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第二章《实数》复习试卷2026-2027学年北师版八年级数学上册（解析版）
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
第一部分 选择题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
在实数，，，，，（两个之间为依次增加一个）中，
无理数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】根据无理数的三种形式求解．
【详解】解：＝2，
无理数有：﹣，，4.010010001…，共3个．
故选择：C．
2．要使有意义，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由于所给的代数式中含有二次根式，因此二次根式的被开方数必须非负，解不等式，即可求得x的取值范围．
【详解】解：要使根式有意义
则被开方数x＋1≥0，得x≥－1
故选：B．
3．下面是小洋同学完成的课堂基础检测、他的得分是（ ）
判断题（每小题2分） ①任意一个实数不是有理数就是无理数．（√） ②负数没有立方根．（×） ③0没有算术平方根．（√） ④两个整数相除，如果永远除不尽，那么结果一定是一个无理数．（×） ⑤任意一个无理数的绝对值都是正数．（√）
A．4分 B．6分 C．8分 D．10分
【答案】C
【分析】本题考查了实数，立方根，算术平方根，以及绝对值，掌握相关知识点是解题关键．根据实数的分类，立方根，算术平方根，无理数，以及绝对值的意义逐一判断对错即可．
【详解】解：①实数分为有理数和无理数，则“任意一个实数不是有理数就是无理数”是对的．小洋同学判断正确；
②任何实数都有立方根，则“负数没有立方根”是错的．小洋同学判断正确；
③的算术平方根是0，则“0没有算术平方根”是错的．小洋同学判断错误；
④两个整数相除，如果永远除不尽，那么结果可能是无限循环小数，而无限循环小数是有理数，则“结果一定是一个无理数”是错的．小洋同学判断正确；
⑤正无理数的绝对值是它本身，负无理数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，但0不是无理数，则“任意一个无理数的绝对值都是正数”是对的．小洋同学判断正确；
综上可知，小洋同学对了4道题，得分为分，
故选：C．
4．实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据实数a，b在数轴上的位置，确定a,，b和0的大小关系，然后根据绝对值的性质化简求值．
【详解】由实数在数轴上的位置可知
a＜0，b＞0，-a＞b
∴
故选：A
5 . 黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，
请你估算﹣1的值（ ）
A．在1.1和1.2之间 B．在1.2和1.3之间
C．在1.3和1.4之间 D．在1.4和1.5之间
【答案】B
【分析】根据4.84<5<5.29，可得答案．
【详解】∵4.84<5<5.29
∴2.2<<2.3
∴1.2<-1<1.3
故选B．
6．已知一个正数的平方根是和，则的值是（ ）
A．3 B．0 C．2 D．1
【答案】D
【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，根据该性质列方程即可求解的值．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数
去括号得
合并同类项得
移项得
解得．
7．若实数、、满足，则的算术平方根是（ ）
A ． 36 B ． C ． 6 D ．
【答案】．
【解析】 由题意得，，，，
解得，，，
所以，，
所以，的算术平方根是 6 ．
故选．
8．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的值是（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【分析】本题考查算术平方根、平方根、有理数、无理数的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据算术平方根、平方根、有理数、无理数的定义解决此题即可．
【详解】解： 25的算术平方根为5，5是有理数
取5的平方根，是无理数
输出值是．
故选：B．
【阅读材料】
学习了《二次根式》后，小颖同学发现：
当，时：，，，
当且仅当时取等号，即当时，有最小值为．
【学以致用】
根据上面材料回答下列问题：如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，
其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为x米，
若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少为（ ）
A．30米 B．50米 C．60米 D．100米
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用，设垂直于墙的一边长为x米，平行于墙的一边长为米，根据矩形面积计算公式得到，仿照题意可推出，则当时，有最小值，最小值为60，据此可得答案．
【详解】解：设垂直于墙的一边长为x米，平行于墙的一边长为米，
由题意得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最小值，最小值为60，
∴需要用的篱笆最少60米，
故选：C．
已知为实数，规定运算：，．
按上述规定，当时，的值等于（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
【分析】本题考查数式规律问题，根据规定列式计算后总结规律，然后计算的值即可．
【详解】解：当时，
，
，
，
，
，
…… ,
，
，
，
故选: C．
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11.计算：_________．
【答案】
【分析】根据相关运算法则逐步计算即可.
【详解】解：
.
12．比较大小： .
【答案】>
【分析】因为两数的分母相同，比较分子的大小即可．
【详解】解：∵1>-1
∴>.
故答案为 >
13．若则， ．
【答案】-1
【分析】先根据绝对值、算术平方根、偶次方的非负性求出a、b、c的值，再代入即可得．
【详解】解：∵，
∴a-1=0，b+2=0，c-3=0，
∴a=1，b=-2，c=3，
∴．
对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：※＝，
如3※2＝＝. 那么8※4＝ ．
【答案】
【分析】根据新定义的运算法则进行计算即可得.
【详解】∵※＝，
∴8※4=，
故答案为.
15．任何实数a,可用[a]表示不超过a的最大整数,如[4]=4,[]=1,现对72进行如下操作:72[]=8[]=2[]=1,这样对72只需进行3次操作后变为1,类似地,对81只需进行 次操作后变为1.
【答案】3
【分析】根据可用[a]表示不超过a的最大整数，可得答案．
【详解】[]=9，[]=3，[]=1，
故答案为3．
将、、、、……按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，
若在，则的值为________．
【答案】
【分析】观察图形可知，第排有个数，且第排最大的被开方数为．当为奇数时，从左向右被开方数递增；当为偶数时，从左向右被开方数递减．先通过估算平方数确定所在的行数，再根据偶数行的排列规律计算列数，最后代入求值．
【详解】解：由图可知，第排有个数，第排有个数，，第排有个数
前排共有个数
所以第排最大的被开方数为
因为，且
所以位于第排，即
因为为偶数，由图可知偶数排从左向右被开方数递减第排第个数为即
所以
所以．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．把下列各数的序号填入它们属于的集合内：
①；②；③7；④0；⑤；⑥；
⑦0.1212212221…（相邻的两个1之间依次多一个2）；⑧；⑨．
【答案】见解析
【分析】本题考查了无理数、有理数、实数的分类．熟练掌握无理数、有理数、实数的分类是解题的关键．
根据无理数的定义，负有理数的定义，正实数的定义作答即可．
【详解】解：由题意知，，，
（1）⑤，⑦0.1212212221…（相邻的两个1之间依次多一个2），⑨属于无理数；
（2）①，②属于负有理数；
（3）③7，⑤，⑥，⑧，⑨属于正实数．
故答案为：
18．解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题考查了平方根和立方根的应用，解题的关键是先化成乘方的形式，再开方运算．
（1）先移项，可得平方的形式，根据开方运算，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案；
（2）先移项，可得立方的形式，根据开方运算，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案．
【详解】（1）解：，
，
∴或；
（2）解：，
，
，
．
19．已知的平方根是，的立方根是4．
(1)求、的值．
(2)求的算术平方根．
【答案】(1)，；
(2)6．
【分析】（1）根据立方根与平方根的意义求出、的值；
（2）求出，再根据算术平方根的定义求出结果．
【详解】（1）解：∵的平方根是，
∴，
∴，
∵的立方根是4，
∴，
解得：，
∴，；
（2）由（1）可知：
，
∴的算术平方根为6．
20．计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先计算二次根式的乘除，再计算二次根式的加减即可；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的加减即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
21．阅读理解
我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，
求的立方根，华罗庚脱口而出．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？
以下是东东的探究过程：
∵
∴
∴的立方根是 位数
∵的个位数是9
∴的立方根的个位数是
∵
∴
∴的十位数是
∴= ．
请你帮东东补充完整上述探究过程；
已知：17576也是一个整数的立方，请用类似的方法求出其立方根．
【答案】(1)两，，，
(2)26
【分析】本题主要考查了立方根以及数的立方．
（1）根据题中所给的过程方法，即可解答；
（2）先求出的立方根是两位数，然后根据示例分别求出个位数和十位数即可．
【详解】（1）解：∵
∴
∴的立方根是两位数
∵的个位数是9
∴的立方根的个位数是9
∵
∴
∴的十位数是3
∴．
故答案为：两，，，；
（2）∵
∴
∴的立方根是两位数
∵只有个位数是的立方数的个位数依然是
∴的立方根的个位数是
∵
∴
∴的十位数是2
∴
如图，在这个漂亮的螺旋图中，所有的三角形都是直角三角形（、.......是直角）
按此方式继续画下去：根据图中所标数据．
填空：＝______，＝______；
记的面积为，的面积为，…的面积为．求出和．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）由勾股定理求出，，，得出规律，即可得出，；
（2）由三角形面积公式求出，，得出规律即可．
【详解】（1）由勾股定理的：，
，
，
，
，
∴；
故答案为：，；
（2）根据题意可得：，
，
，
∴．
23. 在数学课外学习活动中，小明遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的：
∵，
请你帮助小明接着完成这道题；
请你根据小明的思路，解决如下问题
① ______；
② 计算：
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）把变形为，然后把代入计算即可；
（2）①把分子分母都乘以化简即可；
②先分母有理化，再算加减即可．
【详解】（1）解：∵，
∴
；
（2）解：①；
②
．
阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，
使，，即把变成，
从而可以对根式进行化简．
例如：化简：．
解：，
．
根据上述材料，解答下列问题．
化简：．
化简：．
计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）仿照例题即可求解；
（2）将化为，再利用二次根式的性质化简计算；
（3）将变形为，再利用二次根式的性质化简计算．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵
，
而，则
∴；
（3）解：
．
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第二章《实数》复习试卷2026-2027学年北师版八年级数学上册
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
第一部分 选择题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
在实数，，，，，（两个之间为依次增加一个）中，
无理数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．要使有意义，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．下面是小洋同学完成的课堂基础检测、他的得分是（ ）
判断题（每小题2分） ①任意一个实数不是有理数就是无理数．（√） ②负数没有立方根．（×） ③0没有算术平方根．（√） ④两个整数相除，如果永远除不尽，那么结果一定是一个无理数．（×） ⑤任意一个无理数的绝对值都是正数．（√）
A．4分 B．6分 C．8分 D．10分
4．实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
5 . 黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，
请你估算﹣1的值（ ）
A．在1.1和1.2之间 B．在1.2和1.3之间
C．在1.3和1.4之间 D．在1.4和1.5之间
6．已知一个正数的平方根是和，则的值是（ ）
A．3 B．0 C．2 D．1
7．若实数、、满足，则的算术平方根是（ ）
A ． 36 B ． C ． 6 D ．
8．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的值是（ ）
A． B． C． D．5
【阅读材料】
学习了《二次根式》后，小颖同学发现：
当，时：，，，
当且仅当时取等号，即当时，有最小值为．
【学以致用】
根据上面材料回答下列问题：如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，
其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为x米，
若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少为（ ）
A．30米 B．50米 C．60米 D．100米
已知为实数，规定运算：，．
按上述规定，当时，的值等于（ ）
A． B． C． D．0
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11.计算：_________．
12．比较大小： .
13．若则， ．
对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：※＝，
如3※2＝＝. 那么8※4＝ ．
任何实数a,可用[a]表示不超过a的最大整数,如[4]=4,[]=1,
现对72进行如下操作:72[]=8[]=2[]=1,
这样对72只需进行3次操作后变为1,类似地,对81只需进行 次操作后变为1.
将、、、、……按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，
若在，则的值为________．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．把下列各数的序号填入它们属于的集合内：
①；②；③7；④0；⑤；⑥；
⑦0.1212212221…（相邻的两个1之间依次多一个2）；⑧；⑨．
18．解方程：
(1)； (2)．
19．已知的平方根是，的立方根是4．
(1)求、的值．
(2)求的算术平方根．
20．计算：
(1) ；
(2) ．
21．阅读理解
我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，
求的立方根，华罗庚脱口而出．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？
以下是东东的探究过程：
∵
∴
∴的立方根是 位数
∵的个位数是9
∴的立方根的个位数是
∵
∴
∴的十位数是
∴= ．
请你帮东东补充完整上述探究过程；
已知：17576也是一个整数的立方，请用类似的方法求出其立方根．
如图，在这个漂亮的螺旋图中，所有的三角形都是直角三角形（、.......是直角）
按此方式继续画下去：根据图中所标数据．
填空：＝______，＝______；
记的面积为，的面积为，…的面积为．求出和．
23. 在数学课外学习活动中，小明遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的：
∵，
请你帮助小明接着完成这道题；
请你根据小明的思路，解决如下问题
① ______；
② 计算：
阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，
使，，即把变成，
从而可以对根式进行化简．
例如：化简：．
解：，
．
根据上述材料，解答下列问题．
化简：．
化简：．
计算：．
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