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分课时学案
课题 制作自相似图形 单元 一 学科 数学 年级 九
学习 目标 1.理解自相似图形的定义，掌握雪花曲线、谢尔宾斯基三角形的制作方法，能利用等边三角形完成基础自相似图形的绘制。 2.结合相似图形性质，探究图形每次变换后边数、边长、面积的变化规律，提升归纳推理能力。 3.积极参与动手操作与小组合作，体会图形相似在分形图形中的应用，感受数学之美。 4.了解自相似图形在现实生活中的应用，拓宽数学视野，激发数学探究兴趣。
重点 1.认识自相似图形，掌握雪花曲线、谢尔宾斯基三角形的制作步骤。 2.探究图形变换过程中边数、边长、面积的变化规律。
难点 理解局部与整体相似的自相似本质，准确推导多次图形变换后的数量变化规律。
教学过程
导入新课 复习回顾: 1.复习提问：什么是相似图形？两个等边三角形一定相似吗？ 2.情境问题：生活中很多图案局部放大后和整体外形完全一致，如部分树叶纹理、艺术花纹，这类图形有什么共同特点？我们能否用学过的相似知识亲手制作这类图形？
新知讲解 探究活动一: 由等边三角形制作六角形 想一想: 你能否从一个等边三角形（图1）出发作出图2所示的六角形？ 总结归纳： 探究活动二: 认识雪花曲线 议一议: 结合上述操作，如何利用一个等边三角形制作出图3所示图形？图4呢？ 继续如此作下去，我们可以得到数学上著名的 “雪花曲线”①. 动态演示：利用课件展示图形二次、三次迭代过程，由六角形继续在每一条边上重复上述操作，逐步得到雪花曲线。 说一说: 每做一次变换，新图形的边数是原图形的多少倍，而边长是原图形的多少？ 想一想: 每次变换后，在原等边三角形的一条边上所作的新等边三角形的面积，是原等边三角形面积的几分之几？ 议一议: 在雪花曲线的制作过程中，每一次向外作等边三角形，得到的新等边三角形和原等边三角形都是相似的吗？ 若某个图形可分割为若干个与自身相似的图形，则称这个图形是自相似图形. 总结归纳： 探究活动三: 认识谢尔宾斯基三角形 说一说: 任意三角形都是自相似图形吗？ 做一做: 查阅谢尔宾斯基三角形的有关资料，了解其利用计算机制作的过程，并自己动手操作制作一个范例，然后结合生活中的一些自相似图形，介绍它们在实际中的应用. 方法总结:
课堂练习 课堂练习 1.判断正误，对的打 “√”，错的打 “×”。 (1) 两个形状相同、大小不同的三角形是相似图形。( ) (2) 雪花曲线不属于自相似图形。( ) (3) 任意三角形都可以通过连接各边中点，分割成四个与自身相似的小三角形。( ) 2.制作雪花曲线时，将原等边三角形边长看作a，经过第一次变换后，图形的边长为______。 3.一个等边三角形初始边数为 3，每完成一次变换，边数变为原来的 4 倍。经过两次变换后，图形的总边数是多少？ 4.下列图形中，属于自相似图形的是( ) A.长方形 B.谢尔宾斯基三角形 C.直角梯形 D.普通平行四边形 5.已知原等边三角形的面积为S，在一条边上向外作出的小等边三角形面积是原图形的。若第一次变换一共作出 3 个这样的小三角形，求新增图形的总面积。
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点:
情景创设：
1.形状相同、大小不同的图形叫做相似图形；所有等边三角形的内角都相等，对应边成比例，因此一定相似。
2.这类图形的局部和整体形状一致，局部与整体彼此相似，本节课我们就来探究并制作这类自相似图形。
探究一:
把等边三角形的各边三等分，以居中的那条线段为底边向外作等边三角形，得到一个六角形，再去掉与原来等边三角形重叠的边即可得到.
探究二:
边数：每次变换后边数变为原来的 4 倍；
边长：每次变换后边长变为原来的;
单个新三角形面积：为原三角形面积的.
得到的新等边三角形和原等边三角形都是相似的，即曲线的局部与局部之间是相似的，因而称雪花曲线自相似.
探究三:
任意三角形都是自相似图形，因为只要顺次连接三角形各边中点，就可将原三角形分割为四个都与它自身相似的小三角形. 著名的谢尔宾斯基三角形就是这样得来的.
一、谢尔宾斯基三角形制作方法（手绘版）
第一步：画出任意一个大三角形（建议选用等边三角形，作图更规整）。
第二步：用尺规作图，依次找到三角形三条边的中点。
第三步：用线段顺次连接三组中点，原三角形被分割为四个全等且与原三角形相似的小三角形。
第四步：将中间的小三角形涂色填充，外围三个空白三角形重复上述找中点、连线、涂色的操作，多次迭代后，即可得到谢尔宾斯基三角形。
二、计算机制作简要介绍
借助几何画板、画图软件、专业分形工具等，通过图形复制、缩放、循环迭代功能，设置重复分割、填充的程序指令，可快速生成多阶谢尔宾斯基三角形，能实现无限次图形迭代效果。
生活与实际应用举例
1.自然领域：蕨类植物叶片、雪花形态、部分树木枝干纹理，都具备自相似特征，是自然界天然的自相似图形。
2.艺术与设计：民族花纹、蕾丝纹样、装饰图案大量运用自相似结构，提升视觉层次感与美感。
3.建筑领域：部分镂空窗花、哥特式建筑纹饰、园林造型借鉴自相似图形设计。
4.科技领域：分形技术用于图像压缩、信号处理、地质纹理模拟、影视特效制作等。
课堂练习：
1. (1)√ (2)× (3)√
2.
3.解答：
第一次变换后边数：;
第二次变换后边数：;
答：总边数为48。
4. B
5.单个小三角形面积：;
新增总面积：.
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