，共1页圆——垂径定理的基础训练
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，为内的一个定点，为上的一个动点，射线，分别与交于，两点．若的半径长为，，则弦的最大值为 ( )
A. B. C. D.
2.如图，在中，半径弦，垂足为若，，则的长为 ( )
A. B. C. D.
3.如图，弦垂直于的直径，垂足为，且，，则的长为( )
A. B. C. D.
4.已知的半径为，、是的两条弦，，，则的度数是 ( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
5.半径为的中，两条弦，，的度数为( )
A. 或 B. C. D. 或
6.如图，的半径为，弦，点是的中点，连接，则的长为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
7.如图，在中，平分，交点为，且，，则的直径为 ．
8.如图，已知的直径与弦相交于点若，，，则的长为 ．
9.如图，的直径与弦相交于点，点是的中点，的半径是，若，则的长是 ．
10.如图，中，，，，以点为圆心，长为半径画圆交于，则的长是 ．
三、解答题：本题共27小题，共216分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11.本小题分如图，是的直径，弦于点，若，，求弦的长．
12.本小题分如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点，点是的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为( )
A. B. C. D.
福州是一座蕴存着绚丽风光，并拥有深厚人文底蕴的城市．她散落分布着很多历史悠久的古村落．现福州某乡镇景区需要复原一个古代圆拱形木门示意图，已知木门半径，测得门槛，门的高于点，且过点，则的长是 ．
13.本小题分如图，一圆弧形桥拱的圆心为，拱桥的水面跨度，桥拱到水面的最大高度为．
求桥拱的半径；
若水面上涨后的水面跨度为，则水面上涨的高度为 ；
若有一艘宽为，船舱顶部高出水面且平行于水面的游船要经过此桥拱，该船 从此桥下经过填“能”或“不能”．
14.本小题分如图，是的直径，弦于点，若，，求弦的长．
15.本小题分如图，是的直径，、为上的点，且，过点作于点．
求证：平分；
若，，求的半径长．
16.本小题分如图，是的直径，点、在上，，，．
求证：平分；
求的长．
17.本小题分如图，点，，是上的三点，．
求证：平分；
过点作于点，交于点若，，求的长．
18.本小题分如图，是的直径，四边形内接于，交于点，．
求证：；
若，，求的长．
19.本小题分如图，为的弦，且点在上，是的中点．若的半径为，，，求的长．
20.本小题分如图，是的直径，，为上的点，且，过点作于点．
求证：平分；
若，，求的半径长．
21.本小题分如图，为的直径，，垂足为，，垂足为，．
求的长；
求的半径．
22.本小题分教材习题变式如图，铁路和公路在点处交会，，在点处有一栋居民楼，如果火车行驶时，周围以内会受到噪声的影响，那么火车在铁路上沿方向行驶时，居民楼受噪声影响的时间约为秒，求火车行驶的速度约为多少结果保留小数点后一位？
23.本小题分如图，有两条公路、相交成角，沿公路方向离点米处有一所学校当重型运输卡车沿道路方向行驶时，在以为圆心米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车与学校的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车沿道路方向行驶的速度为千米时．
求对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离；
求卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间．
24.本小题分如图，已知测速站到公路的距离为米，一辆汽车在公路上行驶，测得此车从点行驶到点所用的时间为秒，并测得，，计算此车从到的平均速度为每秒多少米结果保留四个有效字，并判断此车是否超过了每秒米的限制速度？
25.本小题分如图，是的直径，弦于点，连接，．
若，，求的长度；
若平分，求证：．
26.本小题分如图，是的直径，是的弦，，垂足为，，求的直径．
27.本小题分如图，直线经过圆心，交于，两点，弦所在直线交直线于点，，，，求的长．
28.本小题分如图，是的直径上一点，，为上两点，且若，，，求的值．
29.本小题分如图，为的弦，点在上，，，交于点，求的长．
30.本小题分已知：如图所示，，在射线上顺次截取，，以为直径作交射线于，两点，求圆心到的距离及的长．
31.本小题分如图，是的直径，，弦，点是的中点，连接并延长交于点，连接，求的长．
32.本小题分如图，是的直径，为上一点，过作弦，，，，求的长．
33.本小题分如图，已知的直径和弦相交于点，，，，求的长．
34.本小题分如图，的直径和弦相交于点，，，，求弦的长．
35.本小题分如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为，半径为已知函数的图象被截得的弦的长为，求的值．
36.本小题分在中，为直径，是上一点，．
如图，若点与圆心重合，直接写出的值．
如图，若，，求的值．
当点在上运动时，中的结论是否改变？若不变，求其值；若变化，求其变化的范围．
37.本小题分如图，的半径为，是直径上一点，弦经过点，，于，于，求的值．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑