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第3章《二次根式》单元检测2026-2027学年湘教版上学期八年级数学上册（解析版）
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
第一部分 选择题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．使二次根式有意义的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”，熟练掌握二次根式的被开方数是非负的是解题关键．根据二次根式的被开方数是非负的求解即可得．
【详解】解：使二次根式有意义，则，
解得，
故选：A．
2．若，则的值等于（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：由题意得，，，
解得，，
所以，，故A正确．
故选：A．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的加减运算，只有同类二次根式才能合并，合并时系数相加减，被开方数不变，据此判断各选项即可
【详解】解：A选项：与不是同类二次根式，不能合并，A错误；
B选项：是整数，是无理数，不是同类项，不能合并，B错误；
C选项：，C错误；
D选项：，计算正确，D正确
4．下列各式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
5．估计的运算结果应在（ ）
A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间
【答案】C
【详解】试题解析：原式=+=2+3=5=，
因为<<，所以7<<8，
故选C．
6．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．0
【答案】D
【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式的定义，完全平方公式的非负性等知识点．
根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式的被开方数必须相等，由此建立方程，根据非负性求解，再验证解是否满足最简二次根式的条件，最后代入计算所求表达式的值．
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
，
，
，
∴，
∴，
故选：D．
如果，那么下面各式：
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③
【答案】D
【分析】直接利用二次根式的有意义的条件及乘除法则进行化简再进行一一判断得出答案．
【详解】解：∵a+b＜0，ab＞0，
∴a，b同为负数，
∴无意义，故①错误；
，故②正确；
，故③正确；
故选：D．
甲、乙两位同学对代数式，分别作了如下变形：
甲：，
乙：．
关于这两种变形过程的说法正确的是（ ）
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确
C．只有甲正确 D．只有乙正确
【答案】D
【分析】甲利用分母有理化的知识，可求得；乙先将分子因式分解，然后约分，即可求得．
【详解】解：甲：当时，
，
当a=b时，无意义，
乙：，
∴甲错误，乙正确，
选项说法错误，不符合题意；
选项说法错误，不符合题意；
选项说法错误，不符合题意；
选项说法正确，符合题意;
故选D．
9．若，则代数式的值是（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．
【答案】C
【分析】本题主要查了求代数式的值．根据题意可得，再代入计算，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：C
【阅读材料】
学习了《二次根式》后，小颖同学发现：
当，时：，，，
当且仅当时取等号，即当时，有最小值为．
【学以致用】
根据上面材料回答下列问题：如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，
其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为x米，
若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少为（ ）
A．30米 B．50米 C．60米 D．100米
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用，设垂直于墙的一边长为x米，平行于墙的一边长为米，根据矩形面积计算公式得到，仿照题意可推出，则当时，有最小值，最小值为60，据此可得答案．
【详解】解：设垂直于墙的一边长为x米，平行于墙的一边长为米，
由题意得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最小值，最小值为60，
∴需要用的篱笆最少60米，
故选：C．
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．当时，二次根式的值是_______．
【答案】3
【分析】本题考查二次根式求值，直接把代入二次根式，计算即可．
【详解】解：当时，
．
故答案为：3．
12．计算的结果为________
【答案】1
【分析】计算二次根式乘法，立方根化简，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】解：．
故答案为：1
13．已知一个正方形的面积为，则其边长为________．
【答案】
【分析】根据正方形面积公式得到边长的平方等于已知面积，利用算术平方根的定义即可求出正方形的边长．
【详解】解：∵一个正方形的面积为，
∴其边长为．
对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，
如．请你计算_______．
【答案】
【分析】本题考查了新定义的二次根式运算．
直接根据新定义计算即可．
【详解】解：
故答案为：．
宽与长的比是（约为）的矩形叫作黄金矩形，若一个黄金矩形的长为，
则该黄金矩形的宽为________．
【答案】2
【分析】根据黄金矩形宽与长的比值，已知长，利用比例关系计算宽即可．
【详解】解：设该黄金矩形的宽为．
∵黄金矩形宽与长的比为，长为，
∴可得．
变形得．
将一组数，2，，，，，，，，按如图方式进行排列，
则第七行最右边的数是_____．
【答案】
【分析】本题考查的是数字的变化规律，从题目中归纳出一般规律是解题的关键．
根据题意可知，前七行共有28个数，第n个数为：，据此求解即可．
【详解】解：∵第一行有1个数，
第二行有2个数，
第三行有3个 数，
……
∴第七行有7个数，
∴前七行共有数的个数为：，
这组数第1个数为：，
第2个数为：
第3个数为：
第4个数为：
第5个数为：
第6个数为：
……
第n个数为：，
∴第七行最右边的数．
故答案为：．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】
【详解】解：原式
．
18．计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简每个二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）根据完全平方公式以及平方差公式化简每个式子，再合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：，
，
．
19．已知：，，分别求下列代数式的值：
(1) ；
(2)
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）根据，，可以求得和的值，然后将所求式子变形，再将和的值代入计算即可；
（2）根据，，可以求得和的值，然后将所求式子变形，再将和的值代入计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
；
（2）解：∵，，
∴，，
∴．
【问题情境】
数学活动课上，陈老师出示了一组题．阅读下列解题过程，探求规律：
；
【实践探究】
按照此规律，计算_______；
计算：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查算术平方根的规律问题，熟练掌握算术平方根是解题的关键．
（1）先求被开方数，再求算术平方根即可；
（2）利用题中所给规律可进行求解；
【详解】（1）解：；
故答案为：．
（2）解：原式
．
21. 阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn=，
则a+2 可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简．
例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2
∴==+
请你仿照上例将下列各式化简
，
（2） ．
【答案】（1）1+；（2）.
【分析】参照范例中的方法进行解答即可.
【详解】解：（1）∵，
∴；
（2）∵，
∴.
22. 阅读材料：
已知，求的值．
小明同学是这样解答的：
∵，
又∵，
∴．
这种方法称为“构造对偶式”．
解答问题：
已知，试证明为定值．
已知，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由题意“构造对偶式”，解得其值为，结合题目所给条件即可证明；
（2）由题意构造“构造对偶式”，解得其值为8，结合题目所给条件得，和联立即可解答．
【详解】（1）证明：，
，
，
即为定值；
（2）解：，
，
，
，
得，，即：，
两边平方得，，解得：，
经检验，是原方程的解．
23. 阅读材料，
并回答问题：形如，的数可以化简，
其化简的目的主要把原数分母中的无理数化为有理数，如，这样的化简过程叫做分母有理化．
我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式．
（1）问题：的有理化因式是________，的有理化因式是________．
（2）应用：分母有理化．
（3）拓展：比较大小与．
【答案】（1），；（2）；（3）
【分析】（1）利用有理化因式的定义求解即可；
（2）把分子分母都乘以即可；
（3）通过比较两个数的倒数的方法比较它们的大小．
【详解】解：（1）由题意可得，的有理化因式是，的有理化因式是
故答案为：，
（2）；
（3），
而
∴
∴
24．小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形：
（一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如：
；
．
（二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：
；
．
请解答下列问题：
归纳：
观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．
① ______；② _____．
(2) 应用：
求的值．
拓展：
直接写出的值．
【答案】(1)①；②
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了分母有理化，化简二次根式，熟知二次根式的相关知识是解题的关键．
（1）①仿照题意进行分母有理化即可；②仿照题意进行化简二次根式即可；
（2）可证明（n为正整数），据此把所求式子裂项求解即可；
（3）仿照题意把式子式子中的每一项的分母先化简二次根式，再把对应项分母有理化即可得到答案．
【详解】（1）解：①；
②；
（2）解：∵（n为正整数）
，
∴
．
（3）解：
．
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第3章《二次根式》单元检测2026-2027学年湘教版上学期八年级数学上册
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
第一部分 选择题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．使二次根式有意义的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则的值等于（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列各式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．估计的运算结果应在（ ）
A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间
6．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．0
如果，那么下面各式：
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③
甲、乙两位同学对代数式，分别作了如下变形：
甲：，
乙：．
关于这两种变形过程的说法正确的是（ ）
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确
C．只有甲正确 D．只有乙正确
9． 若，则代数式的值是（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．
【阅读材料】
学习了《二次根式》后，小颖同学发现：
当，时：，，，
当且仅当时取等号，即当时，有最小值为．
【学以致用】
根据上面材料回答下列问题：如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，
其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为x米，
若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少为（ ）
A．30米 B．50米 C．60米 D．100米
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．当时，二次根式的值是_______．
12．计算的结果为________
13．已知一个正方形的面积为，则其边长为________．
对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，
如．请你计算_______．
宽与长的比是（约为）的矩形叫作黄金矩形，若一个黄金矩形的长为，
则该黄金矩形的宽为________．
将一组数，2，，，，，，，，按如图方式进行排列，
则第七行最右边的数是_____．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
18．计算：
(1) ；
(2) ．
19．已知：，，分别求下列代数式的值：
(1) ；
(2)
【问题情境】
数学活动课上，陈老师出示了一组题．阅读下列解题过程，探求规律：
；
【实践探究】
按照此规律，计算_______；
计算：．
21. 阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn=，
则a+2 可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简．
例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2
∴==+
请你仿照上例将下列各式化简
，
（2） ．
22. 阅读材料：
已知，求的值．
小明同学是这样解答的：
∵，
又∵，
∴．
这种方法称为“构造对偶式”．
解答问题：
已知，试证明为定值．
已知，求的值．
23. 阅读材料，
并回答问题：形如，的数可以化简，
其化简的目的主要把原数分母中的无理数化为有理数，如，这样的化简过程叫做分母有理化．
我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式．
（1）问题：的有理化因式是________，的有理化因式是________．
（2）应用：分母有理化．
（3）拓展：比较大小与．
24．小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形：
（一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如：
；
．
（二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：
；
．
请解答下列问题：
归纳：
观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．
① ______；② _____．
(2) 应用：
求的值．
拓展：
直接写出的值．
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