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(共21张PPT)
综合与实践:制作自相似图形
第一章:图形的相似
初中数学
学习目标
结合相似图形性质,探究图形每次变换后边数、边长、面积的变化规律,提升归纳推理能力。
02
理解自相似图形的定义,掌握雪花曲线、谢尔宾斯基三角形的制作方法,能利用等边三角形完成基础自相似图形的绘制。
01
积极参与动手操作与小组合作,体会图形相似在分形图形中的应用,感受数学之美。
03
了解自相似图形在现实生活中的应用,拓宽数学视野,激发数学探究兴趣。
04
提问引导:
1.正方形展示区的边长应该如何表示？这个表示形式与我们学过的算术平方根有什么关系？
2.圆形标语牌的半径可以表示为 ,这个式子有什么特点？它是否有意义？为什么？
复习回顾
什么是相似图形？两个等边三角形一定相似吗？
形状相同、大小不同的图形叫做相似图形；
所有等边三角形的内角都相等,对应边成比例,因此一定相似。
提问引导:
1.正方形展示区的边长应该如何表示？这个表示形式与我们学过的算术平方根有什么关系？
2.圆形标语牌的半径可以表示为 ,这个式子有什么特点？它是否有意义？为什么？
情景创设
生活中很多图案局部放大后和整体外形完全一致,如部分树叶纹理、艺术花纹,这类图形有什么共同特点？我们能否用学过的相似知识亲手制作这类图形？
这类图形的局部和整体形状一致,局部与整体彼此相似,本节课我们就来探究并制作这类自相似图形。
探究新知
探究一:由等边三角形制作六角形
想一想: 你能否从一个等边三角形(图1)出发作出图2所示的六角形？
① 将等边三角形每条边三等分；
② 以每条边居中的线段为底边,向外作新的等边三角形；
③ 擦除原三角形与新三角形重叠的线段,得到六角形。
根据算术平方根的意义,二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。
探究新知
总结归纳:
1.作图流程:将等边三角形各边三等分,以中间线段为底向外作等边三角形,去除重叠边得到六角形。
2.核心结论:新构造的小等边三角形与原三角形彼此相似。
3.操作要点:保证等分线段长度一致,规范尺规作图。
探究新知
探究二:认识雪花曲线
议一议: 结合上述操作,如何利用一个等边三角形制作出图3所示图形？图4呢？
继续如此作下去,我们可以得到数学上著名的 “雪花曲线”.
探究新知
探究二:认识雪花曲线
说一说: 每做一次变换,新图形的边数是原图形的多少倍,而边长是原图形的多少？
边数:每次变换后边数变为原来的 倍；
边长:每次变换后边长变为原来的;
探究新知
探究二:认识雪花曲线
想一想: 每次变换后,在原等边三角形的一条边上所作的新等边三角形的面积,是原等边三角形面积的几分之几？
单个新三角形面积:为原三角形面积的.
探究新知
探究二:认识雪花曲线
议一议: 在雪花曲线的制作过程中,每一次向外作等边三角形,得到的新等边三角形和原等边三角形都是相似的吗？
得到的新等边三角形和原等边三角形都是相似的,即曲线的局部与局部之间是相似的,因而称雪花曲线自相似.
根据算术平方根的意义,二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。
探究新知
总结归纳:自相似图形
1.迭代规律:每一次变换,图形边数变为原来的4倍,边长变为原来的;
2.面积规律:单次新增小等边三角形面积为原三角形面积的;
3.概念定义:可分割成若干个与自身相似的图形,这类图形称为自相似图形;
4.本质特征:雪花曲线局部与整体形状一致,属于典型自相似图形。
探究新知
探究三:认识谢尔宾斯基三角形
任意三角形都是自相似图形,因为只要顺次连接三角形各边中点,就可将原三角形分割为四个都与它自身相似的小三角形.
著名的谢尔宾斯基三角形就是这样得来的.
说一说: 任意三角形都是自相似图形吗？
探究新知
探究三:认识谢尔宾斯基三角形
借助几何画板、画图软件、专业分形工具等,通过图形复制、缩放、循环迭代功能,设置重复分割、填充的程序指令,可快速生成多阶谢尔宾斯基三角形,能实现无限次图形迭代效果。
做一做: 查阅谢尔宾斯基三角形的有关资料,了解其利用计算机制作的过程,并自己动手操作制作一个范例,然后结合生活中的一些自相似图形,介绍它们在实际中的应用.
探究新知
探究三:认识谢尔宾斯基三角形
生活与实际应用举例
1.自然领域:蕨类植物叶片、雪花形态、部分树木枝干纹理,都具备自相似特征,是自然界天然的自相似图形。
2.艺术与设计:民族花纹、蕾丝纹样、装饰图案大量运用自相似结构,提升视觉层次感与美感。
3.建筑领域:部分镂空窗花、哥特式建筑纹饰、园林造型借鉴自相似图形设计。
4.科技领域:分形技术用于图像压缩、信号处理、地质纹理模拟、影视特效制作等。
探究新知
方法总结:
1.作图方法:顺次连接三角形三边中点,即可分割出四个与原图形相似的小三角形。
2.核心结论:任意三角形都是自相似图形,谢尔宾斯基三角形是经典代表。
3.知识延伸:自相似图形广泛应用于自然、艺术、计算机等领域。
课堂练习
1.判断正误,对的打 “√”,错的打 “×”。
(1) 两个形状相同、大小不同的三角形是相似图形。( )
(2) 雪花曲线不属于自相似图形。( )
(3) 任意三角形都可以通过连接各边中点,分割成四个与自身相似的小三角形。( )
2.制作雪花曲线时,将原等边三角形边长看作a,经过第一次变换后,图形的边长为______。
√
×
√
课堂练习
3.一个等边三角形初始边数为 3,每完成一次变换,边数变为原来的4倍。经过两次变换后,图形的总边数是多少？
解:第一次变换后边数:;
第二次变换后边数:;
答:总边数为48。
4.下列图形中,属于自相似图形的是( )
A.长方形 B.谢尔宾斯基三角形 C.直角梯形 D.普通平行四边形
B
课堂练习
5.已知原等边三角形的面积为S,在一条边上向外作出的小等边三角形面积是原图形的。若第一次变换一共作出 3 个这样的小三角形,求新增图形的总面积。
解:单个小三角形面积:;
新增总面积:.
课堂小结
知识点:
1.相似图形回顾:形状相同、大小不等的图形互为相似图形,等边三角形彼此相似。
2.六角形制作方法:对等边三角形边三等分,向外作等边三角形并去除重叠边。
3.雪花曲线的变化规律:迭代后边数、边长、面积的数量变化关系。
4.自相似图形定义:能够分割为若干个与自身相似的图形。
5.谢尔宾斯基三角形:连接三角形三边中点,得到四个相似小三角形,任意三角形均为自相似图形。
6.实践技能:掌握尺规作自相似图形的基本方法。
7.应用认知:了解自相似图形在自然、艺术、科技、生活中的实际应用。
8.数学思想:体会数形结合、归纳推理、模型思想,感受分形几何的数学美。
知识梳理
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