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专题3-3 椭圆离心率及其范围11类题型汇总
【题型1】结合正余弦定理求离心率
【题型2】利用对称性补成平行四边形
【题型3】双焦点三角形模型之导边
【题型4】余弦定理用2次型
【题型5】结合几何性质求值
【题型6】与向量结合求离心率
【题型7】由齐次式方程求离心率
【题型8】点差法与离心率
【题型9】椭圆的第三定义与离心率
【题型10】设点运算求值问题
【题型11】求离心率范围
【题型1】结合正余弦定理求离心率
若已知焦点三角形中某个角可以考虑结合正余弦定理求其它量
已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上一点，，△的内切圆与外接圆的半径分别为，，若，则的离心率为　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：设，则．
因为，
所以，
则，则．
由等面积法可得，
整理得，
因为，所以，故．
已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且，若关于平分线的对称点在上，则的离心率为________.
【答案】
【解析】设关于平分线的对称点为Q，
则三点共线，
设，则，
又，所以在中，由余弦定理有：
，即
由椭圆定义可知，可得
所以
在中，由余弦定理可得：
，
即，所以，
所以.
【巩固练习1】如图所示，已知椭圆的方程为，若点为椭圆上的点，且，则的面积是 .
【答案】
【分析】根据椭圆的定义、余弦定理等知识求得，从而求得的面积.
【详解】由已知，得，
则，，
在中，由余弦定理，得，
所以，
由，得，
所以，化简解得，
所以的面积为.
【巩固练习2】已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.
详解：因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,
由斜率为得，，
由正弦定理得,
所以
【巩固练习3】设椭圆的焦点为，直线l过且和椭圆C交于A，B两点，且，则椭圆C的离心率为
【答案】
【分析】利用椭圆的定义列方程，再利用余弦定理求得离心率.
【详解】设，由椭圆的定义得，解得
令椭圆焦距为c，在和中，由余弦定理得，
整理得，
所以椭圆C的离心率为.
故答案为：
【题型2】利用对称性补成平行四边形
椭圆具有中心对称性，若遇到焦点三角形为直角三角形或者两条焦点弦平行时可以考虑通过对称性补成平行四边形来解题
已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：设椭圆的右焦点，连接，，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，
则，且由，可得，
所以，则，
由余弦定理可得，
即，
椭圆的离心率，
已知椭圆的左，右焦点分别为，过原点的直线与相交于，两点，若且，则椭圆的离心率为 ．
【答案】
【详解】因为过原点的直线与相交于，两点，,故四边形为矩形，故，又，，
所以，则，
又，
即，且，
解得，（由于，故舍去）
结合，故，即
又，
因此，故，解得，
故答案为：
已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于，两点．在中，，且满足，则椭圆的离心率为 ．
【答案】
【分析】设椭圆的左焦点为，连接，，根据对称性可知四边形为平行四边形，即可得到，再由余弦定理及椭圆的定义求出，即可求出，最后由得到关于的方程，解得即可.
【详解】设椭圆的左焦点为，连接，，根据对称性可知四边形为平行四边形，
又，所以，
又，
又，，
即，
，
所以，
所以，
即，
所以，解得或．
又因为，所以．
故答案为：
【巩固练习1】已知为椭圆的右焦点，过原点的直线与相交于两点，且轴，若，则的长轴长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的对称性可知，就是到椭圆左焦点的距离；再根据椭圆的定义和“焦点三角形”求的值.
【详解】设，如图，记为的左焦点，连接，
则由椭圆的对称性可知，由，设，则.
又轴，所以，即，
所以，解得.
所以的长轴长为.
【巩固练习2】（高二下·广东深圳·期末）已知椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性可得四边形为矩形，再根据椭圆的定义求出，再利用勾股定理构造齐次式即可得解.
【详解】如图，设椭圆的左焦点为，
由椭圆的对称性可得，
所以四边形为平行四边形，
又，所以四边形为矩形，所以，
由，得，
又，所以，
在中，由，
得，即，所以，
即的离心率为.
故选：A.

【巩固练习3】（2024·辽宁·一模）已知为椭圆的右焦点，过原点的直线与相交于两点，且轴，若，则的长轴长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的对称性可知，就是到椭圆左焦点的距离；再根据椭圆的定义和“焦点三角形”求的值.
【详解】设，如图，记为的左焦点，连接，
则由椭圆的对称性可知，由，设，则.
又轴，所以，即，
所以，解得.
所以的长轴长为.
【巩固练习4】设椭圆的左、右焦点分别为，点在上（位于第一象限），且点关于原点对称，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对称以及垂直可证四边形是矩形，即可根据椭圆定义，以及勾股定理求解，根据得，即可求解离心率.
【详解】点关于原点对称，所以线段互相平分，故四边形为平行四边形，
又，故，所以四边形是矩形，故，其中，
设，则，由，得，整理得，
由于点在第一象限，所以，
由，得，即，
整理得，即，解得．
故选：C
【题型3】双焦点三角形模型之导边
若椭圆中出现了过焦点的弦这类条件，可以分成2个焦点三角形来分析，进而找出4条焦半径之间的关系，再结合其它条件求出离心率
已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，结合椭圆定义得，，在中由勾股定理得，再结合求解.
【详解】连接，设，则，，，
在中，，即，
所以，所以，
在中，，即，所以.
故选:B.
已知椭圆，，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的下顶点，直线交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为
【答案】
【分析】由题意结合椭圆定义可得，在中，由余弦定理可得，再利用二倍角的余弦公式可得，从而求出椭圆的离心率.
【详解】如图，
点在椭圆上，所以，
由，代入上式得，
在，，
又，所以，
即
已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l与椭圆C交于P，Q两点．若，且，则C的离心率为 ．
【答案】
【分析】取线段的中点M，连接，由题意可得，，进而求得，，，
利用，可得，求解即可.
【详解】由题意知，，由椭圆定义，
得，则，
，取线段的中点M，连接，如图所示．
易知，，
．
在中，得，
即，得，
即，又，解得．
已知椭圆的上、下焦点分别为、，焦距为，与坐标轴不垂直的直线过且与椭圆交于、两点，点为线段的中点，若，则椭圆的离心率为 ．
【答案】
【分析】作出图形，分析可知为等腰直角三角形，设，则，利用椭圆的定义可得出，，在中，利用勾股定理可得出关于、的齐次等式，即可求出该椭圆的离心率的值.
【详解】因为点为线段的中点，，则，
所以，为等腰直角三角形，

设，则，
由椭圆的定义可得，
所以，，
所以，，
由勾股定理可得，即，
整理可得，因此，该椭圆的离心率为.
【巩固练习1】如图所示，点是椭圆的右焦点，是椭圆上关于原点对称的两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作为椭圆M的左焦点，连接．设，则，再利用椭圆的定义及对称性建立方程组求出离心率.
【详解】令为椭圆M的左焦点，连接，由A，C是椭圆上关于原点O对称的两点，
知四边形是平行四边形，又，则是矩形，
令，，则，，，
于是，即，解得，
所以椭圆的离心率为.
故选：D
【巩固练习2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，根据题目条件和椭圆定义表示其他边长，利用勾股定理得出和的关系，分别在和直角中表示，建立等量关系求椭圆离心率.
【详解】设，则，
由椭圆的定义得，，
由得，即，
整理得，解得或（舍去），
∴，故点在轴上.
如图，在直角中，，
在中，，
化简得，∴椭圆的离心率.
【巩固练习3】设，是椭圆（）的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，，，根据椭圆的定义及勾股定理求出、，即可求出、，再由余弦定理求出与的关系，即可求出离心率.
【详解】不妨设，，，则，．
又，所以，化简得，
显然，所以，解得，，所以，，
故，解得，故的离心率为．
【巩固练习4】设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，根据椭圆定义结合勾股定理解得，进而可得，在△中，利用勾股定理列式求解即可.
【详解】设，
因为，则，，
由椭圆的定义可得，，
因为，即，
在中，则，即，
解得，可得，
在△中，可得，整理得，
所以椭圆E的离心率为.
【巩固练习5】已知椭圆（）的左、右焦点为、，圆与的一个交点为，直线与的另一个交点为，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得，设，由椭圆的定义可知，的表达式，再由的值，可，在中，可得，可得点为短轴的端点，在中，由余弦定理可得，的关系，即求出椭圆的离心率的值．
【详解】由题意知，圆过椭圆的两个焦点，
因为为圆与椭圆的交点，所以，
因为，
设，可得，，
所以，
所以，
在中，，
即，解得或，
解得或（舍去），
此时点为椭圆短轴的顶点，
又，解得（负值舍去），
且，，
在中，由余弦定理可得，
整理可得，所以．故选：B．
【题型4】余弦定理用2次型
若椭圆中三点组成的三角形中有一条边过椭圆焦点，可以考虑用邻补角余弦值和为零来得到一个等式.
椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，由椭圆定义知，
又，所以，再由椭圆定义，
因为，所以，
所以由余弦定理可得，
即，
化简可得，即，
解得或（舍去）
已知，分别为椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，则椭圆的离心率为 .
【答案】/
【分析】设，，由椭圆定义得到，分别在和上，利用，求出，故，，从而得到，求出离心率.
【详解】设，则，
由椭圆定义知，故，
其中，
在中，由余弦定理得
，
在中，由余弦定理得
，
因为，所以，
即，故，
解得，
故，，
由，
故离心率.

【巩固练习1】已知椭圆的两个焦点为，过作直线与椭圆相交于两点，若且，则椭圆上的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解析：设，则，，
由椭圆定义：，，，，
，，化简,，故选C
【巩固练习2】（2024·河北沧州·二模）已知为椭圆的左 右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率为 .
【答案】
【分析】利用给定条件，结合椭圆的定义、余弦定理建立关于的等式，即可求出离心率.
【详解】由及，得，，
又，则，设，
在中，由余弦定理得，，
在中，由余弦定理得，，
于是，且，
整理得，且，因此，
所以的离心率为.
故答案为：

【巩固练习3】设分别为椭圆的左、右焦点，点均在上，若，，则椭圆的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解析：设，则，，
由椭圆定义：，
，，，
，，，
，化简，，故选B
【巩固练习4】已知椭圆的两个焦点为，过作直线与椭圆相交于两点，若且，则椭圆上的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解析：设，则，，
由椭圆定义：，，，，
，，化简,，故选C
【巩固练习5】已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则椭圆的方程为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：，且，，，
，，，，，则在轴上．
在△中，，
在△中，由余弦定理可得，
根据，可得，
解得，．椭圆的方程为：．
【题型5】结合几何性质求值
利用几何图形的性质，如对称性、相似、角度和中位线等，可以简化复杂计算。通过构建或识别图形中的几何关系，直接得出答案，避免繁琐的代数运算，提高解题效率和准确性。
已知椭圆的右焦点为F，过F点作圆的一条切线，切点为T，延长FT交椭圆C于点A，若T为线段AF的中点，则椭圆C的离心率为 ．
【答案】
【详解】设椭圆的左焦点为,连接，,
由几何关系可知，则，
即，
由椭圆的定义可知，即且，
整理得，解得，
.
故答案为：.
如图，椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上任意一点（与，不共线），M在的延长线上，PN是的角平分线，过作垂直于PN，垂足为Q，则 ．
【答案】2
【分析】由题意作图，根据角平分线的性质以及椭圆的定义，可得的长，利用三角形中位线，可得答案.
【详解】由题意，延长交于，连接，如下图：
因为为的角平分线且，所以，
则，即，
在中，易知分别为的中点，即为中位线，
所以.
（2024深高级高二期末）椭圆中，为上顶点，为左焦点，过原点作的平行线与椭圆在第一象限交于点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出的坐标，计算即可.
【详解】结合题意可得：，，所以，
因为,所以直线为，
设，联立，可得，
因为，所以，
整理得：，即，
因为椭圆的离心率，所以.
故选：B.
法二：如图，作BH垂直x轴，则，故，易知，
，将代入椭圆方程可得，解得，即
，令，则有
（重庆南开中学期末）已知，是椭圆C：的左、右焦点，P为C上异于顶点的一点，的平分线PQ交x轴于点Q.若，则椭圆C的离心率为 .
【答案】
【分析】根据角平分线性质定理结合椭圆定义即可得到关于的方程，则得到离心率的值.
【详解】设，则，则，
根据角平分线性质定理得，即，解得，
则根据椭圆定义得，，
故答案为：.
【巩固练习1】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过点F作圆的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，
由题意可得，，即，则，
∴，即．
【巩固练习2】已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则实数的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】根据椭圆的性质、三角形面积公式以及勾股定理，利用完全平方公式，可得答案.
【详解】由题意，，，即，，
整理可得，，则，解得
【巩固练习3】已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且在第一象限，过作的外角平分线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，若，则该椭圆的离心率为______.
【答案】
【分析】延长，交于点Q，根据PA是的外角平分线，得到，，再利用椭圆的定义求解.
【详解】解：如图所示：
延长，交于点Q，
∵PA是的外角平分线，
，，
又O是的中点，，且.
又，
，，∴离心率为.
【巩固练习4】（2024武汉部分重点中学期末）已知椭圆的左焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，点在第二象限，且（如图），则椭圆的离心率为 ．

【答案】
【详解】法一：设，,则，设椭圆的焦距为，则，
所以，，
因为，所以，化简得，
所以即，所以或（舍），
，又因为，所以，解得，所以椭圆的离心率.
法二：易知△BAF与△BFO相似，故，设，则，
由对称性可知，即，利用余弦定理得出等式再化简即可
【巩固练习5】已知是椭圆上一点，是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，，由题意得出是等腰直角三角形，列方程组得到含的齐次方程求解离心率即可.
【详解】如图，设，，延长交于，
由题意知，为的中点，故为中点，
又，即，则，
又点在的平分线上,则，故是等腰直角三角形，
因此，
则，
可得，，
又，则，
因此可得，
又在中，，则，
将， 代入得，
即，由所以，
所以，.
【题型6】与向量结合求离心率
结合向量求离心率，可通过向量的模和点积等性质，先求出椭圆或半圆的长轴、短轴及焦距，再利用这些几何量计算离心率。这种方法融合了向量代数与几何分析，为求解离心率提供了新颖且有效的途径
设椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线l过点.若点关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
法一：设，由已知可得，，根据椭圆的定义有.
又，所以.在中，由余弦定理可得，
，即，
整理可得，等式两边同时除以可得，，
解得，或（舍去），所以.
法二：取中点M，则，
由勾股可得，设
则有
代入消元得到关于a，c的齐次式故，下略
已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则椭圆的离心率为 ．
【答案】
【分析】利用椭圆的定义，通过假设一条焦半径长，就可以得到其他焦半径的表示，再利用勾股定理来消元假设的字母，最后利用一个角和余弦定理来建立一个的齐次式，求解离心率.
【详解】令椭圆：（）的半焦距为，
设，则，由点在轴上，
，得，
而，，因此，
即，解得，
在中，，
在中，由余弦定理得，
即，
整理得，而，所以椭圆的离心率为．
已知椭圆的两个焦点为和，直线过点，点关于直线对称点在上，且，则椭圆的离心率为____________．
【答案】
【分析】由向量线性运算化简已知等式得到，由向量数量积定义可求得，，可知为等边三角形；利用椭圆定义可得，进而可得椭圆离心率.
【详解】
设与直线交点为，则为中点，；
，
，
，，
，则，又，
为等边三角形，则，
由椭圆定义知：，
椭圆离心率.
【巩固练习1】（重庆育才中学期末）已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则的离心率为 .
【答案】
【分析】设，利用椭圆定义及对称性表示出，结合勾股定理可得，再利用余弦定理求解即得.
【详解】令椭圆：的半焦距为c，设，则，
由点在轴上，，得，而，，
因此，即，解得，
在中，，
在中，由余弦定理得，
即，整理得，，
所以的离心率为.
故答案为：
【巩固练习2】设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，设出，根据椭圆的定义可知，，再由，可知和都是直角三角形，最后利用勾股定理列方程求解即可.
【详解】因为，不妨令，

由过的直线交椭圆于，两点，由椭圆的定义可得，，，
则，，
又因为，所以，则和都是直角三角形，
由勾股定理可得，，
即，解得，
所以，，
又，，
所以，解得，
所以椭圆的离心率为.
【巩固练习3】椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆交于，两点（在左侧），若，则的离心率为 .
【答案】/0.4
【分析】取中点，根据给定条件，可得，再利用椭圆定义，结合二倍角的余弦公式列式计算即得.
【详解】设椭圆的半焦距为c，取中点，连接，则，
由，得，于是，则，，
由直线的斜率为，得，即，
而，解得，即，
，于是，解得，
所以的离心率为.
故答案为：
【题型7】由齐次式方程求离心率
由已知条件得出关于a、c的齐次方程或不等式，然后转化为关于e的方程或不等式求解；
已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不妨设椭圆方程为，焦点，离心率为e，
将代入可得，所以,
又是等腰直角三角形，所以，
所以即，所以，解得（负值舍去）.
设椭圆的左、右焦点分别为，，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：依题意作下图，由于，并且线段MN，互相平分，
∴四边形是矩形，其中，，
设，则，
根据勾股定理，，，
整理得，
由于点M在第一象限，，
由，得，即，
整理得，即，解得.
如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，过原点的直线与椭圆交于两点，椭圆上异于的点满足，，，则椭圆的离心率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据垂直关系可得，根据数量积可得，进而得在椭圆上，即可化简求解.
【详解】
连接，依题意可得，所以，
所以，
所以，
所以，
则的坐标为，所以，即，
可得，化简得，解得，即．
【巩固练习1】（2024·山东青岛·一模）已知O为坐标原点，点F为椭圆的右焦点，点A，B在C上，AB的中点为F，，则C的离心率为 ．
【答案】
【分析】先结合图形求得，代入椭圆方程构造齐次式，然后可解.
【详解】由椭圆的对称性可知，垂直于x轴，
又，所以，
所以为等腰直角三角形，故，
所以，即，
所以，整理得，
解得或（舍去），
故.
故答案为：
【巩固练习2】（广东湛江·高二统考期末）是椭圆上的一点，为左顶点，为右焦点，轴，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】轴得，在直角中由正切的定义可得的齐次式，从而得出的方程，求得结论．
【详解】解：轴，，
而由得
，即，
解得舍或.
【巩固练习3】已知椭圆：的两个焦点为，，过的直线与交于A，B两点.若，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设,则,.
由椭圆的定义可知,所以,所以,.
在△ABF1中,.
所以在△AF1F2中,,
即整理可得：
【题型8】点差法与离心率
椭圆垂径定理：已知A,B是椭圆上任意2点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有
证明（点差法）：设，，则，
，，
∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得
① ②
两式相减得：，整理得
∴
【思考】
（1）椭圆焦点在轴上时，结论是否仍然成立？
（1）设，，则，
仍有 ，，
∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得
两式相减得：，
整理得 ∴
若椭圆的弦中点坐标为，则直线的斜率为 ．
【答案】
【分析】利用点差法求得正确答案.
【详解】由于，所以点在椭圆内部，
设，，由已知，，
，两式相减得，
∴．
（2024深圳南山区高二期末）过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用点差法计算得出，借助离心率公式计算即可.
【详解】设,
因为为线段的中点，所以，
则，两式相减可得：，
整理得，即，
所以，所以.
（杭州学军中学高二上）焦距为，并且截直线所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】A
【分析】设椭圆方程为，且，及交点，将两点代入椭圆方程可得，根据弦中点坐标关系可得，结合直线方程得，再由椭圆的焦距求得的值，即可得椭圆标准方程.
【详解】解：设椭圆方程为，且
设直线与椭圆相交的两点坐标为，由题意可知，即，
所以，
又在椭圆上，可得：，两式相减得，
整理得：，则，所以，
又直线的斜率为，所以，即，所以
椭圆的焦距为，所以，则，
故可得：解得，故椭圆的标准方程为：.
【巩固练习1】已知椭圆方程为，其右焦点为，过点的直线交椭圆与，两点．若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】计算，设，，代入椭圆方程相减得到，解得答案.
【详解】的中点坐标为，则，
设，，则，，
相减得到：，即，，
又，，解得，，椭圆的方程为.
【巩固练习2】（华中师范大学第一附属中学高二期末）已知椭圆的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知求出点坐标，利用点差法求得，可求椭圆离心率.
【详解】椭圆的左焦点为，，
过作轴，垂足为，由，
得，，有，
设，则有，，
由，两式相减得，
则有，所以.
故选：D
【巩固练习3】已知直线与椭圆相交于两点.若弦被直线平分，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由点差法解出，再由结合椭圆的性质和离心率的定义解出即可.
【详解】设，因为弦被直线平分，设中点坐标，
所以，①
因为点在直线上，代入可得
，两式相减可得，②
又点在椭圆上，代入可得，两式相减可得，
代入①②可得，又椭圆中，
所以离心率，故选：C
【巩固练习4】（23-24高二上·河北邢台·期末）已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍.
(1)求的方程；
(2)若倾斜角为的直线与交于，两点，线段的中点坐标为，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件确定的值，即得椭圆的标准方程；
（2）涉及中点弦问题，可以考虑“点差法”解决问题.
【详解】（1）由题意可得，得，所以的方程为.
（2）由题意得.
设，，依题意可得，且，
由得，
则，解得.
经检验，点在椭圆内.
所以为所求.
【巩固练习5】不与坐标轴垂直的直线过点，，椭圆上存在两点关于对称，线段的中点的坐标为．若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点差法求出，再结合进行计算得出结果.
【详解】设为坐标原点，在椭圆中，设，则，
所以，
因为关于对称，所以，所以，
由线段的中点的坐标为，得出．
所以，
又，
∴，即，
又，∴，所以所求离心率为.
【题型9】椭圆的第三定义与离心率
那么点差法是不是只能解决同时与中点和斜率有关的问题呢 其实不然．其实点差法的内核还是“设而不求、整体代换”的思想，建立的是曲线上两点横纵坐标和差之间的联系，这其实也是第三定义的体现.
第三定义：平面内与两个定点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时．
【第三定义推广】：平面内与两个关于原点对称的点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时．
【证明】是椭圆上的一组对称点，P为椭圆上任意点，则有
证明（点差法）：设，，，
，，
∵P，A在椭圆上，代入坐标得
①
②
两式相减得：，整理得
∴
法二：通过椭圆的垂径定理转换 中点弦和第三定义本质上是一样的
已知点，动点P满足直线与的斜率之积为，则点P的轨迹方程 ．
【答案】
【分析】设，根据斜率的乘积为列式运算可得轨迹方程.
【详解】设，则，，，
所以，即，整理得，所以点的轨迹方程为，.
故答案为：，.
已知椭圆的左、右焦点分别为，，A为椭圆C的左顶点，以为直径的圆与椭圆C在第一、二象限的交点分别为M，N，若直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设出两点的坐标，根据已知条件列方程组，求得，从而求得椭圆的标准方程.
【详解】设，则，依题意，，解得，
所以椭圆的标准方程为.

（学军中学期末）设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
法一：记为椭圆左焦点，直线交椭圆于M，PF交椭圆与N，故PF是的中位线，故QM∥PN，由对称性可知Q、N关于原点对称，故
法二：构造中位线如图，取的中点为，连接，
则由题意可得，，所以相似，所以,
因为直线PQ，PF的斜率之积为，所以,
设，则有，两式相减可得，
即，即，即，所以椭圆的离心率为
【巩固练习1】（2024·湖北鄂州高二期末）已知椭圆C：的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率为，，若，则椭圆的方程为 .
【答案】
【分析】设点坐标后，用点差法即得.
【详解】设，因为关于原点对称，所以设，
则，
①—②得：，
即，又已知，所以所以椭圆方程为: ,
故答案为：
【巩固练习2】已知过坐标原点且异于坐标轴的直线交椭圆于两点，为中点，过作轴垂线，垂足为，直线交椭圆于另一点，直线的斜率分别为，若，则椭圆离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意设出各个点的坐标，注意到，结合，两式相比结合斜率公式即可求解.
【详解】如图所示：

设，则，
而，
又因为，所以，解得，所以椭圆离心率为.
【巩固练习3】（2024重庆南开中学高二期末）若椭圆C：的离心率为，左顶点为A，点P，Q为C上任意两点且关于y轴对称，则直线AP和直线AQ的斜率之积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据椭圆离心率求得，设，表示出的表达式，结合椭圆方程化简，即可得答案.
【详解】由题意知椭圆C：的离心率为，即，
设，则，又，
故，又，故
【巩固练习4】（2024·广东湛江·一模）
已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为 ．
【答案】
【分析】由题意可得出，设，则，，椭圆的定义可得，再由余弦定理可得，在中，由余弦定理即可求出椭圆C的离心率.
【详解】由，得为线段的中点，且点在椭圆外，所以，
则，又，所以为线段的中点，所以，
设，则，又，所以，
由椭圆的定义可知：，得，
如图，延长交椭圆C于点，连接，则由椭圆的对称性可知，
，又，故，
由余弦定理可得：，
在中，，由余弦定理可得，
即，所以椭圆C的离心率为.
【题型10】设点运算求值问题
个别选填压轴需要设点设线联立韦达化处理，这类题计算量比一般题目大一些，一般是通过坐标转化向量和几何性质
（2024深圳罗湖区高二期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，点P为E的上顶点，点Q在E上且满足，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】向量坐标化得Q坐标，代入椭圆方程计算求解离心率.
【详解】由题意,其中.
设，由，得，即，
代入椭圆得，解得离心率.
【巩固练习1】如图，椭圆C：的右顶点为A，上顶点为B，直线且在第一象限交椭圆于P点，设OP与AB的交点为M，若，则椭圆的离心率为 ．
【答案】
【分析】联立方程求出点的坐标，再由可得点的坐标，代入椭圆方程，化简整理，由椭圆的离心率公式可得所求值.
【详解】由题意，，则，且直线的方程为，
由可得，所以直线的方程为，
联立，解得，即，因为，所以，
将代入椭圆方程化简得，
即，所以或（舍去），
所以，即，所以离心率.
【巩固练习2】已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N．若直线MN在y轴上的截距为3，且，则椭圆C的标准方程为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，借助几何图形及比例式求出点M，N的坐标，再代入椭圆方程求解作答.
【详解】由对称性不妨令点M在第一象限，令直线交y轴于点A，过N作轴于B，令，

因为轴，则，而O为的中点，又A为中点，而，
于是，由知，，显然，
因此，于是，又，
则，解得，而，则，
所以椭圆C的标准方程为.
【题型11】求离心率范围
解答范围类问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
已知椭圆的左右焦点分别为，其中，过的直线与椭圆交于两点，若，则该椭圆离心率的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先设出点，借助向量数量积求得的轨迹，再利用椭圆的几何性质列出不等式求出即得.
【详解】设点，而，则，
由，得，即，
因此点在以为圆心，半径为的圆上，而点在椭圆上，则圆与椭圆有公共点，
由椭圆的几何性质知，即，亦即
整理得，即，所以椭圆离心率
已知椭圆的两个焦点为．点为上关于坐标原点对称的两点，且，的面积，则的离心率的取值范围为 ．
【答案】
【分析】作出辅助线，根据题意得到四边形为矩形，故，求出，再根据，利用勾股定理得到，得到，再根据上存在关于坐标原点对称的两点，使得，得到，得到，得到离心率.
【详解】连接，由题意得，，
又，所以四边形为矩形，故，所以，故，
又，由勾股定理得，
即，，故，即，故，
解得，又上存在关于坐标原点对称的两点，使得，故，
所以，即，所以，，解得，
综上，的离心率的取值范围是.

【巩固练习1】已知F是椭圆C：的右焦点，A是C的上顶点，直线l：与C交于M，N两点．若，A到l的距离不小于，则C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】据，得到，根据点A到直线距离，求出，从而求出得范围，从而求出答案.
【详解】设椭圆的左焦点为，A是C的上顶点，连接，如下图所示：
由椭圆的对称性可知，关于原点对称，则
又 ，四边形为平行四边形 ，又，解得：
A到l的距离为：，解得：，即 .
【巩固练习2】在平面直角坐标系中，点，向量，且.若为椭圆上一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出点的轨迹，再借助三角代换及点到直线距离公式求出最小值.
【详解】设点，由及，得，
即，而，消去得：，
设椭圆上的点，
则点到直线的距离，其中锐角由确定，当时，，而，所以的最小值为.
【巩固练习3】设椭圆的左右焦点分别为，，焦距为，点在椭圆的内部，椭圆上存在点使得成立，则椭圆的离心率的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据在椭圆内部、椭圆的定义列不等式，化简求得椭圆离心率的取值范围.
【详解】点在椭圆的内部，则，
.
因为，
当是的延长线与椭圆的交点时等号成立，
由于椭圆上存在点使得成立，所以，
综上所述，离心率的取值范围是.
故答案为：
【点睛】求解点和椭圆位置关系问题，如果点在椭圆上，则，如果在椭圆外，则，如果在椭圆内，则.要求椭圆的离心率的范围，可以考虑直接求得的范围，也可以先求的范围，再转化为的范围.
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专题3-3 椭圆离心率及其范围11类题型汇总
【题型1】结合正余弦定理求离心率
【题型2】利用对称性补成平行四边形
【题型3】双焦点三角形模型之导边
【题型4】余弦定理用2次型
【题型5】结合几何性质求值
【题型6】与向量结合求离心率
【题型7】由齐次式方程求离心率
【题型8】点差法与离心率
【题型9】椭圆的第三定义与离心率
【题型10】设点运算求值问题
【题型11】求离心率范围
【题型1】结合正余弦定理求离心率
若已知焦点三角形中某个角可以考虑结合正余弦定理求其它量
已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上一点，，△的内切圆与外接圆的半径分别为，，若，则的离心率为　　
A． B． C． D．
已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且，若关于平分线的对称点在上，则的离心率为________.
【巩固练习1】如图所示，已知椭圆的方程为，若点为椭圆上的点，且，则的面积是 .
【巩固练习2】已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为
A． B． C． D．
【巩固练习3】设椭圆的焦点为，直线l过且和椭圆C交于A，B两点，且，则椭圆C的离心率为
【题型2】利用对称性补成平行四边形
椭圆具有中心对称性，若遇到焦点三角形为直角三角形或者两条焦点弦平行时可以考虑通过对称性补成平行四边形来解题
已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
已知椭圆的左，右焦点分别为，过原点的直线与相交于，两点，若且，则椭圆的离心率为 ．
已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于，两点．在中，，且满足，则椭圆的离心率为 ．
【巩固练习1】已知为椭圆的右焦点，过原点的直线与相交于两点，且轴，若，则的长轴长为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】（高二下·广东深圳·期末）已知椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】已知为椭圆的右焦点，过原点的直线与相交于两点，且轴，若，则的长轴长为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习4】设椭圆的左、右焦点分别为，点在上（位于第一象限），且点关于原点对称，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【题型3】双焦点三角形模型之导边
若椭圆中出现了过焦点的弦这类条件，可以分成2个焦点三角形来分析，进而找出4条焦半径之间的关系，再结合其它条件求出离心率
已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
已知椭圆，，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的下顶点，直线交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为
已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l与椭圆C交于P，Q两点．若，且，则C的离心率为 ．
已知椭圆的上、下焦点分别为、，焦距为，与坐标轴不垂直的直线过且与椭圆交于、两点，点为线段的中点，若，则椭圆的离心率为 ．
【巩固练习1】如图所示，点是椭圆的右焦点，是椭圆上关于原点对称的两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】设，是椭圆（）的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习4】设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习5】已知椭圆（）的左、右焦点为、，圆与的一个交点为，直线与的另一个交点为，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【题型4】余弦定理用2次型
若椭圆中三点组成的三角形中有一条边过椭圆焦点，可以考虑用邻补角余弦值和为零来得到一个等式.
椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
已知，分别为椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，则椭圆的离心率为 .
【巩固练习1】已知椭圆的两个焦点为，过作直线与椭圆相交于两点，若且，则椭圆上的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】（2024·河北沧州·二模）已知为椭圆的左 右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率为 .
【巩固练习3】设分别为椭圆的左、右焦点，点均在上，若，，则椭圆的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
【巩固练习4】已知椭圆的两个焦点为，过作直线与椭圆相交于两点，若且，则椭圆上的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
【巩固练习5】已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则椭圆的方程为　　
A． B． C． D．
【题型5】结合几何性质求值
利用几何图形的性质，如对称性、相似、角度和中位线等，可以简化复杂计算。通过构建或识别图形中的几何关系，直接得出答案，避免繁琐的代数运算，提高解题效率和准确性。
已知椭圆的右焦点为F，过F点作圆的一条切线，切点为T，延长FT交椭圆C于点A，若T为线段AF的中点，则椭圆C的离心率为 ．
如图，椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上任意一点（与，不共线），M在的延长线上，PN是的角平分线，过作垂直于PN，垂足为Q，则 ．
（2024深高级高二期末）椭圆中，为上顶点，为左焦点，过原点作的平行线与椭圆在第一象限交于点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（重庆南开中学期末）已知，是椭圆C：的左、右焦点，P为C上异于顶点的一点，的平分线PQ交x轴于点Q.若，则椭圆C的离心率为 .
【巩固练习1】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过点F作圆的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则实数的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【巩固练习3】已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且在第一象限，过作的外角平分线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，若，则该椭圆的离心率为______.
【巩固练习4】（2024武汉部分重点中学期末）已知椭圆的左焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，点在第二象限，且（如图），则椭圆的离心率为 ．

【巩固练习5】已知是椭圆上一点，是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【题型6】与向量结合求离心率
结合向量求离心率，可通过向量的模和点积等性质，先求出椭圆或半圆的长轴、短轴及焦距，再利用这些几何量计算离心率。这种方法融合了向量代数与几何分析，为求解离心率提供了新颖且有效的途径
设椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线l过点.若点关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则椭圆的离心率为 ．
已知椭圆的两个焦点为和，直线过点，点关于直线对称点在上，且，则椭圆的离心率为____________．
【巩固练习1】（重庆育才中学期末）已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则的离心率为 .
【巩固练习2】设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
【巩固练习3】椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆交于，两点（在左侧），若，则的离心率为 .
【题型7】由齐次式方程求离心率
由已知条件得出关于a、c的齐次方程或不等式，然后转化为关于e的方程或不等式求解；
已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
设椭圆的左、右焦点分别为，，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，过原点的直线与椭圆交于两点，椭圆上异于的点满足，，，则椭圆的离心率为（ ）

A． B． C． D．
【巩固练习1】（2024·山东青岛·一模）已知O为坐标原点，点F为椭圆的右焦点，点A，B在C上，AB的中点为F，，则C的离心率为 ．
【巩固练习2】（广东湛江·高二统考期末）是椭圆上的一点，为左顶点，为右焦点，轴，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】已知椭圆：的两个焦点为，，过的直线与交于A，B两点.若，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【题型8】点差法与离心率
椭圆垂径定理：已知A,B是椭圆上任意2点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有
证明（点差法）：设，，则，
，，
∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得
① ②
两式相减得：，整理得
∴
【思考】椭圆焦点在轴上时，结论是否仍然成立？
证明：设，，则，
仍有 ，，
∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得
两式相减得：，
整理得 ∴
若椭圆的弦中点坐标为，则直线的斜率为 ．
（2024深圳南山区高二期末）过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（杭州学军中学高二上）焦距为，并且截直线所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．或
【巩固练习1】已知椭圆方程为，其右焦点为，过点的直线交椭圆与，两点．若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】（华中师范大学第一附属中学高二期末）已知椭圆的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】已知直线与椭圆相交于两点.若弦被直线平分，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习4】（23-24高二上·河北邢台·期末）已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍.
(1)求的方程；
(2)若倾斜角为的直线与交于，两点，线段的中点坐标为，求.
【巩固练习5】不与坐标轴垂直的直线过点，，椭圆上存在两点关于对称，线段的中点的坐标为．若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【题型9】椭圆的第三定义与离心率
那么点差法是不是只能解决同时与中点和斜率有关的问题呢 其实不然．其实点差法的内核还是“设而不求、整体代换”的思想，建立的是曲线上两点横纵坐标和差之间的联系，这其实也是第三定义的体现.
第三定义：平面内与两个定点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时．
【第三定义推广】：平面内与两个关于原点对称的点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时．
【证明】是椭圆上的一组对称点，P为椭圆上任意点，则有
证明（点差法）：设，，，
，，
∵P，A在椭圆上，代入坐标得
①
②
两式相减得：，整理得
∴
法二：通过椭圆的垂径定理转换 中点弦和第三定义本质上是一样的
（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知点，动点P满足直线与的斜率之积为，则点P的轨迹方程 ．
已知椭圆的左、右焦点分别为，，A为椭圆C的左顶点，以为直径的圆与椭圆C在第一、二象限的交点分别为M，N，若直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
（学军中学期末）设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】（2024·湖北鄂州高二期末）已知椭圆C：的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率为，，若，则椭圆的方程为 .
【巩固练习2】已知过坐标原点且异于坐标轴的直线交椭圆于两点，为中点，过作轴垂线，垂足为，直线交椭圆于另一点，直线的斜率分别为，若，则椭圆离心率为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】（2024重庆南开中学高二期末）若椭圆C：的离心率为，左顶点为A，点P，Q为C上任意两点且关于y轴对称，则直线AP和直线AQ的斜率之积为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习4】（2024·广东湛江·一模）
已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为 ．
【题型10】设点运算求值问题
个别选填压轴需要设点设线联立韦达化处理，这类题计算量比一般题目大一些，一般是通过坐标转化向量和几何性质
（2024深圳罗湖区高二期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，点P为E的上顶点，点Q在E上且满足，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】如图，椭圆C：的右顶点为A，上顶点为B，直线且在第一象限交椭圆于P点，设OP与AB的交点为M，若，则椭圆的离心率为 ．
【巩固练习2】已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N．若直线MN在y轴上的截距为3，且，则椭圆C的标准方程为 ．
【题型11】求离心率范围
解答范围类问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
已知椭圆的左右焦点分别为，其中，过的直线与椭圆交于两点，若，则该椭圆离心率的取值范围是 ．
已知椭圆的两个焦点为．点为上关于坐标原点对称的两点，且，的面积，则的离心率的取值范围为 ．
【巩固练习1】已知F是椭圆C：的右焦点，A是C的上顶点，直线l：与C交于M，N两点．若，A到l的距离不小于，则C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】在平面直角坐标系中，点，向量，且.若为椭圆上一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】设椭圆的左右焦点分别为，，焦距为，点在椭圆的内部，椭圆上存在点使得成立，则椭圆的离心率的取值范围为 .
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