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一元二次方程过关练习
一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一元二次方程配方后可化为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：，
移项得：，
配方得：，
即，
故选：．
方程移项后，两项加上一次项系数的一半的平方配方得到结果，即可作出判断．
本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法是解题的关键．
2.关于的一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
【答案】A
【解析】解：，
，
所以原方程有两个不相等的实数根，
故选：．
对于，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根，据此即可解答．
本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况”是解本题的关键．
3.已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：，，
将代入方程可得，
．
故选：．
根据一元二次方程根与系数关系，得到和的值，将代入方程可得，计算的值即可．
本题考查一元二次方程根与系数关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
4.如图，要设计一幅宽，长的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为：如果要使彩条所占面积是图案面积的三分之一，应如何设计彩条的宽度？
若设每个横彩条的宽度为，则每个竖彩条的宽度为，则根据题意，列方程为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：若设每个横彩条的宽度为，则每个竖彩条的宽度为，剩余部分可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：．
故选：．
根据横、竖彩条的宽度，可得出剩余部分可合成长为，宽为的矩形，结合彩条所占面积是图案面积的三分之一，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5.若方程的两个实数根为、，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得出答案．
【详解】解：方程的两个实数根为、，
，，
，
故选：．
6.新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商月至月份统计，该品牌新能源汽车月份销售辆，月份销售辆．设月平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了一元二次方程的应用．设某品牌新能源汽车销售量的月均增长率为，根据月份的销售量增长率月份的销售量，列出方程即可．
【详解】解：设某品牌新能源汽车销售量的月均增长率为，根据题意得：
，
故选：．
7.已知点是线段上的一个点，且满足，则下列式子成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】把当作已知数求出，求出，再分别求出各个比值，根据结果判断即可．
【详解】，
，
，
，
，
边长为正值，
，
，
即选项A、、D错误，只有选项B正确；
故选B．
8.如果关于的一元二次方程有下列说法：若，则；若方程两根为和，则；若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；若，则方程有两个不相等的实根，其中结论正确的是有 个．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，即系数和为，说明原方程有一根是，，说明原方程为一元二次方程，一元二次方程有根，就有两个，；
已知方程两根的值，可利用两根关系的式子变形，得出结论；
判断方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了；
把代入得到，根据判别式的意义可得到方程有两个不相等的实根．
【详解】解：若，方程有一根为，又，则，正确；
由两根关系可知，，整理得：，正确；
若方程有两个不相等的实根，则，可知，故方程必有两个不相等的实根，正确；
由，，所以正确．
故选．
9.欧几里得的原本记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取，则该方程的一个正根是( )
A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长
【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
表示出的长，利用勾股定理求出即可．
【解答】
解：欧几里得的原本记载，形如的方程的图解法是：
画，使，，，再在斜边上截取，
设，根据勾股定理得：，
整理得：，
则该方程的一个正根是的长，
故选B．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
10.已知，且，则代数式的值为 ．
【答案】
【解析】解：将可得，方程两边同时除以，
得，即，
，
和同时满足，
又，
，
和是的两个不同根，
，
，
将代入，原式，
故答案为：．
先将两边同时除以，进而可以分析与的关系，最后根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，正确的得出根与系数的关系是解决本题的关键．
11.若关于的一元二次方程有两个实数根，，且，则 ．
【答案】或
【解析】解：关于的一元二次方程有两个实数根，，
，，
，
，整理得：，
解得：或，
当时，原方程为，有实数根，符合题意；
当时，原方程为，有实数根，符合题意；
故答案为：或．
利用根与系数的关系得，，再代入得，然后解方程并检验即可．
此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是熟悉：一元二次方程的两个根为，，则，．
12.若，是方程的两根，则的值为 ．
【答案】
【解析】解：，是方程的两根，
，，
是方程的根，
将代入得，即，
再将其代入到中得
，
将，代入得
，
故答案为：．
先根据一元二次方程根与系数的关系得出和，再将代入中进行变形求解，最后集体代入计算即可．
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确的计算是解决本题的关键．
13.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则常数的值 ．
【答案】或
【解析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可知，即可求出常数的值
【详解】关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，即，
，即，

故答案为或
14.设，是方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】
【解析】解：是方程 的实数根，
，
，，
，是方程的两个实数根，
，
，
故答案为：．
先利用一元二次方程解的定义得到，，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可得解，
本题主要考查了根与系数的关系和方程的解等知识点，熟练掌握若，是一元二次方程的两根，则， 是解决此题的关键．
15.如图，是一个长为，宽为的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，那么小道进出口的宽度应为______米．
【答案】
【解析】解：设小道进出口的宽度为米，依题意得，
整理，得．
解得，，．
不合题意，舍去，
．
答：小道进出口的宽度应为米．
故答案为：．
设小道进出口的宽度为米，然后利用其种植花草的面积为平方米列出方程求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据种植花草的面积为找到正确的等量关系并列出方程．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
先化简，再求值：，其中是方程的根．
【答案】，原式．
【解析】解：
，
是方程的根，
，
，
当时，原式．
先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：此方程总有两个不相等的实数根；
若此方程的两个根都为整数，求整数的值．
【答案】(1)证明：∵m>0，△=[-2（m-1）]2-4m（m-2）=4m2-8m+4-4m2+8m=4>0，
∴此方程总有两个不等实根；

(2)，
，．
∵ 方程的根均为整数，
∴．

【解析】
先计算判别式的值达到，然后根据判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根；

利用求根公式解方程，然后利用有理数的整除性确定的值．
18.本小题分
解方程：
解：当时，原方程化为，
解得：，不合题意，舍．
当时，原方程化为，
解得：
综上，原方程的根是
请参照例题解方程，则此方程的根是
【答案】解：当时，原方程化为，
解这个方程，，不合题意，舍去．
故答案为：，不合题意，舍去．
综上，原方程的根是，；
故答案为：，；
当时，原方程化为，
解得：，均不合题意，舍．
当时，原方程化为，
解得：，．
原方程的根为，．
故答案为：，．

【解析】【分析】当时，去绝对值，将原方程化为：，然后利用因式分解法解两个一元二次方程，即可解答；
参照例题分类讨论：当，原方程化为，当时，原方程化为，然后分别利用因式分解法解两个一元二次方程即可．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，读懂题目信息，理解分情况讨论去掉绝对值号把方程整理成一元二次方程的一般形式是解题的关键．
19.本小题分
已知：关于的方程．
请判断这个方程根的情况；
若该方程的一个根小于，求的取值范围．
【答案】解：．
原方程有两个实数根．
解：，
其中，，，，
，
若，
则，
该方程的一个根小于，
，即，
这与矛盾，应舍去；
若，
则，
该方程的一个根小于，
，即，符合题意，
综上，．

【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式以及完全平方公式，可得原方程有两个实数根；
由一元二次方程的求根公式可得，，分和两种情况进行讨论即可．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和求根公式，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．
20.本小题分
解方程：
；
；
．
【答案】；
，；

【解析】，
，
，
则，
所以；
，
，
，
则或，
所以，；
，
，
则，
所以．
利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可；
利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可；
利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可．
本题主要考查了解一元二次方程因式分解法、解一元二次方程公式法及解一元二次方程配方法，熟知配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
21.本小题分
综合与实践：根据以下素材，分析问题，探索解决问题．
如何设计建造花园？
提出问题 某高端酒店准备打造一个面积为的长方形花园，现有墙长，篱笆长的全部用于建造花园，设计公司为酒店提供了两种方案，请通过计算帮助酒店作出合理决策．
决策依据 长方形的宽与长的长度之比越接近黄金比越美观，黄金比约为．
方案一 如图，选取境的一部分作为长方形的一边，其他三边用篱笆围成．
方案二 如图，将墙全部借用，并在墙的延长线上拓展，构成长方形，其中和都由篱笆构成．
问题解决 求方某一中在墙上借用的的长度．求方案二中的长．根据计算结果，请为该酒店作出合理的决策
【答案】解：设的长度为，则，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
由题意可得的长度应小于的长度，
即，
则应舍去，只取，
即方案一中在墙上借用的的长度为；
设的长度为，则，
那么，
由题意得：，
整理得：，
解得：，舍去，
即求方案二中的长为；
由可得，，
则；
由得：，，
则；
那么更接近
故该酒店应选择方案二．

【解析】设的长度为，则，根据题意列得一元二次方程，解方程并确定符合题意的的值即可；
设的长度为，则，，根据题意列得一元二次方程，解方程并确定符合题意的的值即可；
结合中所求，分别求得，，的长度，然后分别计算，的值后判断哪一个更接近即可．
本题考查一元二次方程的实际应用，结合已知条件设未知数后列得正确的方程是解题的关键．
22.本小题分
【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活．
【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的处有一古棵树与墙，的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙两边足够长，用长的篱笆围成一个矩形花园篱笆只围，两边，设．
【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古棵树围在花园内含边界，不考虑树的粗细．
【解决问题】思路：把矩形的面积与边长即的长的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可．
请用含有的代数式表示的长；
花园的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由；
求面积与的函数解析式，写出的取值范围；并求当为何值时，花园面积最大？
【答案】(1)解：，
∴

(2)在点P与，的距离分别是和，
，，
，
解得：，（不合题意，舍去），
所以花园的面积可等于，此时x的值为12；

(3)解：在点P与，的距离分别是和，
，
面积S与x的函数解析式为：
，抛物线的开口向下，对称轴为
当时，S随x的增大而增大
当时，S取到最大值为：，
即当时，花园面积S最大，最大值为195平方米．

【解析】
本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，准确理解题意，利用矩形的面积公式列方程或者写出函数关系式是解题的关键．
根据篱笆的长度，求解即可；

先根据花园的面积写出函数关系式，再利用二次函数求最值的方法求解，注意取值范围即可．

先根据花园的面积写出函数关系式，再利用二次函数求最值的方法求解即可．
23.本小题分
如图所示，中，，，点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，
如果、同时出发，几秒后，可使的面积为平方厘米？
线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
【答案】(1)解：设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，依题意有：
（6-x） 2x=8，
解得x1=2，x2=4，
经检验，x1，x2均符合题意，
故经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2；

(2)不能，理由如下：
设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，依题意有：
S△ABC=×6×8=24，
（6﹣y） 2y=12，
y2﹣6y+12=0，
∵△=b2﹣4ac=36﹣4×12=﹣12＜0，
∴此方程无实数根，
∴线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分.

【解析】
设出运动所求的时间，可将和的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出；

将的面积表示出来，根据来判断．
24.本小题分
关于的一元二次方程．
求证：方程总有两个实数根；
若方程有一个根小于，求的取值范围．
【答案】(1)证明：，
∵无论m取何值时，，
∴此方程总有两个实数根．

(2)
解：，
．
．
∵此方程有一个根小于1，且．
．
．

【解析】
【点睛】本题考查根的判别式和用公式法解一元二次方程．解题的关键是：牢记“当时，方程有两个实数根”；利用公式法求出一元二次方程的根．
直接利用根的判别式，判断即可；

利用求根公式求得两个，根据有一个根小于列出不等式求解即可．
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一元二次方程过关练习
一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一元二次方程配方后可化为( )
A. B. C. D.
2.关于的一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
3.已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为( )
A. B. C. D.
4.如图，要设计一幅宽，长的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为：如果要使彩条所占面积是图案面积的三分之一，应如何设计彩条的宽度？
若设每个横彩条的宽度为，则每个竖彩条的宽度为，则根据题意，列方程为( )
A.
B.
C.
D.
5.若方程的两个实数根为、，则的值为( )
A. B. C. D.
6.新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商月至月份统计，该品牌新能源汽车月份销售辆，月份销售辆．设月平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
7.已知点是线段上的一个点，且满足，则下列式子成立的是( )
A. B. C. D.
8.如果关于的一元二次方程有下列说法：若，则；若方程两根为和，则；若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；若，则方程有两个不相等的实根，其中结论正确的是有 个．
A. B. C. D.
9.欧几里得的原本记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取，则该方程的一个正根是( )
A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
10.已知，且，则代数式的值为 ．
11.若关于的一元二次方程有两个实数根，，且，则 ．
12.若，是方程的两根，则的值为 ．
13.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则常数的值 ．
14.设，是方程的两个实数根，则的值为 ．
15.如图，是一个长为，宽为的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，那么小道进出口的宽度应为______米．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
先化简，再求值：，其中是方程的根．
17.本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：此方程总有两个不相等的实数根；
若此方程的两个根都为整数，求整数的值．
18.本小题分
解方程：
解：当时，原方程化为，
解得：，不合题意，舍．
当时，原方程化为，
解得：
综上，原方程的根是
请参照例题解方程，则此方程的根是
19.本小题分
已知：关于的方程．
请判断这个方程根的情况；
若该方程的一个根小于，求的取值范围．
20.本小题分
解方程：
；
；
．
21.本小题分
综合与实践：根据以下素材，分析问题，探索解决问题．
如何设计建造花园？
提出问题 某高端酒店准备打造一个面积为的长方形花园，现有墙长，篱笆长的全部用于建造花园，设计公司为酒店提供了两种方案，请通过计算帮助酒店作出合理决策．
决策依据 长方形的宽与长的长度之比越接近黄金比越美观，黄金比约为．
方案一 如图，选取境的一部分作为长方形的一边，其他三边用篱笆围成．
方案二 如图，将墙全部借用，并在墙的延长线上拓展，构成长方形，其中和都由篱笆构成．
问题解决 求方某一中在墙上借用的的长度．求方案二中的长．根据计算结果，请为该酒店作出合理的决策
22.本小题分
【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活．
【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的处有一古棵树与墙，的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙两边足够长，用长的篱笆围成一个矩形花园篱笆只围，两边，设．
【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古棵树围在花园内含边界，不考虑树的粗细．
【解决问题】思路：把矩形的面积与边长即的长的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可．
请用含有的代数式表示的长；
花园的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由；
求面积与的函数解析式，写出的取值范围；并求当为何值时，花园面积最大？
23.本小题分
如图所示，中，，，点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，
如果、同时出发，几秒后，可使的面积为平方厘米？
线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
24.本小题分
关于的一元二次方程．
求证：方程总有两个实数根；
若方程有一个根小于，求的取值范围．
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