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四川绵阳市南山中学2026届高三下学期模拟预测热手考试数学试题
1．若，则A的子集个数为（　　）
A．3 B．6 C．7 D．8
2．在复平面内，复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．的展开式中，第5项为常数项，则该展开式的所有二项式系数的和为（　　）
A．1 B．32 C．64 D．128
5．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且函数是偶函数，则的最小值是（　　）
A． B．1 C． D．
6．过抛物线的焦点作斜率为正的直线交抛物线于，两点，且，则直线的斜率为（　　）
A． B． C． D．
7．已知球的半径为，圆锥内接于球，则圆锥体积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
8．甲、乙两班决定举行篮球比赛，比赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到一个班比另一个班多2分或打满6局时结束．设甲班在每局中获胜的概率为，乙班在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．比赛结束时甲班所得分数为，则（　　）
A． B． C． D．
9．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
　 优秀 非优秀
甲班 10
乙班 30
附：，
0.05 0.025 0.010 0.005
3.841 5.024 6.635 7.879
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（　　）
A．甲班人数多于乙班人数
B．甲班的优秀率低于乙班的优秀率
C．表中的值为15，的值为50
D．根据小概率值的独立性检验，能认为“成绩与班级有关系”
10．在锐角中，角，，的对边分别为，，．已知，，成等差数列，且，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．周长取值范围为
D．若是外接圆的圆心，则和面积之差的取值范围为
11．在三棱锥中，底面，，用一平面截该三棱锥分别与棱，，，相交于点，，，，如图所示，记向量为平面的一个法向量，下列条件中，使的是（　　）
A．若 B．若
C．若 D．若
12．已知均为正数，且，则的最小值为　 　.
13．已知向量，满足，，且，则　 　．
14．已知双曲线的左、右焦点为，，为双曲线上一点，的内心为，直线，的斜率分别为，，且，则该双曲线的渐近线夹角的正切值为　 　．
15．已知数列的前项和为，．
（1）证明：数列是等比数列，并求出通项公式；
（2）设函数的导函数为，数列满足，求数列的前项和．
16．如图，在三棱柱中，平面，，，，是棱的中点，是棱上靠近的三等分点，在棱上，且．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
17．随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，没售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品，现以（单位：吨，）表示下一个销售季度的市场需求量，（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．
（Ⅰ）视分布在各区间内的频率为相应的概率，求；
（Ⅱ）将表示为的函数，求出该函数表达式；
（Ⅲ）在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如，则取的概率等于市场需求量落入的频率），求的分布列及数学期望．
18．已知直角坐标系中满足，，，动点A的轨迹为曲线T．
（1）求曲线T的方程；
（2）若半径为的圆的圆心M在曲线T上运动，过原点O作圆M的两条切线，分别与曲线T交于E，F，射线，的斜率存在，并记为，．
①求证：为定值；
②求的最大值．
19．已知，
（1）求函数的极值；
（2）正项数列满足，，
①若不等式对任意的正整数n成立，求实数m的取值范围；
②若，求实数λ的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】解：因为集合共含有个元素，
因此A的子集个数为
故答案为：D
【分析】由集合子集个数为进行计算即可.
2．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，得，
所以在复平面内对应的点为，位于第四象限.
故答案为：D
【分析】根据复数的除法运算可得，再根据共轭的概念及复数的几何意义求解.
3．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由，解得，
由，解得，
又因为，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】解三角函数，根据集合的包含关系，结合充分、必要条件的定义判断即可.
4．【答案】C
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式
【解析】【解答】解：二项式的展开式的第项，
因为第项为常数项，所以，解得，
所以二项展开式的所有二项式系数和为.
故答案为：C
【分析】根据二项展开式的性质可得，进而可得二项展开式的所有二项式系数和.
5．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意知，.
因为是偶函数，所以，，
解得，，
又，所以的最小值是.
故答案为：A
【分析】根据正弦型函数的平移变换及奇偶性，可得，再解方程即可.
6．【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：过分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，过作的垂线，垂足为，则四边形为矩形，如下图所示
，
由抛物线定义可知，，
设，则，
所以，，
在直角三角形中，，，
则，
所以直线的斜率为，
因为直线的斜率为正数，所以不考虑负数的情况，即直线的斜率为.
故答案为：C.
【分析】由抛物线定义可知，，设，则，进而可得，再计算斜率即可.
7．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆锥的高为，底面半径为，已知球的半径.
∵ 圆锥内接于球，球心到圆锥底面的距离为，
∴ 由勾股定理可得，整理得，其中的取值范围为.
根据圆锥体积公式，将代入得：.
对关于求导，得.
令，解得 或（不符合实际意义，舍去）.
∵ 当 时，，单调递增；当 时，，单调递减，
∴ 当时，取得最大值，代入得：
.
故答案为：B.
【分析】设圆锥的高为，底面半径为，进而可得，则，再利用导数求最值即可.
8．【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：表示比赛结束时甲班得分，分两种情况讨论：
情况1：甲得分，且甲获胜，即前两局甲胜，
对应事件的概率，
情况2：甲得分，且乙获胜，即比赛打满6局结束，最终甲班得2分，
要打到第6局才结束，必须满足：前2局比分（不满足结束条件），第3、4局比分也为（仍不满足结束条件），前4局结束总比分为，且第5、6局甲全负（最终甲总分为2分），
前局的概率为，
第3、4局的概率为
第5、6局甲全负的概率为
因此这种情况的概率，
所以.
故答案为：C
【分析】由，则情况1：甲得分，且甲获胜，即前两局甲胜；情况2：甲得分，且乙获胜，即比赛打满6局结束，最终甲班得2分，再结合独立事件的乘法公式求解.
9．【答案】A,B,D
【知识点】独立性检验的基本思想；独立性检验的应用；2×2列联表
【解析】【解答】解：对于C，依题意，，，解得，，C错误；
对于A，甲班人数为，乙班人数为，A正确；
对于B，甲班优秀率为，乙班优秀率为，B正确；
对于D，，
根据小概率值的独立性检验，能认为“成绩与班级有关系”，D正确.
故答案为：ABD
【分析】根据题意可得，，求出优秀率，据此可判断ABC；计算出的观测值即可判断D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意得，，
则由正弦定理得，
因为，所以，则，则，故A正确；
因为，所以，
则，
因为，所以，故B正确；
由，即，得，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，得，
则，
因为，所以，
则，故，
故周长取值范围为，故C错误；
设的外接圆半径为，，则，则，
故和面积之差为
，
因为，所以，则，
故当时，；当时，当时，
故和面积之差的取值范围为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】对于A，由正弦定理边角互化得，结合三角恒等变形化简可得，则；对于B，利用正弦定理即可求得；对于C，根据正弦定理并化简可得，再求范围即可；对于D，根据和面积之差为进行求解即可.
11．【答案】A,C,D
【知识点】空间向量垂直的坐标表示；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：依题意，向量是平面的法向量，
对于A，由，得平面，而平面，则，
由平面，平面，得，又平面，
因此平面，又平面，则，A正确；
对于B，由，得平面，而平面，则，
由平面，平面，得，又平面，
因此平面，又平面，则，假设，
而平面，则，而不在平面内，则平面，
平面平面，平面，则必有，当时，由，
得，由选项A知，此时不一定平行，因此不一定平行，B错误；
对于C，由，得平面，而平面，则，
由平面，平面，得，又平面，
因此平面，又平面，则，C正确；
对于D，由，得平面，而平面，则，
由平面，平面，得，又平面，
因此平面，又平面，则，而平面，
于是平面，又平面，则，D正确.
故答案为：ACD
【分析】对于A，可得平面，再由线面垂直的性质即可证明；对于B，可得平面，得到 ，进而可判断不一定平行；对于C，可得平面，得到，进而可得平面，则；对于D，可得平面，然后可证得平面，，再证得平面，得到．
12．【答案】
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由均为正数，且，
则，
当且仅当，解得时等号成立.
故答案为：
【分析】根据基本不等式“1”的妙用求最小值即可.
13．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，，
所以，即，
因为，所以，
联立，解得.
故答案为：
【分析】由模长公式结合数量积的运算律可得，继而解得.
14．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设双曲线焦点，内切圆与分别相切于点，
不妨设在双曲线右支，根据双曲线定义， 由三角形内切圆切线长性质可得：
，又因为，
解得，故 的内心的横坐标为，即，
斜率 ，斜率 ，代入，约去得： ，
通分化简分子得，即，
由，代入得： ，
双曲线渐近线斜率为，
由两直线夹角正切公式： .
故答案为：
【分析】设双曲线焦点，内切圆与分别相切于点，则，故内心，再求出和，结合即可求解.
15．【答案】（1）证明：，，，
相减得，即，又，
所以数列是以4为公比的等比数列，
所以．
（2）解：，，
，
，
，
相减得
，
整理得．
【知识点】导数的四则运算；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据和的关系可得，进而得到，结合等比数列的概念即可证明，然后求通项；
（2）求导，然后可得，再利用错位相减法求和即可.
（1）略
（2），，
，
，
，
相减得
，
整理得．
16．【答案】（1）证明：法一：等腰直角三角形中，是斜边的中点，．
平面，平面，，
平面，平面，
平面，，
平面，平面，
平面，，则，则，
，，，，
，可得，
在上取点，使，连接，
则，，
则，则，
又平面，平面，所以平面，
在上取点，使，取线段的中点，连，
则，则，
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，则，
又平面，平面，所以平面，
平面，平面平面，
平面，平面；
法二：由题可知，，，两两垂直，则以为原点，所在直线为轴建系，设，
则，，，，，
则，，
由得，所以，所以
所以，
设平面的法向量．
则，即，令，则，
所以，
因为平面，所以平面．
（2）法一：同（1）中建系，易得，，
，，
设平面的法向量，平面的法向量，
则，，
得，，
令，则，，
，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
法二：取的中点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
设平面的法向量为，
由，得，令，得，
取平面的法向量，
，
所以平面与平面的所成锐二面角的余弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）法一：先证明，再在上取点，使，在上取点，使，然后可证，，再由面面平行的性质证明线面平行即可；法二：以为原点建系，设，由 ，则，进而得到，再求出平面的法向量，然后利用空间向量法证明线面平行即可；
（2）法一：以为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，再计算余弦值即可；法二取中点，以为原点建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求面面角即可.
（1）法二：由题可知，，，两两垂直，则以为原点，所在直线为轴建系，设，
则，，，，，
则，，
由得，所以，所以
所以，
设平面的法向量．
则，即，令，则，
所以，
因为平面，所以平面．
（2）同（1）中建系，易得，，
，，
设平面的法向量，平面的法向量，
则，，
得，，
令，则，，
，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
法二：取的中点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
设平面的法向量为，
由，得，令，得，
取平面的法向量，
，
所以平面与平面的所成锐二面角的余弦值为．
17．【答案】（Ⅰ）根据频率分布直方图及互斥事件的概率公式可得：
．
（Ⅱ）当时，，
当时，．
所以
（Ⅲ）由题意及（Ⅱ）可得：
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，．
所以的分布列为：
45 53 61 65
0.1 0.2 0.3 0.4
∴万元．
【知识点】频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图求概率即可；
（Ⅱ）分、两种情况求解析式即可；
（Ⅲ）由题可知可取45，53，61，65，再根据频率得到对应的概率，列出分布列并计算期望即可.
18．【答案】（1）解：设点，因为，所以，
所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆（除去与直线的交点），
所以，所以，，．
所以曲线的方程为；
（2）①设，则，即，
设过原点的圆的切线的方程为，
由得，
所以；
②法一：由①知，，，设，，
由，得，，
所以，同理，
所以
，
所以（当且仅当时等号成立）.
法二：设，，
由①知，，所以，
由，，
所以
（当且仅当时等号成立），
所以．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设点，由正弦定理可得，然后根据椭圆的定义即可求解；
（2）①设，设过原点的圆的切线的方程为，再由直线与圆的位置关系可得，进而得到；
②法一：结合①中所得，进而可得，再利用基本不等式求最值即可；法二：设，，再表示出，然后利用基本不等式计算即可得.
（1）设点，因为，所以，
所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆（除去与直线的交点），
所以，所以，，．
所以曲线的方程为；
（2）①略
②法一：由①知，，，设，，
由，得，，
所以，同理，
所以
，
所以（当且仅当时等号成立）.
法二：设，，
由①知，，所以，
由，，
所以
（当且仅当时等号成立），
所以．
19．【答案】（1）解：，，
函数在区间上递增，在区间上递减，
的极大值为，无极小值.
（2）解：由，得，由（1）知，当时，，即，
，，即，
所以数列是递减数列，即，
即实数的取值范围是.
，即，
，令，
，
令函数，
，，使函数在区间上递减，
即在恒成立，
又，，使函数在区间上递减，
令函数，即在恒成立，
．
现证明，即证明，
令，整理得，
构造函数，则，
易证，，即，
所以函数在区间上递增，即，
即成立，所以的最小值为2．
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；数列与函数的综合
【解析】【分析】（1）利用导数求极值即可；
（2）（i）根据题意可证，则，进而可得 实数m的取值范围；
（ii）由题可得，令函数，然后可推出，继而证明即可.
（1），，
函数在区间上递增，在区间上递减，
的极大值为，无极小值.
（2）由，得，由（1）知，当时，，即，
，，即，
所以数列是递减数列，即，
即实数的取值范围是.
，即，
，令，
，
令函数，
，，使函数在区间上递减，
即在恒成立，
又，，使函数在区间上递减，
令函数，即在恒成立，
．
现证明，即证明，
令，整理得，
构造函数，则，
易证，，即，
所以函数在区间上递增，即，
即成立，所以的最小值为2．
1 / 1四川绵阳市南山中学2026届高三下学期模拟预测热手考试数学试题
1．若，则A的子集个数为（　　）
A．3 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】解：因为集合共含有个元素，
因此A的子集个数为
故答案为：D
【分析】由集合子集个数为进行计算即可.
2．在复平面内，复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，得，
所以在复平面内对应的点为，位于第四象限.
故答案为：D
【分析】根据复数的除法运算可得，再根据共轭的概念及复数的几何意义求解.
3．设，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由，解得，
由，解得，
又因为，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】解三角函数，根据集合的包含关系，结合充分、必要条件的定义判断即可.
4．的展开式中，第5项为常数项，则该展开式的所有二项式系数的和为（　　）
A．1 B．32 C．64 D．128
【答案】C
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式
【解析】【解答】解：二项式的展开式的第项，
因为第项为常数项，所以，解得，
所以二项展开式的所有二项式系数和为.
故答案为：C
【分析】根据二项展开式的性质可得，进而可得二项展开式的所有二项式系数和.
5．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且函数是偶函数，则的最小值是（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意知，.
因为是偶函数，所以，，
解得，，
又，所以的最小值是.
故答案为：A
【分析】根据正弦型函数的平移变换及奇偶性，可得，再解方程即可.
6．过抛物线的焦点作斜率为正的直线交抛物线于，两点，且，则直线的斜率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：过分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，过作的垂线，垂足为，则四边形为矩形，如下图所示
，
由抛物线定义可知，，
设，则，
所以，，
在直角三角形中，，，
则，
所以直线的斜率为，
因为直线的斜率为正数，所以不考虑负数的情况，即直线的斜率为.
故答案为：C.
【分析】由抛物线定义可知，，设，则，进而可得，再计算斜率即可.
7．已知球的半径为，圆锥内接于球，则圆锥体积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆锥的高为，底面半径为，已知球的半径.
∵ 圆锥内接于球，球心到圆锥底面的距离为，
∴ 由勾股定理可得，整理得，其中的取值范围为.
根据圆锥体积公式，将代入得：.
对关于求导，得.
令，解得 或（不符合实际意义，舍去）.
∵ 当 时，，单调递增；当 时，，单调递减，
∴ 当时，取得最大值，代入得：
.
故答案为：B.
【分析】设圆锥的高为，底面半径为，进而可得，则，再利用导数求最值即可.
8．甲、乙两班决定举行篮球比赛，比赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到一个班比另一个班多2分或打满6局时结束．设甲班在每局中获胜的概率为，乙班在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．比赛结束时甲班所得分数为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：表示比赛结束时甲班得分，分两种情况讨论：
情况1：甲得分，且甲获胜，即前两局甲胜，
对应事件的概率，
情况2：甲得分，且乙获胜，即比赛打满6局结束，最终甲班得2分，
要打到第6局才结束，必须满足：前2局比分（不满足结束条件），第3、4局比分也为（仍不满足结束条件），前4局结束总比分为，且第5、6局甲全负（最终甲总分为2分），
前局的概率为，
第3、4局的概率为
第5、6局甲全负的概率为
因此这种情况的概率，
所以.
故答案为：C
【分析】由，则情况1：甲得分，且甲获胜，即前两局甲胜；情况2：甲得分，且乙获胜，即比赛打满6局结束，最终甲班得2分，再结合独立事件的乘法公式求解.
9．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
　 优秀 非优秀
甲班 10
乙班 30
附：，
0.05 0.025 0.010 0.005
3.841 5.024 6.635 7.879
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（　　）
A．甲班人数多于乙班人数
B．甲班的优秀率低于乙班的优秀率
C．表中的值为15，的值为50
D．根据小概率值的独立性检验，能认为“成绩与班级有关系”
【答案】A,B,D
【知识点】独立性检验的基本思想；独立性检验的应用；2×2列联表
【解析】【解答】解：对于C，依题意，，，解得，，C错误；
对于A，甲班人数为，乙班人数为，A正确；
对于B，甲班优秀率为，乙班优秀率为，B正确；
对于D，，
根据小概率值的独立性检验，能认为“成绩与班级有关系”，D正确.
故答案为：ABD
【分析】根据题意可得，，求出优秀率，据此可判断ABC；计算出的观测值即可判断D.
10．在锐角中，角，，的对边分别为，，．已知，，成等差数列，且，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．周长取值范围为
D．若是外接圆的圆心，则和面积之差的取值范围为
【答案】A,B,D
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意得，，
则由正弦定理得，
因为，所以，则，则，故A正确；
因为，所以，
则，
因为，所以，故B正确；
由，即，得，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，得，
则，
因为，所以，
则，故，
故周长取值范围为，故C错误；
设的外接圆半径为，，则，则，
故和面积之差为
，
因为，所以，则，
故当时，；当时，当时，
故和面积之差的取值范围为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】对于A，由正弦定理边角互化得，结合三角恒等变形化简可得，则；对于B，利用正弦定理即可求得；对于C，根据正弦定理并化简可得，再求范围即可；对于D，根据和面积之差为进行求解即可.
11．在三棱锥中，底面，，用一平面截该三棱锥分别与棱，，，相交于点，，，，如图所示，记向量为平面的一个法向量，下列条件中，使的是（　　）
A．若 B．若
C．若 D．若
【答案】A,C,D
【知识点】空间向量垂直的坐标表示；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：依题意，向量是平面的法向量，
对于A，由，得平面，而平面，则，
由平面，平面，得，又平面，
因此平面，又平面，则，A正确；
对于B，由，得平面，而平面，则，
由平面，平面，得，又平面，
因此平面，又平面，则，假设，
而平面，则，而不在平面内，则平面，
平面平面，平面，则必有，当时，由，
得，由选项A知，此时不一定平行，因此不一定平行，B错误；
对于C，由，得平面，而平面，则，
由平面，平面，得，又平面，
因此平面，又平面，则，C正确；
对于D，由，得平面，而平面，则，
由平面，平面，得，又平面，
因此平面，又平面，则，而平面，
于是平面，又平面，则，D正确.
故答案为：ACD
【分析】对于A，可得平面，再由线面垂直的性质即可证明；对于B，可得平面，得到 ，进而可判断不一定平行；对于C，可得平面，得到，进而可得平面，则；对于D，可得平面，然后可证得平面，，再证得平面，得到．
12．已知均为正数，且，则的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由均为正数，且，
则，
当且仅当，解得时等号成立.
故答案为：
【分析】根据基本不等式“1”的妙用求最小值即可.
13．已知向量，满足，，且，则　 　．
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，，
所以，即，
因为，所以，
联立，解得.
故答案为：
【分析】由模长公式结合数量积的运算律可得，继而解得.
14．已知双曲线的左、右焦点为，，为双曲线上一点，的内心为，直线，的斜率分别为，，且，则该双曲线的渐近线夹角的正切值为　 　．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设双曲线焦点，内切圆与分别相切于点，
不妨设在双曲线右支，根据双曲线定义， 由三角形内切圆切线长性质可得：
，又因为，
解得，故 的内心的横坐标为，即，
斜率 ，斜率 ，代入，约去得： ，
通分化简分子得，即，
由，代入得： ，
双曲线渐近线斜率为，
由两直线夹角正切公式： .
故答案为：
【分析】设双曲线焦点，内切圆与分别相切于点，则，故内心，再求出和，结合即可求解.
15．已知数列的前项和为，．
（1）证明：数列是等比数列，并求出通项公式；
（2）设函数的导函数为，数列满足，求数列的前项和．
【答案】（1）证明：，，，
相减得，即，又，
所以数列是以4为公比的等比数列，
所以．
（2）解：，，
，
，
，
相减得
，
整理得．
【知识点】导数的四则运算；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据和的关系可得，进而得到，结合等比数列的概念即可证明，然后求通项；
（2）求导，然后可得，再利用错位相减法求和即可.
（1）略
（2），，
，
，
，
相减得
，
整理得．
16．如图，在三棱柱中，平面，，，，是棱的中点，是棱上靠近的三等分点，在棱上，且．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：法一：等腰直角三角形中，是斜边的中点，．
平面，平面，，
平面，平面，
平面，，
平面，平面，
平面，，则，则，
，，，，
，可得，
在上取点，使，连接，
则，，
则，则，
又平面，平面，所以平面，
在上取点，使，取线段的中点，连，
则，则，
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，则，
又平面，平面，所以平面，
平面，平面平面，
平面，平面；
法二：由题可知，，，两两垂直，则以为原点，所在直线为轴建系，设，
则，，，，，
则，，
由得，所以，所以
所以，
设平面的法向量．
则，即，令，则，
所以，
因为平面，所以平面．
（2）法一：同（1）中建系，易得，，
，，
设平面的法向量，平面的法向量，
则，，
得，，
令，则，，
，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
法二：取的中点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
设平面的法向量为，
由，得，令，得，
取平面的法向量，
，
所以平面与平面的所成锐二面角的余弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）法一：先证明，再在上取点，使，在上取点，使，然后可证，，再由面面平行的性质证明线面平行即可；法二：以为原点建系，设，由 ，则，进而得到，再求出平面的法向量，然后利用空间向量法证明线面平行即可；
（2）法一：以为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，再计算余弦值即可；法二取中点，以为原点建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求面面角即可.
（1）法二：由题可知，，，两两垂直，则以为原点，所在直线为轴建系，设，
则，，，，，
则，，
由得，所以，所以
所以，
设平面的法向量．
则，即，令，则，
所以，
因为平面，所以平面．
（2）同（1）中建系，易得，，
，，
设平面的法向量，平面的法向量，
则，，
得，，
令，则，，
，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
法二：取的中点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
设平面的法向量为，
由，得，令，得，
取平面的法向量，
，
所以平面与平面的所成锐二面角的余弦值为．
17．随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，没售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品，现以（单位：吨，）表示下一个销售季度的市场需求量，（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．
（Ⅰ）视分布在各区间内的频率为相应的概率，求；
（Ⅱ）将表示为的函数，求出该函数表达式；
（Ⅲ）在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如，则取的概率等于市场需求量落入的频率），求的分布列及数学期望．
【答案】（Ⅰ）根据频率分布直方图及互斥事件的概率公式可得：
．
（Ⅱ）当时，，
当时，．
所以
（Ⅲ）由题意及（Ⅱ）可得：
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，．
所以的分布列为：
45 53 61 65
0.1 0.2 0.3 0.4
∴万元．
【知识点】频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图求概率即可；
（Ⅱ）分、两种情况求解析式即可；
（Ⅲ）由题可知可取45，53，61，65，再根据频率得到对应的概率，列出分布列并计算期望即可.
18．已知直角坐标系中满足，，，动点A的轨迹为曲线T．
（1）求曲线T的方程；
（2）若半径为的圆的圆心M在曲线T上运动，过原点O作圆M的两条切线，分别与曲线T交于E，F，射线，的斜率存在，并记为，．
①求证：为定值；
②求的最大值．
【答案】（1）解：设点，因为，所以，
所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆（除去与直线的交点），
所以，所以，，．
所以曲线的方程为；
（2）①设，则，即，
设过原点的圆的切线的方程为，
由得，
所以；
②法一：由①知，，，设，，
由，得，，
所以，同理，
所以
，
所以（当且仅当时等号成立）.
法二：设，，
由①知，，所以，
由，，
所以
（当且仅当时等号成立），
所以．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设点，由正弦定理可得，然后根据椭圆的定义即可求解；
（2）①设，设过原点的圆的切线的方程为，再由直线与圆的位置关系可得，进而得到；
②法一：结合①中所得，进而可得，再利用基本不等式求最值即可；法二：设，，再表示出，然后利用基本不等式计算即可得.
（1）设点，因为，所以，
所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆（除去与直线的交点），
所以，所以，，．
所以曲线的方程为；
（2）①略
②法一：由①知，，，设，，
由，得，，
所以，同理，
所以
，
所以（当且仅当时等号成立）.
法二：设，，
由①知，，所以，
由，，
所以
（当且仅当时等号成立），
所以．
19．已知，
（1）求函数的极值；
（2）正项数列满足，，
①若不等式对任意的正整数n成立，求实数m的取值范围；
②若，求实数λ的最小值．
【答案】（1）解：，，
函数在区间上递增，在区间上递减，
的极大值为，无极小值.
（2）解：由，得，由（1）知，当时，，即，
，，即，
所以数列是递减数列，即，
即实数的取值范围是.
，即，
，令，
，
令函数，
，，使函数在区间上递减，
即在恒成立，
又，，使函数在区间上递减，
令函数，即在恒成立，
．
现证明，即证明，
令，整理得，
构造函数，则，
易证，，即，
所以函数在区间上递增，即，
即成立，所以的最小值为2．
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；数列与函数的综合
【解析】【分析】（1）利用导数求极值即可；
（2）（i）根据题意可证，则，进而可得 实数m的取值范围；
（ii）由题可得，令函数，然后可推出，继而证明即可.
（1），，
函数在区间上递增，在区间上递减，
的极大值为，无极小值.
（2）由，得，由（1）知，当时，，即，
，，即，
所以数列是递减数列，即，
即实数的取值范围是.
，即，
，令，
，
令函数，
，，使函数在区间上递减，
即在恒成立，
又，，使函数在区间上递减，
令函数，即在恒成立，
．
现证明，即证明，
令，整理得，
构造函数，则，
易证，，即，
所以函数在区间上递增，即，
即成立，所以的最小值为2．
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